湖北省大冶市六中2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题

湖北省大冶市六中2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题

‎2019秋湖北省大冶市六中高二（上）第一次月考数学试卷（A卷）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.若全集，集合，，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴或 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴‎ 故选B.‎ ‎2.已知，则下列各式一定正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为恒为正数，故选D．‎ ‎3.已知函数（为常数，且），若在上的最小值为4，则实数的值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：可知，（）.因，所以，则，解得。故选B。‎ 考点：均值不等式求最值。‎ ‎4.一个算法的程序框图如图，若该程序输出，则判断框内应填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟运行程序框图，当S=时确定判断框内填的内容.‎ ‎【详解】由题得i=1,S=0,S=,i=2,,i=3,,‎ i=4,,i =5,,‎ 所以判断框内填.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查程序框图和循环结构，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由三视图还原成原来的几何体，再根据几何体的表面积公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】解：由三视图可知此几何体是一个简单的组合体：上面一个半径为1的球，下面一个底面边长为2高为3的正四棱柱，‎ ‎∴球的表面积为，正四棱柱的表面积为，‎ ‎∴原几何体的表面积为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，熟记简单几何体的结构特征，以及几何体的表面积公式即可．属于基础题型.‎ ‎6.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是（　　）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论当和当x＞0两种情况，运用参数分离和构造函数，求导数和单调性、最值，即可得到所求最大值．‎ ‎【详解】解：当时，，恒成立；‎ 当， ，‎ 令，‎ ‎，‎ 则时，，递减；时，，递增；‎ 则，即.‎ 故a的最大值为3．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查由不等式恒成立求参数的问题，考查分离参数法和构造函数法，考查导数的运用：求单调性，考查运算能力，属于常考题型.‎ ‎7.已知数列的前项和为，则（　　）‎ A. 30 B. 31 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中条件，结合并项求和的方法，可直接得出结果.‎ ‎【详解】解：∵数列的前项和为，，‎ ‎∴‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记并项求和的方法即可，属于常考题型.‎ ‎8.设，，夹角为，则等于（　　）‎ A. 37 B. 13 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中条件，由，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：∵，，夹角为，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎9.函数的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由函数的图象可知，，因为函数的图象经过，，‎ ‎，，所以函数的解析式为，故选A．‎ 考点：三角函数的图象和性质． ‎ ‎【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题．求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”（即图象上升时与轴的交点）时；“第二点”（即图象的“峰点”）时；“第三点”（即图象下降时与轴的交点）时；“第四点”（即图象的“谷点”）时；“第五点”时．‎ ‎10.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由a、b、c成等比数列，得到，再由题中条件，结合余弦定理，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：a、b、c成等比数列，所以，‎ ‎​所以，‎ 由余弦定理可知，‎ 又，所以.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎11.是奇函数，则（　　）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的特征，得到，从而可求出结果.‎ ‎【详解】解：∵是奇函数，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 经过验证满足条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记奇函数的概念即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知数列满足，，则（）.‎ A. 9 B. 15 C. 18 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意求出的通项公式与求和公式，再根据的正负去绝对值，即可得出结果.‎ 详解】​解：∵，，‎ ‎∴数列是公差为2的等差数列．‎ ‎，‎ 数列的前n项和，‎ 令，解得，‎ ‎∴时，，‎ 时，，‎ 则 故选C ‎【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.不等式的解集是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由条件可得 ‎14.设均为正实数，且，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】、y均为正实数,且,进一步化简得. ,令,‎ ‎, (舍去),或, 即,化简可得 , 的最小值为16.‎ ‎15.若满足约束条件则的最小值为 ．‎ ‎【答案】0．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，首先作出二元一次不等式组表示的平面区域（图中阴影区域），平移可得当时，取最小值，．‎ 考点：线性目标函数的最值问题．‎ ‎16.在三角形中，，则角等于______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中条件，直接利用两角和的正切公式化简求值即可．‎ ‎【详解】解：在三角形中，，‎ 可得，‎ 所以，‎ ‎∵‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查三角形的解法，两角和的正切函数的应用，考查计算能力，属于常考题型.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.已知向量，，函数．‎ ‎（1）若，求函数的值域；‎ ‎​（2）当时，求的单调递增区间．‎ ‎【答案】（1）函数的值域为（2）的单调递增区间为和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量的数量积运算求出的解析式，将函数化为的形式，然后求解时函数的最值，即可得值域．‎ ‎（2）当时，求出内层函数的范围，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；求的单调递增区间．‎ ‎【详解】解：（1）由题意：，‎ ‎，，‎ 函数 当时，，‎ 当时，取值最小值为-1，‎ 当时，取得最大值为2，‎ 所以函数的值域为．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 由正弦函数图象及性质可知：单调递增区间为[‎ 即．‎ 解得：．‎ 又∵‎ 当时，可得：．‎ 当时，可得：．‎ ‎∴的单调递增区间为和．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图象及性质的综合运用能力和计算能力，对三角函数的理解，属于常考题型.‎ ‎18.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求值．‎ ‎【答案】（1）（2）a=3，c=2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果．‎ ‎（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．‎ ‎【详解】解：（1）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.‎ 利用正弦定理得：，‎ 由于：，‎ 所以：，‎ 解得： ，‎ 由于：，‎ 所以：．‎ ‎（2）由于：，‎ 则：，‎ 整理得：，‎ 解得：a=2或3，c=3或2，‎ 由于，‎ 所以：a=3，c=2．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎19.已知各项均为正数的数列满足，且．‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：是等差数列；‎ ‎（Ⅲ）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）详见解析（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先根据已知条件推得数列的递推关系式，再把2，3代入即可；‎ ‎（Ⅱ）直接根据条件，结合等差数列的定义，即可得出结论；‎ ‎（Ⅲ）先求出数列的通项，再利用错位相减法以及裂项相消法求和即可．‎ ‎【详解】解：∵各项均为正数的数列{an}满足a1=1，且．‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴；‎ ‎∴．①‎ ‎（Ⅰ）∴，‎ ‎∴；‎ 同理：．‎ ‎（Ⅱ）由①得是首项为1，公差为1的等差数列；‎ ‎∴；‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅲ）∴；‎ 的和 ‎①，‎ ‎②，‎ ‎∴①-②得 ‎，‎ ‎∴；‎ 的和为： ．‎ ‎∴数列的前项和为：．‎ ‎【点睛】本题以数列递推式为载体，考查构造法证明等差数列，考查数列通项，考查裂项相消法求和．运用了错位相减法求数列的前n项和，属于常考题型.‎ ‎20.已知数列为递增的等比数列，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由及，，解出，再利用通项公式即可得出结果．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，再利用求和公式即可得出．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由及,‎ 得或（舍）‎ 所以，a1=1‎ 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以 ‎ ==.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎21.某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如表：‎ 年份年 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 维护费万元 Ⅰ求y关于t的线性回归方程；‎ Ⅱ若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由．‎ 参考公式：，‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（2）甲更有道理.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分别求出相关系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）代入的值，比较函数值的大小，判断即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 所以回归方程为 ‎（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：‎ ‎（万元）‎ 若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：‎ ‎（万元）‎ 所以甲更有道理 ‎【点睛】本题考查了求回归方程问题，考查函数求值，是一道常规题．‎ ‎22.已知定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求实数m，n的值；‎ ‎（Ⅱ）若任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）m=2，n=1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数的性质：过原点，，代入求得m，n的值；‎ ‎（2）利用奇函数的性质和单调性得出，由二次函数的性质得出满足a的范围，进而求出a的范围．‎ ‎【详解】解：（1）∵是奇函数，∴，‎ 即解得n=1．‎ 所以 又由知 解得m=2，‎ 经检验，m=2，n=1；‎ ‎（2）由（1）知，在上为减函数．‎ 又∵是奇函数，∴‎ ‎∵为减函数，得．‎ 即任意的，有.‎ ‎∴，可得．‎ ‎【点睛】考查了奇函数的性质和二次函数的性质，属于常规题型，应熟练掌握．‎ ‎ ‎ ‎ ‎