新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：4-2-1 两角和与差的余弦公式及其应用 课件（55张）

新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：4-2-1 两角和与差的余弦公式及其应用 课件（55张）

§2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 必备知识·自主学习 两角和与差的余弦公式 简记 符号 公式 使用 条件 Cα-β cos(α- β)=______________________ α,β∈R Cα+β cos(α+β)=_____________________ _ cosαcosβ+sinαsinβ cosαcosβ-sinαsinβ 【思考】　 (1)cos(α-β)与cos α-cos β相等吗? 提示:一般情况下不相等,但在特殊情况下也有相等的时候. 例如当α=0°,β=60°时cos(0°-60°)=cos 0°-cos 60°. (2)两角和与差的余弦公式有怎样的结构特点? 提示:公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用 口诀“余余正正号相反”记忆公式. (3)两角和与差的余弦公式有怎样的适用条件? 提示:公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如 cos 中的“ ”相当于公式中的角α,“ ”相当于公式中 的角β.可用两角差的余弦公式展开,因此对公式的理解要注意结构形式,而不 要局限于具体的角. ( )2 2    －－ 2   2   【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)cos(70°+40°)=cos 70°-cos 40°. (　　) (2)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立. (　　) (3)对任意α,β∈R,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β都成立. (　　) (4)cos 30°cos60°+sin 30°sin 60°=1. (　　) 提示:(1)×.cos(70°+40°)=cos 110°≠cos 70°-cos 40°. (2)×.当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°) =cos(-90°)=0,cos α-cos β=cos(-45°)-cos 45°=0, 此时cos(α-β)=cos α-cos β. (3)√.结论为两角和的余弦公式. (4) ×.cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=cos(60°-30°)=cos 30°= .3 2 2.cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于________.  【解析】逆用两角和的余弦公式可得: cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°)=cos 90°=0. 答案:0 3.(教材二次开发:例题改编)计算cos(60°-45°)=________.  【解析】cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45° = × + × = . 答案: 1 2 2 2 2 2 3 2 2 6 4  2 6 4  4.计算:cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=________.  【解析】原式=cos(80°-20°)=cos 60°= . 答案: 1 2 1 2 关键能力·合作学习 类型一　两角和与差的公式的简单应用(数学运算) 【题组训练】 1.(2020·台州高一检测)计算sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°的结果 等于 (　　) A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 1 2 2 2 3 2 3 3 2.cos 75°的值为 (　　) A. B. C.- D.- 3.(2020·菏泽高一检测) cos 15°+ sin 15°的值是 (　　) A. B.- C. D.- 6 2 4  6 2 4  6 2 4  6 2 4  1 2 3 2 2 2 2 2 6 2 6 2 【解析】1.选C.原式=cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14° =cos(44°-14°)=cos 30°= . 2.选B.cos 75°=cos(135°-60°)=cos 135°cos 60°+sin 135°sin 60° =- × + × = . 3.选A. cos 15°+ sin 15° =cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15° =cos(60°-15°)=cos 45°= . 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 6 2 4  1 2 3 2 2 2 【解题策略】 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的和差,利用公式直接求解. (2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式右边形式,然后逆 用公式求值. 【补偿训练】 求下列各式的值:(1)cos . (2)sin 400°sin(-160°)+cos 560°cos(-220°). 13 12 π 【解析】(1)cos =cos =-cos =-cos（ ）=-cos（ ） =- =- . (2)原式=-sin 40°sin 160°+cos 200°cos 220° =-sin 40°sin 20°+cos 20°cos 40° =cos 40°cos 20°-sin 40°sin 20° =cos 60°= . 13 12 π 12 （ ＋ ） 12 π 3 2 12 12   4 6   (cos cos sin sin )4 6 4 6     2 3 2 1 6 2( 2 2 2 2 4    )＝－ 1 2 类型二　给值求值问题(数学运算) 　角度1　代入求值问题  【典例】已知sin = ,则cos α+ sin α的值为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A.- 　 B. 　 C.2　 D.-1 【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可. ( )6  ＋ 1 4 3 1 4 1 2 【解析】选B.cos α+ sin α=2 = . 3 1 3( cos sin ) 2cos( )2 2 3     ＝ 1 12sin[ ( )] 2sin( ) 22 3 6 4 2        ＝ ＝ ＝ 　角度2　角的“拼凑”问题  【典例】设α,β都是锐角,且cos α= ,sin(α+β)= ,则cos β等 于(　　) A. 　 B. C. 或 　 D. 或 【思路导引】考虑如何用已知角α,α+β的差来表示所求角β,进而利用两角 差的余弦公式解决. 5 5 3 5 2 5 25 2 5 5 2 5 25 2 5 5 5 5 5 25 【解析】选A.依题意得sin α= = , cos(α+β)=± =± . 又α,β均为锐角, 所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β). 因为 > >- ,所以cos(α+β)=- . 于是cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =- × + × = . 21 cos － 2 5 5 21 sin ( ) － ＋ 4 5 4 5 5 5 4 5 4 5 4 5 5 5 3 5 2 5 5 2 5 25 【变式探究】 本例若改为:已知α,β为锐角,且cos α= ,cos(α+β)=- ,求cos β的值. 【解析】因为0<α< ,0<β< ,所以0<α+β<π. 由cos(α+β)=- ,得sin(α+β)= . 又因为cos α= ,所以sin α= . 所以cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α = . 4 5 16 65 16 65 2 π 4 5 3 5 63 65 2 π 16 4 63 3 5( )65 5 65 5 13   ＋ ＝ 【解题策略】 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角 与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或 凑角的变换.常见角的变换有: ①α=(α-β)+β; ②α= + ; ③2α=(α+β)+(α-β); ④2β=(α+β)-(α-β). 2  ＋ 2   【题组训练】 1.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α= ,sin β=- ,则cos(α+β) 的值为 (　　) A.- B.- C. D. 【解析】选B.因为α为锐角,且cos α= ,所以sin α= = .因为 β为第三象限角,且sin β=- ,所以cos β=- =- ,所以cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β= ×（- ）- ×（- ）=- . 12 13 3 5 63 65 33 65 63 65 33 65 12 13 21 cos － 5 13 3 5 21 sin － 4 5 12 13 4 5 5 13 3 5 33 65 2.已知cos = ,则cos α+ sin α的值为________.  【解析】因为cos =cos cos α+sin sin α = cos α+ sin α= ,所以cos α+ sin α= . 答案: ( )3  － 1 8 3 ( )3  － 3  3  1 2 3 2 1 8 3 1 4 1 4 类型三　给值求角问题(数学运算) 【典例】已知cos（α－β）=- ,cos（α+β）= ,且α-β∈（ ）, α+β∈（ ）,求角β的值. 12 13 12 13 ,2   3 ,22   四步 内容 理解 题意 条件:①cos（α－β）=- , cos（α+β）= , ②α-β∈ （ ）,α+β∈（ ）. 结论:求角β 思路 探求 由α-β与α+β的范围,先分别求得两角的正弦值,利用 cos 2β =cos[(α+β)-(α-β)]这一关系,求得三角函数值,再确 定角 的值. 12 13 12 13 ,2   3 ,22   四步 内容 书写 表达 由α-β∈（ ）,且cos(α-β)=- ,得sin(α-β)= , 由α+β∈（ ） ,且cos(α+β)= ,得sin(α+β)=- , cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) = ×（- ）+（- ）× =-1. 又因为α-β∈( ) ,α+β∈( ), 所以2β∈（ ）,∴2β=π,则β= . 注意书写的规范性:①cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]. ,2   3 ,22   12 13 5 1312 13 5 13 12 13 12 13 5 13 5 13 ,2   3 ,22   3,2 2   2  四步 内容 书写 表达 ②由cos 2β=-1确定角β时,一定要明确2β的范围. 题后 反思 对于给值求角问题,确定好求该角的哪种三角函数值,是解题 的关 键,为避免出现增解,一般来说,当已知角范围为(0,π)时,应 取该 角的余弦值;当角的范围是(- )时,应取该角的正弦值或 正切值. ,2 2   【解题策略】 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角 函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 【跟踪训练】 1.已知α为钝角,β为锐角,满足cos α=- ,sin β= ,则α-β =________.  2 5 5 10 10 【解析】由于α为钝角,β为锐角, cos α=- ,sin β= , 所以sin α= ,cos β= , 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =- × + × =- . 又因为α为钝角,β为锐角,所以0<α-β<π,所以α-β= . 答案: 2 5 5 10 10 5 5 3 10 10 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 3 4 π 3 4 π 2.已知α,β为锐角,cos α= ,sin(α+β)= .求角β的值. 【解题指南】可采用角的变换求解,为此可将角β写成(α+β)-α的形式,进而 利用两角差的余弦求解. 【解析】因为α为锐角,cos α= ,所以sin α= . 又因为β为锐角,所以0<α+β<π. 因为sin(α+β)= sin α, 所以β>α,β-α∈（ ） .所以β-α= . 答案: 0 2 ， 0 2 ， 1 2 3  3  4.计算: =________. 【解析】 = = . 答案: 2cos 10 sin 20 cos 20     2cos 10 sin 20 cos 20     2cos(30 20 ) sin 20 cos 20     － － 3cos 20 sin 20 sin 20 3cos 20     ＋ － ＝ 3 5.已知sin αcos α= ,0<α< ,求 cos 的值. 【解析】因为 cos = =cos α+sin α, 所以 =(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+2× = . 因为0<α< , 所以- <-α<0,- < -α< , 所以cos >0.所以 cos = . 12 25 2  2 ( )4  － 2 ( )4  － 2(cos cos sin sin )4 4   g＋ 2[ 2cos( )]4  － 12 25 49 25 2  4  4  4  ( )4  － 2 ( )4  － 7 5 2  【能力进阶——水平二】 　 (20分钟　40分) 一、单选题(每小题5分,共15分) 1.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°的值为 (　　) A. B.- C. D.- 【解析】选A.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°=cos 80°cos 35° +sin 80°sin 35°=cos(80°-35°)=cos 45°= . 【误区警示】此类问题易对公式结构特征把握不清而致错. 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2. (cos 75°+sin 75°)的值为 (　　) A. B.- C. D.- 【解析】选C.原式=cos 45°cos 75°+sin 45°sin 75°=cos(-30°)= . 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3.若 sin x+ cos x=cos(x+φ),则φ的可能取值为 (　　) A.- B.- C. D. 【解析】选A. sin x+ cos x=cos xcos +sin xsin =cos , 故φ的一个可能值为- . 1 2 3 2 6  3  6  3  1 2 3 2 6  6  (x )6  6  【补偿训练】 计算cos πcos π-sin πsin π的值应为 (　　) A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.- 【解析】选A.原式=cos cos -sin ·sin = cos cos -sin sin =cos =cos = . 2 2 25 12 11 6 11 12 5 6 2 22 3 (2 )12 ＋ (2 )6 － ( )12 － ( )6 － 12  6  12  6  ( )12 6   4  2 2 二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分) 4.在△ABC中,sin A= ,sin B= ,则cos (A+B)的值可能为 (　　) A.- 　　B. 　　C.- 　　D. 【解析】选BC.因为在△ABC中,sin A= > =sin B,所以A>B,所以B一定 为锐角,所以cos A=± =± ,cos B= = .所以 cos(A+B)=cos Acos B-sin A sin B=± × - × = 或- . 3 1010 5 5 10 10 2 2 7 2 10 2 2 7 2 10 5 5 10 10 21 sin A－ 2 55 21 sin B－ 2 55 3 1010 5 5 10 10 2 2 7 2 10 三、填空题(每小题5分,共10分) 5.cos 105°+sin 195°=________. 【解析】cos 105°+sin 195°=cos 105°+sin(90°+105°)=cos 105°+ cos 105°=2cos 105°=2cos(60°+45°) =2(cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°) =2 = . 答案: 1 2 3 2( )2 2 2 2  － 2 6 2 － 2 6 2 － 【补偿训练】 sin 15°+cos 15°=________. 【解析】sin 15°+cos 15°=cos 75°+cos 15° =cos(45°+30°)+cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°+cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° =2cos 45°cos 30°= . 答案: 6 2 6 2 6.若cos θ=- ,θ∈ ,则sin θ=________,cos =________. 【解析】因为cos θ=- ,θ∈ , 所以sin θ=- , 所以cos =cos θcos +sin θsin =- . 答案:- 　- 12 13 3( )2 ， ( )4 － 12 13 3( )2 ， 5 13 ( )4 － 4  12 2 5 2 17 2( )13 2 13 2 26   － ＝－ 17 2 26 5 13 4  四、解答题 7.(10分)已知sin θ= ,θ∈ ,求cos 的值. 【解题指南】利用两角差的余弦公式展开cos ,由sin θ= ,θ∈ , 可求出cos θ的值再代入求解. 【解析】因为sin θ= ,θ∈ ,所以cos θ=- ,所以cos =cos θ cos +sin θsin = . 1 5 ( , )2   ( )3 － ( )3 － 1 5 ( , )2   1 5 ( , )2   2 6 5 ( )3 － 3  3  2 6 1 1 3 3 2 6 5 2 5 2 10     －－ 【补偿训练】 已知cos = , ,求cos α. 【解析】由于0<α- < ,cos = , 所以sin = . 所以cos α=cos =cos cos -sin sin = . 12 13 ( )6 2     6  3  ( )6 － 12 13 ( )6 － 5 13 [( ]6 6  － )＋ ( )6 － 6  ( )6 － 6  12 3 5 1 12 3 5 13 2 13 2 26   －－ ＝ ( )6 －