山西省太原市第二十一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

山西省太原市第二十一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 数学试题 一、选择题 ‎ ‎1.设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．‎ ‎2.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数的定义域为，解得，函数的定义域是，故选B.‎ ‎3.已知幂函数的图象经过点，则的值为( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入函数解得，计算得到答案.‎ ‎【详解】幂函数的图象经过点，则 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数的求值，属于简单题.‎ ‎4.下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据初等函数的奇偶性和单调性的定义对各个选项逐一进行判断即可．‎ ‎【详解】A.函数在区间上是减函数，不满足条件；‎ B.函数既是奇函数又在区间上是增函数，满足条件；‎ C.是偶函数，不满足条件；‎ D.是非奇非偶函数，不满足条件；‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，属于基础题.‎ ‎5.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）．‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎．∵与的对应法则不同；‎ ‎．与定义域不同；‎ ‎．与定义域不同；‎ ‎．表示同一函数．‎ 故选．‎ ‎6.已知f（x）=3x+3–x，若f（a）=4，则f（2a）=‎ A. 4 B. 14‎ C. 16 D. 18‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数幂的运算性质，进行平方即可得到结论．‎ ‎【详解】∵f（x）=3x+3-x， ∴f（a）=3a+3-a=4， 平方得32a+2+3-2a=16， 即32a+3-2a=14． 即f（2a）=32a+3-2a=14． 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎7.三个数 之间的大小关系是 ( 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用指数函数的性质、对数函数的性质确定所在的区间，从而可得结果.‎ ‎【详解】由对数函数的性质可知，‎ 由指数函数的性质可知，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎8.下列函数中，值域是的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析函数的值域，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，函数的值域为，不符合题意.‎ 对于B选项，函数的定义域为，符合题意.‎ 对于C选项，，即值域为，不符合题意.‎ 对于D选项，函数的值域为，不符合题意.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数值域的判断，属于基础题.‎ ‎9.函数与在同一坐标系中的图像只可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 就和分类讨论即可.‎ ‎【详解】当时，是增函数，是减函数，且前者图像恒过定点，后者图像恒过定点，故A正确，B、D错误；‎ 当时，是减函数，是增函数，故C错.‎ 综上，选A.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像和性质，属于基础题.‎ ‎10.已知函数，其中，则（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故选B ‎11.已知，现有下列四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的结论是 A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数式化为对数式、对数运算对结论进行分析，由此确定正确的结论.‎ ‎【详解】由于与有且只有一个公共点，所以当时，，所以，所以①正确、③错误.‎ 当时，，则.所以②正确、④错误.‎ 故正确的结论是①②.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数运算，考查指数函数的性质，属于基础题.‎ ‎12.若函数为奇函数，且在上是增函数，又的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数奇偶性性质，结合特殊值，在坐标系中作出函数简图，由奇函数性质化简不等式，借助图像即可求出解集.‎ ‎【详解】由奇函数的性质以及特殊点可作出如下简图：‎ 由奇函数定义化简解析式：，即与x异号即可，‎ 由图像可知当或时与x异号.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的定义以及图像特点，由题意作出图像可极大降低题目的难度，便于快速求出结果.‎ 二、填空题 ‎13.已知函数，且，则x的值是_______‎ ‎【答案】2或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数解析式，解方程求得的值.‎ ‎【详解】当时，由，解得.‎ 当时，由，解得. ‎ 故答案：2或 ‎【点睛】本小题主要考查根据分段函数函数值求对应自变量的值.‎ ‎14.函数（且）的图象必过定点 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，∴过定点，故填：．‎ 考点：指数函数的性质．‎ ‎15.若函数是偶函数,则的增区间是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为偶函数求得，进而求得的增区间.‎ ‎【详解】由于是偶函数，所以，故，所以，所以 ‎，二次函数开口向下，对称轴为，所以的增区间是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求参数，考查二次函数单调性，属于基础题.‎ ‎16.已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，恒成立，则不等式的解集是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 整理题中不等式可得，从而得函数是R上的减函数，由函数是定义在R上的奇函数，有，结合函数单调性，不等式转化为或，从而得解.‎ ‎【详解】对任意给定的实数，恒成立，‎ 整理得：，即.‎ 从而得函数是R上的减函数.‎ 又函数是定义在R上的奇函数，有.‎ 所以当时，，当时，.‎ 所以不等式，有：或.‎ 即或.‎ 解得：.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.‎ 三、解答题 ‎17.已知全集，集合，．‎ ‎（）当时，求与．‎ ‎（）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（）；（）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求集合A，再根据数轴求交、并、补（2）先根据，得，再根据B为空集与非空分类讨论，最后求并集 试题解析：，‎ ‎（）当时，，或，‎ 故．．‎ ‎（）∵，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，即时，且，∴，‎ ‎∴，综上所述，．‎ ‎18.计算：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）0（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据根式、指数运算化简所求表达式.‎ ‎（2）根据对数运算化简所求表达式.‎ ‎【详解】（1）原式=； ‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19.函数f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝＋1.‎ ‎(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；‎ ‎(2)当x<0时，求函数f(x)的解析式．‎ ‎【答案】(1)见解析 (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，计算，由此证得在上是减函数.‎ ‎（2）当时，利用函数为上的奇函数，由求得的解析式.‎ ‎【详解】(1)设00时，f(x)＝＋1‎ 得：f(x1)－f(x2)＝(＋1)－(＋1)＝，‎ ‎∵00，x2－x1>0，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．‎ ‎(2)当x<0时，－x>0，‎ ‎∵x>0时， f(x)＝＋1，‎ ‎∴f(－x)＝＋1＝－＋1，‎ 又f(x)为奇函数， f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴－f(x)＝－＋1, f(x)＝－1，‎ ‎∴x>0时， f(x)＝－1.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数奇偶性求解析式，属于基础题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）若函数在上的最大值为1，求实数a的值.‎ ‎【答案】(1) (2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二次函数，配方通过闭区间以及二次函数的对称轴求解函数最值即可.‎ ‎（2）求出函数的对称轴，利用对称轴与求解的中点，比较，求解函数的最大值，然后求解a的值即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 又，所以，‎ ‎，所以值域为.‎ ‎（2）对称轴为.‎ ‎①当，即时，‎ 所以，即满足题意；‎ ‎②当，即时，‎ ‎，‎ 所以，即满足题意.‎ 综上可知或.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21.已知函数是定义在上的奇函数，且．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）解关于t的不等式．‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数是在处有定义的奇函数，由求得，由 求得，由此求得的解析式.‎ ‎（2）首先证得在上为增函数，由此结合为奇函数以及列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由奇函数的性质可知, ，∴,,‎ ‎∵, ∴,‎ ‎（2）任取，，由于，所以，所以在上为增函数.‎ 由，且为增函数 ‎∴． 故不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）设，当时，求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；‎ ‎（2）是否存在实数，使函数在上单调递减，且最小值为1？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）不存在 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得的表达式，根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得的定义域.利用证得为奇函数.‎ ‎（2）利用复合函数单调性同增异减求得取值范围，根据在区间上的最小值列式，由此判断出不存在满足要求的实数.‎ ‎【详解】（1）时，依题意，所以，解得.所以的定义域为.‎ 定义域关于原点对称，且，所以为奇函数. ‎ ‎（2）不存在 假设存在实数满足条件，记，因，‎ 则在上单调递增，使函数在上单调递减，则，‎ 由函数在上最小值为1，则有，不等式组无解，‎ 故不存在实数满足题意.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查函数单调性的证明，考查根据函数的单调性和最值求参数，属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎