贵州省遵义市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

贵州省遵义市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

遵义市2018～2019学年度第二学期期末统考试卷 高二理科数学 注意事项：（1）答卷前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的学校、姓名、班级、考点等信息填写清楚，并在规定位置贴好条形码。‎ ‎（2）请将答案填写在答题卡相应位置上，否则作答无效，考试结束，只交答题卡。‎ ‎（3）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知i为虚数单位，z，则复数z虚部为（　　）‎ A. ﹣2i B. 2i C. 2 D. ﹣2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则，化简得，即可得到复数的虚部，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数概念，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知直线l1：与直线l2：垂直，则的值为（　　）‎ A. ﹣2 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线垂直的条件，得到，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，直线l1：与直线l2：垂直，‎ 则满足，解得，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.数列满足是数列为等比数列的 ( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由反例得充分性不成立，再根据等比数列性质证必要性成立.‎ 详解：因为满足，所以充分性不成立 若数列为等比数列，则，即必要性成立.‎ 选B.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎4.设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则的图象最有可能的是 ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由导函数 的图象可得当或时，，当时，，所以函数的增区间为和，减区间为。故选C。‎ ‎5.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行； 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交； 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；正确.‎ ‎6.在二项式的展开式中，的系数为（　　）‎ A. ﹣80 B. ﹣40 C. 40 D. 80‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，‎ 令，可得，‎ 即展开式中的系数为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．‎ 考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．‎ ‎8.如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )‎ A. 2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B. 2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高 C. 从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D. 从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.‎ ‎【详解】对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，‎ 差值为，接近2000万件，所以A是正确的；‎ 对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；‎ 对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；‎ 对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.‎ ‎【考点定位】三视图与几何体的体积 ‎10. 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）‎ A. 210种 B. 420种 C. 630种 D. 840种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女。若是一男两女，则有种选派方案，若是两男一女，则有种选派方案。所以总共有种不同选派方案，故选B ‎11.双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，设，如图所示，‎ 因为是以为直角顶点的直角三角形，且，‎ 由，所以，‎ 由，所以，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 在直角中，，即，‎ 整理得，所以，‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．.‎ ‎12.已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数的导函数), 若，，, 则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．由此能求出结果．‎ ‎【详解】∵ 函数的图象关于直线对称，∴关于轴对称， ∴函数为奇函数.因为，‎ ‎ ∴当时，，函数单调递减，‎ ‎ 当时，函数单调递减.‎ ‎ ，， ， ，故选A ‎【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等 第Ⅱ卷（非选择题，90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，共20分。‎ ‎13.若ξ～N，且P（2＜ξ＜4）＝0.4，则P（ξ＜0）＝_____．‎ ‎【答案】01．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正态分布曲线的对称性，可得，进而得到所以，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，随机变量，且，‎ 根据正态分布曲线的对称性，可得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14.已知函数的导函数为，且，则_____‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导数的运算公式，求得，令，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 所以，解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎15.已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的表面上，且AB⊥BC，BC⊥CD，AB⊥CD，若AB＝1，BC，CD，则球O的表面积为_____．‎ ‎【答案】6π．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，结合图形把三棱锥补充为长方体，则该长方体的外接球为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线长，求出外接球的直径，利用球的表面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，以和为棱，把三棱锥补成一个长方体，‎ 则该长方体的长宽高分别为，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球，‎ 且长方体的对角线长为，‎ 即，即，‎ 所以外接球的表面积为.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中以和为棱，把三棱锥补成一个长方体，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎16.已知圆C1：，圆C2：，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为轴上的动点，则的最小值_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆关于轴对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可得到的最小值.‎ ‎【详解】如图所示，圆关于轴对称圆的圆心坐标，以及半径，‎ 圆的圆心坐标为，半径为，‎ 所以的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法，以及两圆的位置关系的应用，其中解答中把的最小值转化为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题：共70分。‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（I）求曲线在点处的切线方程．‎ ‎（Ⅱ）若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ）4x﹣y﹣18＝0（Ⅱ）y＝13x，切点为（﹣2，﹣26）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求得函数的导数3x2+1，求得在点切线的斜率和切点的坐标，即可求解切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设切点为（m，n），求得切线的斜率为1+3m2，根据切线过原点，列出方程，求得的值，进而可求得切线的方程.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，函数f（x）＝x3+x﹣16的导数为3x2+1，得，‎ 即曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为4，且切点为（1，﹣14），‎ 所以切线方程为y+14＝4（x﹣1），即为4x﹣y﹣18＝0；‎ ‎（Ⅱ）设切点为（m，n），可得切线的斜率为1+3m2，‎ 又切线过原点，可得1+3m2，解得m＝﹣2，‎ 即切点为（﹣2，﹣26），所以切线方程为y+26＝13（x+2），即y＝13x．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线方程的求解方法，以及合理利用导数的几何意义求得切线的斜率，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.进入春天，大气流动性变好，空气质量随之提高，自然风光越来越美，自驾游乡村游也就越来越热．某旅游景区试图探究车流量与景区接待能力的相关性，确保服务质量和游客安全，以便于确定是否对进入景区车辆实施限行．为此，该景区采集到过去一周内某时段车流量与接待能力指数的数据如表：‎ 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 车流量（x千辆）‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10.5‎ ‎11‎ ‎8‎ ‎8.5‎ 接待能力指数y ‎78‎ ‎76‎ ‎77‎ ‎79‎ ‎80‎ ‎73‎ ‎75‎ ‎（I）根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程．‎ ‎（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为该线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？‎ 附参考公式及参考数据：线性回归方程，其中；‎ ‎【答案】（I） （Ⅱ）是可靠的，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据表格中的数据，利用公式求得的值，即可求得回归直线的方程. ‎ ‎（Ⅱ）由（I）中的回归直线的方程，分别代入和进行验证，即可得到结论.‎ ‎【详解】（I）由表中的数据，可得（10+9+9.5+10.5+11）＝10，‎ ‎（78+76+77+79+80）＝78，‎ 又由5，2.5，‎ 则，78﹣2×10＝58．‎ 所以y关于x的线性回归方程为；‎ ‎（Ⅱ）当时，，满足|74﹣73|＝1＜2，‎ 当时，，满足|75﹣75|＝0＜2，‎ 所以是可靠的．‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及回归分析的应用，其中解答中认真审题，利用公式准确求解回归直线方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，PA⊥底面ABCD，PA＝4，AB＝2．‎ ‎（I）求证：平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M若平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，求二面角A﹣MC﹣P的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先利用线面垂直的判定定理，证得BD⊥面PAC，再利用面面垂直的判定定理，即可证得平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）根据面积关系，得到M为PD的中点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，∴DB⊥PA，又AP∩AC＝A，∴BD⊥面PAC．‎ 又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）∵过AC的平面交PD于点M若平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，‎ ‎∴M为PD的中点，则AO＝OD，AC＝2，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A（﹣1，0，0），C（1，0，0），P（﹣1，0，4），D（0，，0），M（，，2）．‎ 设面AMC的法向量为，，，2），，‎ 由，取，可得一个法向量 ‎ 设面PMC的法向量为，，．‎ ‎，令，可一个法向量，‎ 则，‎ 即二面角A﹣MC﹣P的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎20.近年来，网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服务民众，某电商在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计，商品状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：‎ 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对商品状况好评 ‎100‎ ‎20‎ ‎120‎ 对商品状况不满意 ‎50‎ ‎30‎ ‎80‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎（I）能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系？‎ ‎（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后，都可获得一张优惠券，且购物一次获得1元优惠券，2元优惠券的概率分别是，，各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP购物两次，记该用户当天获得的优惠券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ 参考数据 P（K2≥k）‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：K2，其中n＝a+b+c+d ‎【答案】（Ⅰ）在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系．（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据独立性检验的公式，求得K2的值，利用附表即可得到结论；‎ ‎（Ⅱ）求得X的取值分别为，利用相互对立事件的计算公式，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，根据独立性检验的公式，可得K211.1＞10.828．‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得：X的取值分别为0，1，2，3，4．‎ 则P（X＝0），P（X＝1）2，P（X＝2）2，P（X＝3）2，P（X＝4）．‎ 可得X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P（X）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可得数学期望E（X）0+12342．‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.‎ ‎21.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题可知）抛物线的焦点为，所以，然后根据离心率可得a值，从而得出椭圆标准方程（2）根据题意则需求出AC和BD的长度表达式，显然可以根据直线与椭圆的弦长公式求得，所以设，，直线的方程为，代入椭圆方程，，同理求出AC的长度，然后化简即得 .‎ 解析：‎ ‎（1）抛物线的焦点为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）（i）当直线的斜率存在且时，‎ 直线的方程为，代入椭圆方程，‎ 并化简得.‎ 设，，则，，‎ ‎ .‎ 易知的斜率为，‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎.‎ 当，即时，上式取等号，故的最小值为.‎ ‎（ii）当直线的斜率不存在或等于零时，易得.‎ 综上，的最小值为.‎ 点睛：本题要熟悉椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系问题，‎ 在求解椭圆中的最值问题时务必先求出表达式结合不等式即可得出结论，同时直线与椭圆的弦长公式也要非常熟悉 ‎22.已知函数（且）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间．‎ ‎（Ⅱ）当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调减区间为，单调增区间为　（Ⅱ）k＜0或k ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求得函数的导数，根据导数的符号，即可求得函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，，当时，上不等式成立；当时，不等式等价于，设，进而令，‎ 利用导数求得函数的单调区间和最值，从而可求得的取值范围．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，函数f（x），则，‎ 当时，，当时，，‎ 所以函数的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎（Ⅱ）时，，‎ ‎①当时，上不等式成立，满足题设条件；‎ ‎②当时，，等价于，‎ 设，则，‎ 设，则，‎ ‎∴在[1，+∞）上单调递减，得，‎ ‎①当，即时，得，‎ ‎∴在上单调递减，得，满足题设条件；‎ ‎②当，即时，，而，‎ ‎∴，又单调递减，‎ ‎∴当，得，‎ ‎∴在上单调递增，得，不满足题设条件．‎ 综上所述，或．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎