2019届二轮（理科数学）　等差数列与等比数列课件（28张）（全国通用）

2019届二轮（理科数学）　等差数列与等比数列课件（28张）（全国通用）

第八章　数列与数学归纳法 第1节　等差数列与等比数列 内容简介 本节主要包含以下方面的知识点 : (1) 等差数列的定义 ; (2) 等差数列的通项公式及项的性质 ; (3) 等差数列的求和公式及和的性质 ; (4) 等比数列的定义 ; (5) 等比数列的通项公式及项的性质 ; (6) 等比数列的求和公式及和的性质 . 考试说明要求 : (1) 理解等差数列、等比数列的概念 ; (2) 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式 ; (3) 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系 . 知识梳理 例题精讲 课前检测 知识梳理 1.等差数列的定义 (1)定义:一般地,如果一个数列 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示. (2)等差中项:如果a,A,b ,那么A叫做a与b的等差中项. 2.等差数列的通项公式及求和公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1 ,公差为d,那么它的通项公式是 ,其前n项 和是 或S n = . 从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一常数 成等差数列 a n =a 1 +(n-1)d 3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m + (n,m∈ N * ). (n-m)d (2) 若 {a n } 为等差数列 , 且 k+l=m+n(k,l,m,n∈ N * ), 则 . 特别地 , 当 k+l=2m(k,l,m∈ N * ) 时 , 则 . (3) 若 {a n } 为等差数列 ,S n 为前 n 项和 , 则 S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,… 也成等差数列 , 公差为 n 2 d. 4. 等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系 (1) 通项公式 :a n =a 1 +(n-1)d=dn+(a 1 -d), 当 d≠0 时 , 等差数列的通项公式是关于 n 的 函数 ; 当 d=0 时 , 等差数列的通项公式是 函数 . a k +a l =a m +a n a k +a l =2a m 一次 常数 二次 S n =na 1 5.等比数列的定义 (1)定义:一般地,如果一个数列 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 表示(q≠0). (2)等比中项:如果 ,那么G叫做a与b的等比中项. 6.等比数列的通项公式及求和公式 如果等比数列{a n }的首项为a 1 ,公比为q,那么它的通项公式是 ,其前n项和是S n ,则 (1)当q=1时,S n = . (2) 当 q≠1 时 ,S n = 或 S n = . 从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数 公比 q a,G,b成等比数列 a n =a 1 · q n-1 na 1 7.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m · (n,m∈ N * ). q n-m (2) 若 {a n } 为等比数列 , 且 k+l=m+n(k,l,m,n∈ N * ), 则 a k · a l =a m · a n . 特别地 , 当 k+l=2m(k,l,m∈ N * ) 时 , 则 . (3) 若 {a n } 为等比数列 ,S n 为前 n 项和 , 则 S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,… 也成等比数列 , 公比为 q n . 课前检测 1.( 2017 · 浙江卷 ) 已知等差数列 {a n } 的公差为 d, 前 n 项和为 S n , 则 “ d>0 ” 是 “ S 4 +S 6 >2S 5 ” 的 ( 　 　 ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 C 解析 : 因为 S 4 +S 6 >2S 5 ⇔ S 4 +S 4 +a 5 +a 6 >2(S 4 +a 5 ) ⇔ a 6 >a 5 ⇔ a 5 +d>a 5 ⇔ d>0, 所以 “ d>0 ” 是 “ S 4 +S 6 >2S 5 ” 的充分必要条件 . 故选 C. D 3. (2017 · 全国 Ⅲ 卷 ) 设等比数列 {a n } 满足 a 1 +a 2 =-1,a 1 -a 3 =-3, 则 a 4 = 　　　　 .   答案 : -8 答案 : 1 答案 : 5 5.设等差数列{a n }前n项和为S n ,若S m-1 =-4,S m =0,S m+2 =14(m≥2且m∈ N + ),则m= 　　　　 .   例题精讲 考点一 等差、等比数列基本量的运算 答案 : (1)C 类型一　方程组思想 【 例 1 】 (1) (2017 · 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和 . 若 a 4 +a 5 =24,S 6 =48, 则 {a n } 的公差为 ( 　　 ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 答案 : (2)32 规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a 1 ,a n ,d,n,S n ;等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a 1 ,a n ,q,n,S n .已知其中三个就能求另外两个(简称 “ 知三求二 ” ). (2)等差数列的基本量为a 1 ,d;等比数列的基本量为a 1 ,q.在运算过程中,常用基本量去表示未知量和已知量. 考点二 等差、等比数列的性质 【 例 3 】 (1)( 2015 · 全国 Ⅱ 卷 ) 设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和 , 若 a 1 +a 3 +a 5 =3, 则 S 5 等于 ( 　　 ) (A)5 (B)7 (C)9 (D)11 (2) 等比数列 {a n } 的各项均为正数 , 且 a 5 a 6 +a 4 a 7 =18, 则 log 3 a 1 +log 3 a 2 +…+Log 3 a 10 等于 ( 　　 ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log 3 5 考点三 等差、等比数列的判断与证明 (2) 当 λ=2 时 , 求数列 {a n } 的通项公式 . (2)解: 由(1)可知,当λ=2时,{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n =n. 【 例 5 】 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S n +n=2a n (n∈ N * ). (1) 证明 : 数列 {a n +1} 为等比数列 ; (2) 求数列 {a n } 的通项公式 . (1) 证明 : n=1 时 ,2a 1 =S 1 +1, 则 a 1 =1. 由题意得 S n +n=2a n ,S n+1 +(n+1)=2a n+1 , 两式相减得 2a n+1 -2a n =a n+1 +1, 即 a n+1 =2a n +1. 于是 a n+1 +1=2(a n +1), 又 a 1 +1=2. 所以数列 {a n +1} 是以 2 为首项 ,2 为公比的等比数列 . (2) 解 : 由 (1) 可知 a n +1=2 · 2 n-1 =2 n , 即 a n =2 n -1. 考点四 等差数列最值问题 【 例 6 】 已知等差数列 16,14,12,… 的前 n 项和为 S n , 那么使 S n 取最大值的 n 等于 ( 　　 ) (A)8 (B)8 或 9 (C)9 或 10 (D)7 变式 : 已知等差数列 16,14,12,… 的前 n 项和为 S n , 且 S n >0, 则 n 的最大值为 　　　 .   解析: S n =-n 2 +17n>0,0

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