【数学】2020届一轮复习人教A版第8课函数的性质(2)学案（江苏专用）
____第8课__函数的性质(2)____
1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数奇偶性的方法．
2. 掌握奇、偶函数的对称性，体会数学的对称美．
3. 能解决与单调性、奇偶性等有关的一些综合题.
1. 阅读：必修1第41～45页．
2. 解悟：①判断函数奇偶性的一般步骤是什么？②具备奇偶性的函数，其定义域必须具有怎样的特点？这一特点是函数奇偶性定义的要求吗？③请尝试写出具备奇偶性的函数的其他性质；④什么是周期函数？你能用数学符号表示吗？你知道的周期函数有哪些？
3. 践习：在教材空白处，完成第43页练习第1、2、4、6、7题.
基础诊断
1. 若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝__±1__．
解析：由题意得f(－x)＝－f(x)，
则＝－，
即＝，
所以k＝±1.
2. 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)＝__0__；若g(x)是偶函数，则函数g(x＋1)图象的对称轴为直线__x＝－1__．
解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，
所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(6)＝f(2)．因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝f(6)．
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.因为g(x)是偶函数，所以函数g(x)的图象关于y轴，即直线x＝0对称，g(x＋1)是将函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以函数g(x＋1)图象的对称轴为直线x＝－1.
3. 已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，若f(－1)
1，即lgx>1或lgx<－1，解得x>10或00，所以f(－x)＝x2＋2x.因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x2＋2x，即f(x)＝－x2－2x，故当x<0时，f(x)＝－x2－2x.
5. 设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝____．
解析：由题意得f(－1)＝－f(1)＝－，
f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)，
所以＝－＋f(2)，即f(2)＝1，
所以f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝，
f(5)＝f(3)＋f(2)＝＋1＝.
范例导航
考向❶ 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝lg(x＋);
(3) f(x)＝.
解析：(1) 由题意得函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝＋2＋2x，则f(－x)＝＋2＋2－x＝2x＋2＋，即f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)为偶函数．
(2) 由题意得函数f(x)的定义域为R.因为f(x)＝lg(x＋)，所以f(－x)＋f(x)＝lg(－x＋)＋lg(x＋)＝lg[(－x＋)·(x＋)]＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(3) 由题意得，函数f(x)的定义域为(－2，0)∪(0，2)，
所以x＋3>0，所以f(x)＝，f(－x)＝，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．
判断函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R，x∈R的奇偶性．
解析：当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，
此时f(x)为偶函数；
当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，
f(a)≠－f(－a)，f(a)≠f(－a)，
此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.
考向❷ 单调性、奇偶性的综合
例2 已知函数f(x)＝是奇函数．
(1) 求实数m的值；
(2) 若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1) 设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以－f(－x)＝f(x)，
于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2) 由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
则所以1m2－1，解得－20的x的取值范围是__(－1，0)∪(1，＋∞)__．
解析：由已知条件可得，函数f(x)的解析式为f(x)＝其图象如图所示，故f(x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．
3. 已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 018)＝__2__．
解析：由题意得，f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)．因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x)＝f(－x－1)，即－g(x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)，
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，周期为4，所以f(2 018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝2，即f(2 018)＝2.
4. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝(其中a，b∈R)，若f＝f，则a＋3b的值为__－10__．
解析：由题意得f＝f＝1－，f＝＝.
因为f＝f，所以1－a＝①.
又因为f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝②.
联立①②得，解得
所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
1. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
2. 若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量x的值都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数.
3. 你还有哪些体悟，写下来：
