【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三下学期第二次高考适应性考试试题（文）

【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三下学期第二次高考适应性考试试题（文）

四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学试题（文）‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则的值是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为 ( )‎ A． B． C．3 D．‎ ‎3．已知向量，，，若与共线，则的值为 ( )‎ A．4 B．8 C．0 D．2‎ ‎4．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是 ( )‎ A．这10天中，12月5日的空气质量超标 ‎ B．这10天中有5天空气质量为二级 C．从5日到10日，PM2.5日均值逐渐降低 ‎ D．这10天的PM2.5日均值的中位数是47‎ ‎5．在中，D在边上，且，E为的中点，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知数列满足，，则数列的前项和为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知，，，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 ( )‎ A．若，则 ‎ B．若，则 C．若，则 ‎ D．若，则 ‎9．已知F是抛物线的焦点，A，B为抛物线C上两点，且．则线段的中点到y轴的距离为 ( )‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎10．在中，，则为 ( )‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎11．已知抛物线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．过点的直线与圆相切于M，N两点，且这两点恰好在椭圆上，设椭圆的右顶点为A，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率为 ( )‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子刚好成对的概率为______.‎ ‎14．经过点且圆心在直线上的圆的方程是____.‎ ‎15．已知直线恒过定点，且点在直线上，则的最大值为_____________‎ ‎16．定义为数列的“均值”,已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为__________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）在中，角，、的对边分别为，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（II）若，且，求的面积.‎ ‎18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．‎ ‎（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式． ‎ ‎（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量n ‎ ‎14 ‎ ‎15 ‎ ‎16 ‎ ‎17 ‎ ‎18 ‎ ‎19 ‎ ‎20 ‎ 频数 ‎ ‎10 ‎ ‎20 ‎ ‎16 ‎ ‎16 ‎ ‎15 ‎ ‎13 ‎ ‎10 ‎ ‎(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；‎ ‎(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.‎ ‎（命题意图）本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题.‎ ‎19．（12分）如图，在中，，，，分别为，的中点是由绕直线旋转得到，连结，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，棱上是否存在一点，使得？‎ 若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程和点的坐标；‎ ‎（II）设为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.‎ ‎21．是自然对数的底数，，已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若函数有零点，求实数的取值范围；‎ ‎（II）对于，证明:当时，.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（II）若直线与曲线相交于，两点，求的面积．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）若，，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，，且，求证：．‎ 参考答案 ‎1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．A 7．C 8．B 9．B 10．B ‎11．D 12．D ‎13． 14． 15．1 16．‎ ‎17．解：（1）∵，∴.∵，∴.‎ ‎（2）∵∴，‎ ‎∴，即，即.∵，∴.∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎18．解：（1）当日需求量n≥17时，利润y＝85．当日需求量n<17时，利润y＝10n－85．‎ 所以y关于n的函数解析式为（n∈N）．‎ ‎（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，‎ ‎16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，‎ 所以这100天的日利润的平均数为×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4．‎ ‎②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，‎ 故当天的利润不少于75元的概率为p＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7．‎ ‎19．（1）依题意得，，所以 因为分别为，的中点，所以 因为所以又因为由沿旋转得到，‎ 所以，平面，平面 则平面所以，即 ‎，所以平面 解法一：（2）若，‎ 则因为且所以，‎ 又所以为的中点 解法二：（2）因为，，，‎ 所以，，‎ 又，所以由（1）知平面 若，则，所以 由（1）知，在中，，即 解得；所以为正三角形，即，所以M为的中点.‎ ‎20．解：（I）由椭圆的离心率e===，则b2=a2，‎ 则，消去x，整理得：y2﹣16y+16﹣a2=0，①由△=0，解得：a2=4，b2=3，‎ 所以椭圆的标准方程为：+=1；所以=，则T（1，），‎ ‎（Ⅱ）设直线l′的方程为y=x+t，由，解得P的坐标为（1﹣，+），‎ 所以|PT|2=t2，设设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得x2+tx+﹣1=0，‎ 则x1+x2=﹣t，x1x2=，△=t2﹣4（﹣1）＞0，t2＜12，‎ y1=x1+t，y2=x2+t，|PA|==|﹣x1|，‎ 同理|PB|=|﹣x2|，|PA|•|PB|=|（﹣x1）（﹣x2）|=|﹣（x1+x2）+x1x2|，|﹣（﹣t）+|=t2，所以==，‎ 所以=为定值．‎ ‎21．解：（1）由函数有零点知，方程有实数解，因为，所以．设，，‎ 则的取值范围转化为函数在上的值域．‎ 因为，所以当，时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，‎ 故函数在时，取得最大值，‎ 又上，，‎ 所以函数在上的值域为，．‎ 当时，，所以函数在上的值域为，.‎ 从而函数有零点时，实数的取值范围为，‎ ‎（2）可以转化为证明两个不等式①，②.设，所以，‎ 当时，，函数在上单调递减，当时，‎ ‎，函数在上单调递增．故函数在时，取得最小值 ‎，所以．得证①‎ 设，有，当时，．函数在上单调递减；当时，函数，在上单调递增．故函数在时，取得最小值．‎ 所以，得．（仅当时取等号）‎ 又由为增函数，得②.合并①②得证．‎ ‎22．解：（1）由曲线的极坐标方程为，得，所以曲线的直角坐标方程是．‎ 由直线的参数方程为（为参数），得直线的普通方程 ‎（2）由直线的参数方程为（为参数），得（为参数），‎ 代入，得，设，两点对应的参数分别为，，则，，‎ 所以，‎ 因为原点到直线的距离，所以．‎ ‎23．解：（Ⅰ）时，或或，‎ 解得，故不等式的解集为；‎ ‎（Ⅱ）时，‎ 当且仅当时，取等.‎ ‎∵，∴，‎ ‎ ，‎ 当且仅当时取等．‎ 故．‎