2019届二轮复习方程思想学案（全国通用）

2019届二轮复习方程思想学案（全国通用）

方 程 思 想 方程思想不仅是最基本的也是最重要的数学思想之一，它是从对问题的数量关系分析入手，将问题中的条件转化为数学模型（这种模型可以是方程、不等式或方程与不等式的混合组成），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获得解决的思想.利用方程思想解决数学问题时，首先要具备正确列出方程的能力，其次要具备用方程思想解题的意识.方程思想在高中数学体系中的应用主要体现在数列、解析等方面.‎ 例1. (1)已知函数满足，求的解析式.‎ 解：此题显然是关于与的方程，凭借已知中的一个方程是无法求解出的，抓住已知中与互为相反数，以代换再造一个方程，得到相当于两个“未知数”与的两个方程，再进行求解.易得所求.‎ 这里核心是“轮换”，即以代换，再造一个方程.类似地有，若函数满足，，求解，我们应以代换得再利用方程思想求解. 还有，若求等都需要方程思想求解.‎ ‎(2)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.‎ 解：　由已知得 ‎∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，‎ ‎∴＝＝.‎ 这里把两个已知视为关于与的二元一次方程组是解题的关键.‎ ‎（一）方程思想在数列中的应用　‎ 利用方程思想解决数列问题时,基本的解题思路是待定系数法，通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化。‎ 例2.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)由题意有，即 解得或 故或 ‎(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是 Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①‎ Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②‎ ‎①－②可得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，‎ 故Tn＝6－.‎ ‎（二）方程思想在解析几何中的应用 方程思想在解析几何中的应用主要体现在对圆锥曲线参数a、b、c的求解上。‎ 例3.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．‎ ‎[解]　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到直线的距离d＝＝，‎ 由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.‎ ‎(2)解法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①‎ 依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.‎ 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得 ‎(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－， x1x2＝.‎ 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，‎ 解得k＝.从而x1x2＝8－2b2.‎ 于是|AB|＝ |x1－x2|＝＝.‎ 由|AB|＝，得 ＝，解得b2＝3.‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ 解法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②‎ 依题意，点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2, x＋4y＝4b2，‎ 两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.‎ 易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，‎ 所以AB的斜率kAB＝＝.‎ 因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0.‎ 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.‎ 于是|AB|＝ |x1－x2|＝＝.‎ 由|AB|＝，得 ＝，解得b2＝3.‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎（三）方程思想在解决图象交点或方程根等问题中的应用　‎ 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f（x）＝0，就是求函数y＝f（x）的零点，再如方程f（x）＝g（x）的解的问题可以转化为函数y＝f（x）与y＝g（x）的交点问题，也可以转化为函数y＝f（x）－g（x）与x轴的交点问题，方程f（x）＝a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域.‎ 例4.　已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x>0)，其中e表示自然对数的底数．‎ ‎(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；‎ ‎(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ ‎[解]　(1)解法一：因为x>0，所以g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，g(x)＝m就有实根．‎ 解法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的图象，如图所示，观察图象可知g(x)的最小值为2e，因此要使g(x)＝m有实根，则只需m≥2e.‎ 解法三：由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0，此方程有大于0的根，故 等价于 故m≥2e.‎ ‎(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．‎ 因为f(x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－(x－e)2＋t－1＋e2，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2.‎ 由题意，作出g(x)＝x＋(x>0)及f(x)＝－x2＋2ex＋t－1 的大致图象，如图所示．‎ 故当t－1＋e2>2e，即t >－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ 所以t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．‎ 反思：解决图象交点及方程根问题的方法 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想即方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象交点个数问题也可转化为方程根的问题．函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的。函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系。‎ 配套练习：‎ ‎1.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100　　　　　B．‎99 C．98 D．97‎ ‎2.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎3.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为(　　)‎ A．－5 B．－6‎ C．－7 D．－8‎ ‎4.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.‎ ‎(1)求{an}的通项an；‎ ‎(2)求{an}前n项和Sn的最大值．‎ ‎5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设Q为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点，记△QF‎2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1＋S2，求S的最大值．‎ 解析：‎ ‎1. 设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98.故选C ‎2.方程有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数与函数的图象如下图所示 所以是方程的两根，是方程的两根，由求根公式得，且，所以，令，由得，函数在区间递增，在区间递减，又，所以所求函数的取值范围是，故选B.‎ ‎3.‎ 由图象知f(x)、g(x)有三个交点，故方程f(x)＝g(x)，在x∈[－5,1]上有三个根xA、xB、xC，且xB＝－3，＝－2，xA＋xC＝－4，∴xA＋xB＋xC＝－7.‎ 故选C ‎4.解　(1)设{an}的公差为d，由已知条件，‎ 解出a1＝3，d＝－2，所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.‎ ‎(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2，‎ 所以n＝2时，Sn取到最大值4.‎ ‎5.解　(1)由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝2b2，‎ 又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2＋y2＝b2，且与直线x－y＋2＝0相切，所以b＝＝，‎ 所以a2＝4，b2＝2，故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my＋，‎ 由得(m2＋2)y2＋2my－2＝0，‎ y1＋y2＝－，y1y2＝－.‎ 所以|MN|＝|y2－y1|＝ ‎ ‎＝ ＝，‎ 因为MN∥OQ，所以△QF‎2M的面积等于△OF‎2M的面积，S＝S1＋S2＝S△O MN，‎ 因为点O到直线MN：x＝my＋的距离d＝ 所以S＝|MN|·d＝××＝.‎ 令 ＝t，则m2＝t2－1(t≥1)，S＝＝，‎ 因为t＋≥2＝2(当且仅当t＝，即t＝1，也即m＝0时取等号)，所以当m＝0时，S取得最大值.‎