【数学】江苏省震泽中学2019-2020学年高二下学期自主测试二试题（杨班）

【数学】江苏省震泽中学2019-2020学年高二下学期自主测试二试题（杨班）

江苏省震泽中学2019-2020学年 高二下学期自主测试二试题（杨嘉墀班）‎ ‎（满分120分，考试时间90分钟）‎ 一、 单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎1．已知复数满足，在复平面内对应的点为，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．2019年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的4名专家对石柱县的、、、，4乡镇进行调研，要求每个乡镇安排一名专家，则甲安排在乡镇，乙不在乡镇的概率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆中作出两个扇形和，用扇环形（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形的面积为，扇形的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形半径与半圆半径之比为 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．函数的部分图象大致是 ( )‎ A．B．‎ C．D．‎ ‎5．设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于点 ， ，则 与 的面积之比 等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎7．某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019年的高考升学情况，得到柱图：‎ ‎ 2016年高考数据统计 2019年高考数据统计 则下列结论正确的是 （ ）‎ A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加 B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍 C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同 D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加 ‎8．实数，满足，则下列关于的判断正确的是 （ ）‎ A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为D．的最小值为 ‎9.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，以下结论正确的是 （ ）‎ A. 四边形不一定是平行四边形 B. 平面分正方体所得两部分的体积相等 C. 平面与平面不可能垂直 D. 四边形面积的最大值为 ‎10.对于函数，下面结论正确的是 （ ）‎ A. 任取，都有恒成立 B. 对于一切，都有 C. 函数有3个零点 D. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 ‎11．已知，则=___________，_____________________________‎ ‎12．已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________．‎ ‎13．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.‎ 四、 解答题：本小题共4小题，共55分。‎ ‎14．（10分）如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小．‎ ‎15.（15分）动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，已知点的轨迹是过点的圆．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点（，在轴的同侧），，为椭圆的左、右焦点，若，求四边形面积的最大值．‎ ‎16．(15分)在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为，市民之间选择意愿相互独立.‎ ‎（1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）（i）若从问卷市民中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和；‎ ‎（ⅱ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，），试探求与之间的关系，并求数列的通项公式.‎ ‎17.（15分）已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求函数在上的零点个数．‎ 参考答案 一、单选题 ‎1．已知复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，‎ 化简整理得．‎ 故选：A.‎ ‎2．2019年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的4名专家对石柱县的、、、，4乡镇进行调研，要求每个乡镇安排一名专家，则甲安排在乡镇，乙不在乡镇的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知得，包括甲、乙两名专家在内的四名专家对四个乡镇进行调研，要求每个乡镇安排一名专家，共有种情况，‎ 如果甲安排在乡镇，乙不在乡镇，共有种情况，‎ 所以甲安排在乡镇，乙不在乡镇的概率为， ‎ 故选：D.‎ ‎3．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆中作出两个扇形和，用扇环形（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形的面积为，扇形的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形的半径与半圆的半径之比为( )‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，半圆的半径为，扇形的半径为，‎ 依题意，有，即，‎ 所以，得.‎ 故选：B.‎ ‎4．函数的部分图象大致是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,‎ 奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项D；‎ 因为，所以排除选项A；‎ 因为，所以排除选项B；因此选项C正确.‎ 故选：C.‎ ‎5．设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于点 ， ，则 与 的面积之比 等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图过作准线的垂线，垂足分别为 又 ‎ 由拋物线定义 由 知， ‎ 把 代入上式，求得 ‎ 故 故选A．‎ ‎6．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出函数的图象,如图所示.当时,.设,则方程恰有三个不同的实数根,即和的图象有三个交点.由图象可知,,即,故实数的取值范围是.‎ 故选：A 二、多选题 ‎7．某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019年的高考升学情况，得到柱图：‎ ‎ 2016年高考数据统计 2019年高考数据统计 则下列结论正确的是（ ）‎ A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加 B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍 C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同 D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加 ‎【答案】AD ‎【解析】依题意，设2016年高考考生人数为，则2019年高考考生人数为，‎ 由，故选项正确；‎ 由，故选项不正确；‎ 由，故选项不正确；‎ 由，故选项正确．‎ 故选：．‎ ‎8．实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）‎ A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 ‎【答案】CD ‎【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，‎ 由为圆上的点与定点的斜率的值，‎ 设过点的直线为，即，‎ 圆心到到直线的距离，即，整理可得解得，‎ 所以，即的最大值为，最小值为。‎ 故选：.‎ ‎9.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，以下结论正确的是（ ）‎ A. 四边形不一定是平行四边形 B. 平面分正方体所得两部分的体积相等 C. 平面与平面不可能垂直 D. 四边形面积的最大值为 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平行平面的性质可判断A错误;利用正方体的对称性可判断B正确;当､为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C错误;当与重合,与重合时,四边形的面积最大,且最大值为,可判断D正确.‎ ‎【详解】如图所示,‎ 对于选项A,因为平面,平面平面,平面平面,‎ 所以,同理可证,所以四边形是平行四边形,故A错误;‎ 对于选项B,由正方体的对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积相等,故B正确;‎ 对于选项C,在正方体中,有,‎ 又,所以平面,‎ 当､分别为棱的中点时,‎ 有,则平面,‎ 又因为平面,‎ 所以平面平面,故C错误;‎ 对于选项D,四边形在平面内的投影是正方形,‎ 当与重合,与重合时,四边形的面积有最大值,‎ 此时,故D正确;‎ 故选:BD.‎ ‎【点睛】本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.‎ ‎10.对于函数，下面结论正确的是（ ）‎ A. 任取，都有恒成立 B. 对于一切，都有 C. 函数有3个零点 D. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先在坐标轴中画出的图象,根据图象可判断A选项,结合解析式可判断B选项,再画出与的图象,数形结合可判断C,D选项.‎ ‎【详解】在坐标轴上作出函数的图象如下图所示:‎ 由图象可知的最大值为1,最小值为,故选项A正确;‎ 由题可知,‎ 所以即,故选项B正确;‎ 作出的图象，因为，‎ 由图象可知与有3个交点,故选项C正确;‎ 结合图象可知,若对任意,不等式恒成立,‎ 即时,不等式恒成立,‎ 又,‎ 所以,即在时恒成立,‎ 设,则,‎ 故时,,函数在上单调递减,‎ 所以时,,‎ 又,所以,即,故选项D错误.‎ 故选:ABC.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.‎ 三、填空题 ‎11．已知，则=___________，_____________________________‎ ‎【答案】−196 −3 ‎ ‎【解析】由二项式(1−2x)7展开式的通项得，‎ 则，‎ 令x=1,则，‎ 所以a0+a1+…+a7=−3，‎ 故答案为：−196，−3.‎ ‎12．已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线．‎ 由题设得，故，‎ 由题设可得． 由可得， 则，‎ 从而，得，‎ 所以l的方程为,‎ 故答案为：‎ ‎13．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若 ‎，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】①在中，，故①正确；‎ ‎②函数在区间上存在零点，比如在存在零点，‎ 但是，故②错误；‎ ‎③对于函数，若，满足，‎ 但可能为奇函数，故③错误； ‎ ‎④函数与的图象，可令，即，‎ 即有和的图象关于直线对称，即对称，故④错误．‎ 故答案为：①．‎ 四、解答题 ‎14．如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点，‎ 所以， 又因为平面，平面，‎ 所以平面． 设，连接，‎ 因为为菱形，所以为中点 在中，因为，，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面． 又因为，平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎（Ⅱ）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，‎ 所以，因为平面平面，所以平面，‎ 所以平面，因为为菱形，所以，得两两垂直．‎ 所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系．‎ 因为底面是边长为的菱形，，，所以，，，，，．所以 ‎，．设平面的法向量为，则．令，得．‎ 由平面，得平面的法向量为，则 所以二面角的大小为．‎ ‎15.动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，已知点的轨迹是过点的圆．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点（，在轴的同侧），，为椭圆的左、右焦点，若，求四边形面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）3．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，，得到，点的轨迹是过的圆，故，得到椭圆方程.‎ ‎（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，设，，直线的方程为，联立方程得到，，计算，利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】（1）设点，，则点，，，‎ ‎，，，‎ 点在椭圆上，，即为点的轨迹方程．‎ 又点的轨迹是过的圆，，解得，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，‎ 由（1）可知，，‎ 设，，直线的方程为，‎ 由可得，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 设与的距离为，则四边形面积 ‎，‎ 而，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号．‎ 故四边形面积的最大值为3．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程，四边形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.‎ ‎16．在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为，市民之间选择意愿相互独立.‎ ‎（1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）（i）若从问卷市民中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和；‎ ‎（ⅱ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，），试探求与之间的关系，并求数列的通项公式.‎ ‎【解析】（1）的可能取值为4，5，6，7，8，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所有的分布列为 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 所以数学期望.‎ ‎（2）（i）总分恰为分的概率为，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，前10项和.‎ ‎（ii）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2分，概率为.‎ 因为，即，‎ 所以，‎ 则是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以，所以.‎ ‎18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求函数在上的零点个数．‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）2个 ‎【详解】(1),其定义域为,,‎ ‎①当时,因为,所以在上单调递增,‎ ‎②当时,令得,令得,‎ 所以在上单调递减,上单调递增,‎ 综上所述,当时,在上单调递增,当时,在单调递减,单调递增.‎ ‎(2)方法一:由已知得,,则.‎ ‎①当时,因为,所以在单调递减,‎ 所以,所以在上无零点;‎ ‎②当时,因为单调递增,且,,‎ 所以存在,使,‎ 当时,,当时,,‎ 所以在递减,递增,且,所以,‎ 又因为,‎ 所以,所以在上存在一个零点,‎ 所以在上有两个零点;‎ ‎③当时,,所以在单调递增,‎ 因为,所以在上无零点;‎ 综上所述,在上的零点个数为2个.‎ 方法二:由已知得,,则.‎ ‎①当时,因为,所以在单调递增,‎ 所以,所以在上无零点;‎ ‎②当时,所以在单调递增,‎ 又因为,,‎ 所以使,‎ 当时,,当时,‎ 所以在单调递减,单调递增,‎ 且,所以,‎ 又因为,所以,‎ 所以在上存在唯一零点,‎ 所以在上存在两个零点,‎ 综上所述,在上的零点个数为2个.‎