【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

第4课时　两角和与差的正弦、余弦和 ‎ 正切公式(对应学生用书(文)、(理)56 58页)‎ 掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．‎ ‎① 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程.② 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归思想的应用．‎ ‎1. 设α∈，若sin α＝，则cos＝________．‎ 答案： 解析：∵ α∈，且sin α＝，∴ cos α＝.‎ ‎∴ cos＝cos αcos －sin αsin＝×－×＝.‎ ‎2. (必修4P106练习4改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________．‎ 答案： 解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin 10°＝sin 30°＝.‎ ‎3. (必修4P109练习8改编)函数y＝sin x＋cos x的值域是__________．‎ 答案：[－2，2]‎ 解析：y＝sin x＋cos x＝2sin∈[－2，2]．‎ ‎4. (必修4P118习题9改编)若α＋β＝，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________．‎ 答案：2‎ 解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan ·(1－tan αtan β)＋1＝2.‎ ‎5. (必修4P110例6改编)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为________．‎ 答案： 解析：(解法1)‎ ⇒ 从而＝＝×5＝.‎ ‎(解法2)设x＝，∵ ＝5，‎ ‎∴ ＝＝＝＝5.‎ ‎∴ x＝，即 ＝.‎ ‎1. 两角差的余弦公式推导过程 设单位圆上两点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，则∠P1OP2＝α－β(α>β)．‎ 向量a＝＝(cos α，sin α)，b＝＝(cos β，sin β)，‎ 则a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，‎ 由向量数量积的坐标表示，可知a·b＝cos αcos β＋sin αsin β，‎ 因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.‎ ‎2. 公式之间的关系及导出过程 ‎3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；‎ cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；‎ sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；‎ sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；‎ tan(α－β)＝；‎ tan(α＋β)＝．‎ ‎4. asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝.φ的终边所在象限由a，b的符号来决定．‎ ‎5. 常用公式变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；‎ tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)；‎ sin α＋cos α＝sin；‎ sin α－cos α＝sin.‎ ‎[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　利用角的和、差公式进行化简、求值或证明)‎ ‎,　　　　　1)　(1) 求值：＝__________；‎ ‎(2) (原创)化简：tan(18°－θ)·＋[tan(18°－θ)＋tan(12°＋θ)]＝__________．‎ 答案：(1) 　(2) 1‎ 解析：(1) 原式＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(2) 原式＝tan(18°－θ)·＋[tan(18°－θ)＋tan(12°＋θ)]＝tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)＋tan[(18°－θ)＋(12°＋θ)][1－tan(18°－θ)tan(12°＋θ)]‎ ‎＝tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)＋[1－tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)]＝1.‎ 变式训练 ‎(1) (改编题)求4(cos 24°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40°的值；‎ ‎(2) 化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．‎ 解：(1) 原式＝4(sin 66°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40°‎ ‎＝4sin 40°－＝ ‎＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎(2) 原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－·cos[(θ＋45°)－30°]＝sin(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋45°)－sin(θ＋45°)＝0.,　　　　　　　　　2　给值求值、求角问题)‎ ‎●典型示例 ‎,　　　　　2)　已知0＜α＜＜β＜π，tan＝－7，cos(β－α)＝.‎ ‎(1) 求sin α的值；‎ ‎(2) 求β的值．‎ ‎【思维导图】‎ ‎【规范解答】解：(1) (解法1)因为tan＝－7，‎ 所以tan α＝tan＝＝＝，即＝，所以cos α＝sin α.‎ 将上式代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋sin2α＝1，即sin2α＝.‎ 又0＜α＜，所以sin α＞0，所以sin α＝.‎ ‎(解法2)因为tan＝－7，‎ 所以＝＝－7，所以tan α＝，即＝，所以cos α＝sin α.‎ 将上式代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋sin2α＝1，即sin2α＝.又0＜α＜，所以sin α＞0，所以sin α＝.‎ ‎(2) 因为0＜α＜，由(1)得sin α＝，所以cos α＝.又0＜α＜＜β＜π，所以0＜β－α＜π.‎ 由cos(β－α)＝，得0＜β－α＜，所以sin(β－α)＝，‎ 所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝×＋×＝＝.‎ 由＜β＜π，得β＝.‎ ‎【精要点评】(1) 解三角函数给值求值问题，关键在于弄清已知条件与所要求的函数值之间的内在联系，恰当“变角”或“变名”等，使其角或名相同，或具有某种关系，以便利用已知条件．‎ ‎(2) 解给值求角问题的方法是先取恰当的三角函数求其值，再结合该函数的单调区间求得角．在选取函数时，应遵循以下原则：‎ ‎① 已知正切函数值，则选正切函数；‎ ‎② 已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．‎ ‎●总结归纳 ‎1. 在解决求值、化简问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．‎ ‎2. 解决求角问题的关键在于选择恰当准确的三角函数，‎ 选择的标准是在角的范围内函数值与角要一一对应，有时需恰当缩小角的取值范围．‎ ‎●题组练透 ‎1. 已知cos＝，＜α＜，则cos α的值为________．‎ 答案：－ 解析：由<α<得<α＋<2π，又cos＝，所以sin＝－，所以cos α＝cos＝－.‎ ‎2. 已知α∈，β∈，且cos＝，cos＝，则cos＝__________．‎ 答案： 解析：∵ α∈，∴ ＋α∈.又cos＝，∴ sin＝＝.‎ ‎∵ β∈，∴ ∈，∴ －∈.‎ 又cos＝，∴ sin＝＝.∴ cos＝cos[－]＝cos(＋α)cos＋sinsin＝×＋×＝.‎ ‎3. 若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________．‎ 答案： 解析：因为α∈，所以2α∈.又sin 2α＝，所以2α∈，α∈，故cos 2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝.又α＋β∈，故α＋β＝.‎ ‎4. (2017·南京期初)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是，点B的纵坐标是.‎ ‎(1) 求cos(α－β)的值；‎ ‎(2) 求α＋β的值．‎ 解： 因为锐角α的终边与单位圆交于点A，且点A的横坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝，从而sin α＝＝.‎ 因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，‎ 从而cos β＝－＝－.‎ ‎(1) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.‎ ‎(2) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.‎ 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈， 故α＋β＝.‎ ‎,　　　　　　　　　3　有限制条件的求值、证明及综合应用问题)‎ ‎,　　　　　3)　已知sin β＝msin(2α＋β)(m≠1)，求证：tan(α＋β)＝tan α.‎ 证明：由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α，得sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，‎ 即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m[sin(α＋β)·cos α＋cos(α＋β)sin α]，‎ 即(1－m)sin(α＋β)cos α＝(1＋m)cos(α＋β)sin α.‎ 两边同除以(1－m)cos(α＋β)cos α，‎ 得tan(α＋β)＝tan α(m≠1)，即等式成立．‎ 若tan α＝2tan ，则＝________．‎ 答案：3‎ 解析：＝＝＝‎ ＝＝‎ ＝＝3.‎ ‎1. 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β＝________．‎ 答案：3‎ 解析：tan(α＋β)＝＝，则tan β＝3.‎ ‎2. (2017·江阴期初)设α为锐角，若cos＝，则sin＝__________．‎ 答案： 解析：sin＝sin ‎＝sincos －cossin ‎＝×－×＝.‎ ‎3. 在函数y＝sincos(x－)－cos·cos的图象的对称轴方程中，在y轴左侧，且最靠近y轴的对称轴方程是__________．‎ 答案：x＝－ 解析：对函数进行化简可得y＝sincos－cos(3x＋)cos＝sincos(x－)＋cossin＝sin(3x＋＋x－)＝sin，则由4x＋＝ π＋， ∈ ，得x＝＋， ∈ .当 ＝－1时，直线x＝－在y轴左侧，且最靠近y轴．‎ ‎4. 在△ABC中，已知sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则tan A＋tan B＋tan C的值为________．‎ 答案：196‎ 解析：由题意cos A，cos B，cos C均不为0，由sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，‎ 两式相除得tan A＝tan Btan C.‎ 又由cos A＝13cos Bcos C，且cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C，‎ 所以sin Bsin C＝14cos Bcos C，所以tan Btan C＝14.‎ 又tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan Btan C)‎ ‎＝－tan A(1－tan Btan C)，‎ 所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝196.‎ ‎1. 已知tan α，tan β是lg(6x2－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________．‎ 答案：1‎ 解析：由lg(6x2－5x＋2)＝0，得6x2－5x＋1＝0，‎ ‎∴ 由题意知tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，‎ ‎∴ tan(α＋β)＝＝＝1.‎ ‎2. 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．‎ 答案：1‎ 解析：∵ f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)‎ ‎＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)‎ ‎＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)‎ ‎＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ‎＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，‎ ‎∴ f(x)的最大值为1.‎ ‎3. 已知α∈，sin α＝.‎ ‎(1) 求sin的值；‎ ‎(2) 求cos的值．‎ 解：(1) 因为α∈，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 故sin＝sincos α＋cos sin α＝×＋×＝－.‎ ‎(2) 由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，‎ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，‎ 所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×＝－.‎ ‎4. 已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.‎ ‎(1) 求f(x)的最小正周期和最小值；‎ ‎(2) 已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：f2(β)－2＝0.‎ ‎(1) 解：f(x)＝sin xcos ＋cos xsin ＋cos xcos ＋sin xsin ＝sin x－cos x＝2sin，所以T＝2π，f(x)min＝－2.‎ ‎(2) 证明：cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝　①，‎ cos(β＋α)＝cos αcos β－sin αsin β＝－　②.‎ ‎①＋②，得cos αcos β＝0，‎ 于是由0＜α＜β≤⇒cos β＝0⇒β＝.‎ 故f(β)＝⇒f2(β)－2＝0.‎ ‎1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．‎ ‎(2) 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：‎ ‎① 化为特殊角的三角函数值；‎ ‎② 化为正、负相消的项，消去求值；‎ ‎③ 化分子、分母出现公约数进行约分求值．‎ ‎2. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示 ‎(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；‎ ‎(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系．‎ ‎3. 解决求角问题既要注意选择恰当准确的三角函数，又要注意角的范围．遵循选择的原则使在角的规定范围内函数值与角的对应，必要时谨慎考虑恰当缩小角的取值范围．‎