【数学】2020届江苏一轮复习通用版5解三角形作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版5解三角形作业

专题五　解三角形 挖命题 ‎【真题典例】‎ ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 正弦定理、余弦定理 ‎1.在三角形中求边或角 ‎2.判断三角形的形状 ‎2015江苏,15‎ 正弦定理、余弦定理 二倍角公式 ‎★★☆‎ ‎2016江苏,15‎ 正弦定理 同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦公式 ‎2014江苏,14‎ 正弦定理与余弦定理 基本不等式 解三角形及其应用 ‎1.求解实际问题中的边、角 ‎2.解三角形与三角函数的综合应用 ‎2017江苏,18‎ 正弦定理与余弦定理 正棱柱、正棱台的概念 ‎★★★‎ 分析解读　　解三角形是高考的热点,试题类型主要为解答题,主要考查正、余弦定理与三角变换,考查时多与平面向量、不等式、函数等知识相结合,体现知识的交汇性.近些年江苏也有考查以实际问题为背景,通过建立数学模型来解决的相关问题,主要考查运用三角函数公式进行恒等变换的能力.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　正弦定理、余弦定理 ‎1.(2018江苏海安中学阶段测试)在△ABC中,已知AB=5,BC=3,B=2A,则边AC的长为　　　　. ‎ 答案　2‎‎6‎ ‎2.(2017江苏苏州期中,8)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=2bc,sin C=3sin B,则A=　　　　. ‎ 答案　60°‎ ‎3.(2017江苏无锡期中,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin A=‎3‎acos B.‎ ‎(1)求B的值;‎ ‎(2)若cos Asin C=‎3‎‎-1‎‎4‎,求角A的值.‎ 解析　(1)因为asinA=bsinB,所以bsin A=asin B,‎ 又bsin A=‎3‎acos B,所以‎3‎acos B=asin B,‎ 所以tan B=‎3‎,所以B=π‎3‎.‎ ‎(2)因为cos Asin C=‎3‎‎-1‎‎4‎,‎ 所以cos Asin‎2π‎3‎‎-A=‎3‎‎-1‎‎4‎,‎ 所以cos A‎3‎‎2‎cosA+‎1‎‎2‎sinA=‎3‎‎2‎cos2A+‎1‎‎2‎sin A·cos A ‎=‎3‎‎2‎·‎1+cos2A‎2‎+‎1‎‎4‎sin 2A=‎3‎‎-1‎‎4‎,‎ 所以sin‎2A+‎π‎3‎=-‎1‎‎2‎,‎ 因为0b,‎ 所以A>B,即00,sin C>0,所以cos C=‎1‎‎2‎,‎ 又C∈(0,π),所以C=π‎3‎.‎ ‎(2)因为C=π‎3‎,所以B∈‎0,‎‎2π‎3‎,‎ 所以B-π‎3‎∈‎-π‎3‎,‎π‎3‎,‎ 又sinB-‎π‎3‎=‎3‎‎5‎,‎ 所以cosB-‎π‎3‎=‎1-‎sin‎2‎B-‎π‎3‎=‎4‎‎5‎.‎ 又A+B=‎2π‎3‎,即A=‎2π‎3‎-B,‎ 所以sin A=sin‎2π‎3‎‎-B=sinπ‎3‎‎-‎B-‎π‎3‎ ‎=sin π‎3‎cosB-‎π‎3‎-cos π‎3‎sinB-‎π‎3‎ ‎=‎3‎‎2‎×‎4‎‎5‎-‎1‎‎2‎×‎3‎‎5‎=‎4‎3‎-3‎‎10‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　三角形中的几何计算问题的解法 ‎1.(2017江苏苏北三市高三调研,15)如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cos A=‎4‎‎5‎,cos∠ACB=‎5‎‎13‎,BC=13.‎ ‎(1)求cos B的值;‎ ‎(2)求CD的长.‎ 解析　(1)在△ABC中,cos A=‎4‎‎5‎,A∈(0,π),‎ 所以sin A=‎1-cos‎2‎A=‎1-‎‎4‎‎5‎‎2‎=‎3‎‎5‎.‎ 因为cos∠ACB=‎5‎‎13‎,∠ACB∈(0,π),‎ 所以sin∠ACB=‎12‎‎13‎.‎ 所以cos B=cos[π-(∠A+∠ACB)]=-cos(∠A+∠ACB)‎ ‎=sin Asin∠ACB-cos Acos∠ACB ‎=‎3‎‎5‎×‎12‎‎13‎-‎4‎‎5‎×‎5‎‎13‎=‎16‎‎65‎.‎ ‎(2)在△ABC中,由正弦定理得 AB=BCsinAsin∠ACB=‎13‎‎3‎‎5‎×‎12‎‎13‎=20.‎ 又AD=3DB,‎ 所以BD=‎1‎‎4‎AB=5.‎ 在△BCD中,由余弦定理得 CD=‎BD‎2‎+BC‎2‎-2BD·BCcosB ‎=‎5‎‎2‎‎+1‎3‎‎2‎-2×5×13×‎‎16‎‎65‎=9‎2‎.‎ ‎2.(2018江苏盐城中学高三期末,16)如图,在△ABC中,B=π‎3‎,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.‎ ‎(1)若△BCD的面积为‎3‎‎3‎,求AB的长;‎ ‎(2)若ED=‎6‎‎2‎,求角A的大小.‎ 解析　(1)∵△BCD的面积为‎3‎‎3‎,B=π‎3‎,BC=2,‎ ‎∴‎1‎‎2‎×2×BD×sinπ‎3‎=‎3‎‎3‎,∴BD=‎2‎‎3‎.‎ 在△BCD中,由余弦定理可得 CD=‎BC‎2‎+BD‎2‎-2BC·BD·cosB ‎=‎4+‎4‎‎9‎-2×2×‎2‎‎3‎×‎‎1‎‎2‎=‎2‎‎7‎‎3‎.‎ ‎∴AB=AD+BD=CD+BD=‎2‎‎7‎‎3‎+‎2‎‎3‎=‎2‎7‎+2‎‎3‎.‎ ‎(2)∵DE=‎6‎‎2‎,∴CD=AD=DEsinA=‎6‎‎2sinA,‎ 在△BCD中,由正弦定理可得BCsin∠BDC=CDsinB.‎ ‎∵∠BDC=2∠A,∴‎2‎sin2A=‎6‎‎2sinAsinπ‎3‎,∴cos A=‎2‎‎2‎.‎ 又A∈(0,π),∴A=π‎4‎.‎ 思路分析　(1)由题意,根据三角形的面积公式求出BD=‎2‎‎3‎,再利用余弦定理求出CD的长,进而求得AB的长;(2)由题意可得DC=AD=EDsinA,由∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A,结合正弦定理可求得角A的值.‎ 评析本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的应用,属于中档题.‎ 方法二　利用正、余弦定理判断三角形的形状 ‎1.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.‎ 解析　解法一:∵2b=a+c,‎ ‎∴2sin B=sin A+sin C.‎ ‎∵B=60°,∴A+C=120°.‎ ‎∴2sin 60°=sin(120°-C)+sin C.‎ 展开整理得‎3‎‎2‎sin C+‎1‎‎2‎cos C=1.‎ ‎∴sin(C+30°)=1.‎ ‎∵0°0,‎ 所以当cos α=‎1‎‎3‎时,S取得最小值,‎ 此时sin α=‎2‎‎2‎‎3‎,‎ AD=‎5‎3‎cosα+5sinαsinα=‎20+5‎‎6‎‎4‎,‎ 所以中转点D距A处‎20+5‎‎6‎‎4‎ km时,运输成本S最小.‎ ‎2.(2018江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),18)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=‎2π‎3‎.计划在BC上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ‎0<θ<‎π‎2‎.‎ ‎(1)当θ=π‎3‎时,求∠OPQ的大小;‎ ‎(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时角θ的正弦值.‎ 解析　(1)设∠OPQ=α,在Rt△OAQ中,OA=3,∠AQO=π-∠AQC=π-‎2π‎3‎=π‎3‎,所以OQ=‎3‎,‎ 在△OPQ中,OP=3,∠POQ=π‎2‎-θ=π‎2‎-π‎3‎=π‎6‎.‎ 由正弦定理得OQsin∠OPQ=OPsin∠OQP,‎ 即‎3‎sinα=‎3‎sinπ-α-‎π‎6‎,‎ 所以‎3‎sin α=sinπ-α-‎π‎6‎=sin‎5π‎6‎‎-α,‎ 则‎3‎sin α=sin‎5π‎6‎cos α-cos‎5π‎6‎sin α=‎1‎‎2‎cos α+‎3‎‎2‎sin α,‎ 所以‎3‎sin α=cos α,‎ 因为α为锐角,‎ 所以cos α≠0,‎ 所以tan α=‎3‎‎3‎,得α=π‎6‎.‎ 所以∠OPQ的大小为π‎6‎.‎ ‎(2)设∠OPQ=β,在△OPQ中,OP=3,∠POQ=π‎2‎-θ,‎ 由正弦定理得OQsin∠OPQ=OPsin∠OQP,‎ 即‎3‎sinβ=‎3‎sinπ-β-‎π‎2‎‎-θ,‎ 所以‎3‎sin β=sinπ-β-‎π‎2‎‎-θ ‎=sinπ‎2‎‎-(β-θ)‎ ‎=cos(β-θ)=cos βcos θ+sin βsin θ,‎ 从而(‎3‎-sin θ)sin β=cos βcos θ,‎ 其中‎3‎-sin θ≠0,cos β≠0,‎ 所以tan β=cosθ‎3‎‎-sinθ,‎ 记f(θ)=cosθ‎3‎‎-sinθ,‎ 则f '(θ)=‎1-‎3‎sinθ‎(‎3‎-sinθ‎)‎‎2‎,θ∈‎0,‎π‎2‎,‎ 令f '(θ)=0,则sin θ=‎3‎‎3‎,‎ 存在唯一θ0∈‎0,‎π‎2‎使得sin θ0=‎3‎‎3‎,‎ 当θ∈(0,θ0)时, f '(θ)>0, f(θ)单调递增,‎ 当θ∈θ‎0‎‎,‎π‎2‎时, f '(θ)<0, f(θ)单调递减,‎ 所以当θ=θ0时, f(θ)最大,‎ 即tan∠OPQ最大,‎ 又∠OPQ为锐角,‎ 从而∠OPQ最大时sin θ=‎3‎‎3‎.‎ 答:观赏效果达到最佳时,θ的正弦值为‎3‎‎3‎.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎1.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sin A+‎2‎sin B=2sin C,则cos C的最小值是　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎‎-‎‎2‎‎4‎ ‎2.(2015江苏,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.‎ ‎(1)求BC的长;‎ ‎(2)求sin 2C的值.‎ 解析　(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×‎1‎‎2‎=7,‎ 所以BC=‎7‎.‎ ‎(2)解法一:由正弦定理知,ABsinC=BCsinA,‎ 所以sin C=ABBC·sin A=‎2sin 60°‎‎7‎=‎21‎‎7‎.‎ 因为AB0,cos B>0,‎ 所以tan B=3tan A.‎ ‎(2)因为cos C=‎5‎‎5‎,00,故tan A=1,所以A=π‎4‎.‎ 评析本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形,考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎10.(2013江苏,18,16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.‎ 现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=‎12‎‎13‎,cos C=‎3‎‎5‎.‎ ‎(1)求索道AB的长;‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?‎ 解析　(1)在△ABC中,因为cos A=‎12‎‎13‎,cos C=‎3‎‎5‎,‎ 所以sin A=‎5‎‎13‎,sin C=‎4‎‎5‎.‎ 从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)‎ ‎=sin Acos C+cos Asin C=‎5‎‎13‎×‎3‎‎5‎+‎12‎‎13‎×‎4‎‎5‎=‎63‎‎65‎.‎ 由ABsinC=ACsinB,得AB=ACsinB×sin C=‎1 260‎‎63‎‎65‎×‎4‎‎5‎=1 040(m).‎ 所以索道AB的长为1 040 m.‎ ‎(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d m,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×‎12‎‎13‎=200(37t2-70t+50),‎ 因0≤t≤‎1 040‎‎130‎,即0≤t≤8,故当t=‎35‎‎37‎ min时,甲、乙两游客距离最短.‎ ‎(3)由BCsinA=ACsinB,得BC=ACsinB×sin A=‎1 260‎‎63‎‎65‎×‎5‎‎13‎=500(m).‎ 乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤‎500‎v-‎710‎‎50‎≤3,‎ 解得‎1 250‎‎43‎≤v≤‎625‎‎14‎,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在‎1 250‎‎43‎‎,‎‎625‎‎14‎(单位:m/min)范围内.‎ 评析本题考查正、余弦定理,二次函数的最值以及两角和的正弦等基础知识和基本技能,考查学生阅读能力和分析、解决实际问题的能力.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(2018江苏盐城高三期中,4)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=‎3‎,B=π‎3‎,则A=　　　　. ‎ 答案　‎π‎2‎ ‎2.(2019届江苏盐城高三年级第一学期期中)在△ABC中,A=60°,b=1,面积为‎3‎,则边长c=　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎3.(2018江苏南京、盐城高三二模,7)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若bsin Asin B+acos2B=2c,则ac的值为　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎4.(2019届江苏南京期中)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是　　　　. ‎ 答案　‎‎0,‎π‎3‎ ‎5.(2018江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),10)设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanAtanB=‎3c-bb,则cos A=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ ‎6.(2019届江苏扬州中学高三10月月考)在△ABC中,若tan Atan C+tan Atan B=5tan Btan C,则sin A的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎5‎‎7‎ ‎7.(2017江苏苏锡常镇四市调研二,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos A=2c-‎3‎a,则角B的大小为　　　　. ‎ 答案　‎π‎6‎ 二、解答题(共60分)‎ ‎8.(2019届江苏淮安淮海中学高三上学期第二阶段测试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos A=‎4‎‎5‎,b=5c.‎ ‎(1)求sin C的值;‎ ‎(2)若△ABC的面积S=‎3‎‎2‎sin Bsin C,求a的值.‎ 解析　(1)∵a2=b2+c2-2bccos A=26c2-10c2×‎4‎‎5‎=18c2,‎ ‎∴a=3‎2‎c.∵cos A=‎4‎‎5‎,00,‎ 所以当sin θ=‎2‎‎4‎时,w有最小值,这时tan θ=‎7‎‎7‎,NO=4‎3‎-‎4‎‎7‎‎7‎.‎ 答:该文化中心离N村的距离为‎4‎3‎-‎‎4‎‎7‎‎7‎km.‎