高考数学【理科】真题分类详细解析版专题6 不等式（原卷版）
专题06 不等式
【2013高考真题】
（2013·天津理）8. 已知函数. 设关于x的不等式的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（2013·上海理）15．设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
（2013·陕西理）9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）
(A) [15,20] (B) [12,25]
(C) [10,30] (D) [20,30]
（2013·山东理）12.设正实数满足,则当取得最大值时，的最大值为
A. B. C. D.
（2013·湖南理）10.已知
.
（2013·广东理）9．不等式的解集为___________．
（2013·湖南理）20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。
（2013·江西理）16．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围.
（2013·天津理）14. 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值.
1.（2012·福建卷）下列不等式一定成立的是( )
A．lg＞lgx(x＞0)
B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.＞1(x∈R)
2．（2012·重庆卷）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.
(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；
(2)若a2＞－1，求证：Sn≤(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．
3．（2012·浙江卷）设a>0，b>0( )
4．（2012·浙江卷）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
4．（2012·山东卷）若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
5．（2012·江苏卷）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为（0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
6．（2012·天津卷）已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
7．（2012·浙江卷）设集合A＝{x|1
c2，则C<；
②若a＋b>2c，则C<；
③若a3＋b3＝c3，则C<；
④若(a＋b)c<2ab，则C>；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.
25．（2012·江苏卷）已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．
26．(2012·广东卷)设a<1，集合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)；
(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．
27．(2012·陕西卷)设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．
(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；
(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围；
(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn，…的增减性．
28．(2012·江苏卷)如图1－5，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y
轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
29．(2012·四川卷)如图1－7所示，动点M与两定点A(－1,0)、B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB，设动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设直线y＝－2x＋m与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．
30．(2012·四川卷)记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{xn}满足x1＝a，xn＋1＝(n∈N*)．现有下列命题：
①当a＝5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn＝xk；
③当n≥1时，xn＞－1；
④对某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[]．
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
31．(2012·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①若ab>c2，则C<；
②若a＋b>2c，则C<；
③若a3＋b3＝c3，则C<；
32．(2012·四川卷)已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
(1)用a和n表示f(n)；
(2)求对所有n都有≥成立的a的最小值；
(3)当0＜a＜1时，比较与·的大小，并说明理由．
1.(2011年高考浙江卷理科5)设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是
（A）14 （B）16 （C）17 （D）19
2.(2011年高考浙江卷理科7)若为实数，则“”是的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
3.(2011年高考安徽卷理科4)设变量满足则的最大值和最小值分别为
（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１
4. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为
A. B. C. D.
5. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为
A. B. C. D.
6. (2011年高考湖南卷理科7)设在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为
A. B. C. D.
，，,
7. (2011年高考广东卷理科5)已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(，1)．则的最大值为（ ）A. B. C.4 D.3
8．(2011年高考湖北卷理科8)已知向量，且，若满足不等式，则z的取值范围为
A.[—2,2] B. [—2,3] C. [—3,2] D. [—3,3]
，，，，，，，
9．(2011年高考湖北卷理科9)若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的
，，，，ab=0，，
10.(2011年高考浙江卷理科16)设为实数，若则的最大值是 .。
11．(2011年高考天津卷理科13)
已知集合，则集合=________
;由绝对值的几何意义可得:,所以=
12. (2011年高考湖南卷理科10)设，且，则的最小值为 .
，且，13. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.
14.(2011年高考安徽卷江苏8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
15．(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:．实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。
（1）过点作L的切线教y轴于点
B．证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0．过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a,b） X;
（3）设D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．当点（p,q）取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）．
16. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）
(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；
(Ⅱ)设均为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则
1.（2010浙江理数）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数
（A） （B） （C）1 （D）2
2.（2010全国卷2理数）不等式的解集为
（A） （B）
（C） （D）
3.（2010江西理数）不等式 高☆考♂资♀源*网的解集是（ ）
A. B. C. D.
4.（2010重庆理数）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A. 3 B. 4 C. D.
5.（2010重庆理数）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为
A.—2 B. 4 C. 6 D. 8
6.（2010四川理数）设，则的最小值是
A）2 （B）4 （C） （D）5
7.（2010四川理数）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70
箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
8.（2010福建理数）设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )
A． B．4 C． D．2
9.（2010辽宁理数）已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）
10.（2010安徽理数）设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为________。
11.（2010湖北理数）已知，式中变量，满足约束条件，则的最大值为___________.
12.（2010湖北理数）设a>0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。
13.（2010江苏卷）设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ 。。
14.（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知
(I)求sinC的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．
15.（2010辽宁理数）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
17.（2010江西理数）（本小题满分12高☆考♂资♀源*网分）
已知函数。
(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；
(2) 当时，，求m的值。
18.（2010四川理数）（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；
由推导两角和的正弦公式.
20.（2010福建理数）轮某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
21.（2010江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
22.（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
1．（2009·天津理6）设若的最小值为
A 8 B 4 C 1 D
2.（2009·山东12）设x，y满足约束条件 ，
若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为( ).
A. B. C. D. 4
. (宁夏海南文理6)设满足则
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
4．(福建9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
5．(山东5)在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为( ).
A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2)
6．(2009·山东13) 不等式的解集为 .
7. (2009·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值是 ．
8.（2009·山东文16）某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
9.(2009·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值是 ．
10. (江苏12) 设为实数，函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
1．（2008·山东理）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是
（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
2．（2008·广东理）若变量满足则的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
3．（2008·山东理）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为 .
4．（2008·广东理）已知，若关于的方程
有实根，则的取值范围是 ．
5．（2008·江苏）的最小值为 。
6．(2008·山东理14)设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是_______.