2018-2019学年吉林省实验中学高一下学期期末考试数学（文科）试题

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2018-2019 学年吉林省实验中学高一下学期期末考试数学（文科）试题 第Ⅰ卷（满分 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1．若直线经过 (1,0), (2, 3)A B 两点，则直线 AB 的倾斜角是 （ ） A．135 B．120 C． 60 D． 45 2．在等差数列 na 中，若 1 2a  ， 3 5 10a a  ，则 7a  （ ） A．5 B．8 C．10 D．14 3．圆 2 2 2 0x y x   和圆 2 2 4 0x y y   的公切线个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若圆锥的高扩大为原来的 3 倍，底面半径缩短为原来的 1 2 ，则圆锥的体积（ ） A．缩小为原来的 3 4 B．缩小为原来的 2 3 C．扩大为原来的 2 倍 D．不变 5．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积为 A．48 B．64 C．80 D．120 6．若函数 f(x)＝x＋ 1 x－2 (x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于 A．3 B．1＋ 3 C．1＋ 2 D．4 7．下列判断中, ,m n 表示两条不同的直线, , ,   表示三个不同的平面. ①若 , / /m n  ,则 m n ; ②若 ,     ,则 / /  ; ③若 / / , / /m n  ,则 / /m n ; ④若 / / , / / ,m     ,则 m  . 其中正确的判断是 （ ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 8．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 为棱 1CC 的中点，则异面直线 AE 与CD 所成角的余 弦值为 （ ） A． 3 2 B． 5 3 C． 1 2 D． 2 3 9．在公比 q为整数的等比数列{ }na 中， nS 是数列{ }na 的前 n 项和，若 1 4 32a a  ， 2 3 12a a  ，则下列说法错误的是 （ ） A． 2q = B．数列 2nS  是等比数列 C． 8 510S  D．数列{lg }na 是公差为 2 的等差数列 10．若 x>0，y>0，且2 x ＋1 y ＝1，x＋2y>m2＋7m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A．(－8,1) B．(－∞，－8)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(8，＋∞) D．(－1,8) 11．已知点 ( 5,0), ( 1, 3)A B   ，点 P 是圆 2 2: ( 1) 1C x y   上任意一点，则 PAB 面积 的最大值是 （ ） A．11 B． 23 2 C．13 D． 27 2 12．在平面直角坐标系中，点 ( , )P x y 的坐标满足方程 2 22 0x x y   ，点 ( , )Q a b 的坐标 满足方程 2 2 6 8 24 0a b a b     ，则 y b x a   的取值范围是 （ ） A．[ 2,2] B． 4 7 4 7,3 3          C． 13, 3      D． 6 7 6 7,3 3        第Ⅱ卷（满分 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13．已知 ,x y 满足约束条件 5 0 5 0 3 x y x y x          ，则 3 6z x y  的最大值为 ． 14．圆 2 2 5x y  的一条经过点 (1, 2) 的切线方程为 ． 15．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a  ， 12 1n nS a   ，则 nS  ． 16．在三棱锥 P ABC 中， PA  平面 ABC ， ABC 是边长为 2 的正三角形， 4PA  ， 则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 ． 三、解答题：（本大题共 6 小题，其中 17 小题 10 分，18-22 小题每小题 12 分；解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. （1）当 l1∥l2 时，求 a 的值； （2）当 l1⊥l2 时，求 a 的值． 18．（本小题满分 12 分） （1）已知圆 M 经过  2, 3A  和  2, 5B   两点，若圆心在直线 2 3 0x y   上，求圆 M 的方程； （2）求过点  1,0A  ，  3,0B 和  0,1C 的圆 N 的方程． 19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA  平面 ABCD ，底面是棱长 为1的菱形， 60ADC   ， 2PA  ， M 是 PB 的中点． （1）求证： PD //平面 ACM ； （2）求直线CM 与平面 ABCD 所成角的正切值． 20．（本小题满分 12 分）已知正项等比数列 na 中， 4 81a  ，且 2 3,a a 的等差中项为  1 2 3 2 a a ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 3 2 1logn nb a  ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ， 数 列  nc 满足 1 4 1n n c S   ， nT 为数列 nc 的前 n 项 和 ， 求 nT ． 21．（本小题满分 12 分）建筑公司用8000 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋 至少12 层、每层 4000 平方米的楼房．初步估计得知，如果将楼房建为  12x x  层，则每 平方米的平均建筑费用为   3000 50Q x x  (单位:元)． （1）求楼房每平方米的平均综合费用  f x 的解析式； （2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综 合费用最小值是多少？ = + = 购地总费用注：平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用，平均购地费用 建筑总面积． 22．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知 ( 1,0)A  ， (2,0)B ，动点 ( , )M x y 满 足 1 2 MA MB  ，设动点 M 的轨迹为曲线C ． （1）求动点 M 的轨迹方程，并说明曲线C 是什么图形； （2）过点 (1,2) 的直线 l 与曲线C 交于 ,E F 两点，若 4 5 5EF  ，求直线 l 的方程； （3）设 P 是直线 8 0x y   上的点，过 P 点作曲线C 的切线 ,PG PH ，切点为 ,G H ， 设 ( 2,0)C  ，求证：过 , ,G P C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 吉林省实验中学 2018---2019 学年度下学期 高一年级数学（文科）学科期末考试参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B A C A C D D A B B 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分．） 13． 14． 15． 16． 三、解答题：（本大题共 6 小题，其中 17 小题 10 分，18~22 小题每小题 12 分；解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．解： （1）法一：①当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1 与 l2 不平行，故不成立； ②当 a≠1 时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝ 11－ax－(a＋1)， 由 ，得 或 当 时， 与 重合 法二：A1B2＝A2B1，得 a(a－1)＝1×2， 由 A1C2≠A2C1，得 a(a2－1)≠1×6， 可得 a＝－1， 故当 a＝－1 时，l1∥l2 （2）法一：①当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1 与 l2 不垂直，故不成立； ②当 a≠1 时， l1：y＝－a2x－3，l2：y＝ 11－ax－(a＋1)，由 · 11－a＝－1，得 a＝23. 法二：由 A1A2＋B1B2＝0，得 a＋2(a－1)＝0，可得 a＝23. 18．解： （1）由点 和点 可得,线段 的中垂线方程为 . ∵圆经过 和 两点,圆心在直线 上, ∴ ,解得 ,即所求圆的圆心 , ∴半径 ,所求圆 的方程为 ； （2）设圆 的方程为 , ∵圆 过点 ， 和 , ∴列方程组得 解得 , ∴圆 的方程为 . 19．解： （1） 连接 ，交 于点 ，连接 ，由底面 是棱形，知 是 的中点， 又 是 的中点， // . 又 平面 , 平面 //平面 . （2）取 中点 ,连接 , 分别为 的中点, // 平面 平面 直线 与平面 所成角为 ， . 20．解： （1）设等比数列 的公比为 ，由题意得 ，解得 ，所以 . （2）由（1）得 ， ， ∴ ， ∴ . 21．解： （1）依题意得, （2） . 当且仅当 ,即 时上式取“=”. 因此，当 时， 取得最小值 (元). 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为 层,每平方米的平均综合费 用最小值为 元. 22．解： （1）由题意得 ，化简可得： ， 所以动点 M 的轨迹方程为 . 曲线 是以 为圆心， 为半径的圆. （2）①当直线 斜率不存在时， ，不成立； ②当直线 的斜率存在时，设 ，即 ， 圆心 到 的距离为 , 即 , 解得 或 , 的方程为 或 . （3）证明： 在直线 上，则设 为曲线 的圆心，由圆的切线的性质可得 ， 经过 的三点的圆是以 为直径的圆， 则方程为 ， 整理可得 , 令 ，且 , 解得 或 则有经过 三点的圆必过定点，所有定点的坐标为 ， .