2018届二轮复习（理）　空间角的计算问题学案（全国通用）

2018届二轮复习（理）　空间角的计算问题学案（全国通用）

规范答题示例7　空间角的计算问题 典例7　(12分)如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.‎ ‎(1)求证：DE⊥平面ACD；‎ ‎(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．‎ 审题路线图　(1)‎ ‎(2)―→―→―→―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 ‎(1)证明　∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，‎ 又AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，∴AC⊥BC，‎ 又AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，‎ 又DC∥EB，DC＝EB，∴四边形BCDE是平行四边形，‎ ‎∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD. 4分 ‎(2)解　在Rt△ACB中，AB＝4，AC＝BC，‎ ‎∴AC＝BC＝2，‎ 如图，以C为原点建立空间直角坐标系，‎ 则A(2，0,0)，D(0,0,1)，B(0,2，0)，E(0,2，1)，＝(－2，0,1)，＝(0,2，0)，‎ ＝(－2，2，0)，＝(0,0,1). 6分 设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．‎ 第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．‎ 第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．‎ 第四步 求夹角：计算向量的夹角．‎ 第五步 得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.‎ 则令x1＝1，得n1＝(1,0,2)，‎ 设平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 则令x2＝1，得n2＝(1,1,0).‎ ‎10分 ‎∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.‎ ‎∴平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为.12分 评分细则　(1)第(1)问中证明DC⊥BC和AC⊥BC各给1分，证明DE∥BC给1分，证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，不扣分．‎ ‎(2)第(2)问中建系给1分，两个法向量求出1个给2分，没有最后结论扣1分，法向量取其他形式同样给分．‎ 跟踪演练7　(2017·山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．‎ ‎(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；‎ ‎(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E—AG—C的大小．‎ 解　(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，‎ AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，‎ 所以BE⊥平面ABP.‎ 又BP⊂平面ABP，‎ 所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，‎ 所以∠CBP＝30°.‎ ‎(2)方法一　取的中点H，连接EH，GH，CH.‎ 因为∠EBC＝120°，‎ 所以四边形BEHC为菱形，‎ 所以AE＝GE＝AC＝GC＝＝.‎ 取AG的中点M，连接EM，CM，EC，‎ 则EM⊥AG，CM⊥AG，‎ 所以∠EMC为所求二面角的平面角．‎ 又AM＝1，所以EM＝CM＝＝2.‎ 在△BEC中，由于∠EBC＝120°，‎ 由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，‎ 所以EC＝2，因此△EMC为等边三角形，‎ 故所求的角为60°.‎ 方法二　以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，‎ G(1，，3)，C(－1，，0)，‎ 故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)，‎ 设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量．‎ 由可得 取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．‎ 设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．‎ 由可得 取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．‎ 所以cos〈m，n〉＝＝.‎ 因此所求的角为60°.‎