甘肃省武威第六中学2020届高三上学期第六次诊断考试数学（理）试题

甘肃省武威第六中学2020届高三上学期第六次诊断考试数学（理）试题

武威六中2020届高三一轮复习过关考试（六）‎ 理科数学 一、选择题()‎ ‎1. 已知集合P＝{x|y＝}，Q＝{x|ln x<1}，则P∩Q＝(　　)‎ A.(0，2] B.[－2，e)‎ C.(0，1] D.(1，e)‎ ‎2. 已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　)‎ A.－5 B.－1 C.－ D.－ ‎3. 已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则sin 2θ 的值为(　　)‎ A. B. C. D.－ ‎4．已知不重合的两条直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l ⊂β，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.‎ 其中正确的命题是(　　)‎ A.①④ B.③④ C.①② D.①③‎ ‎5. 已知f(x)满足∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝＋k(k为常数)，则f(ln 5)的值为(　　)‎ A.4 B.－4 C.6 D.－6‎ ‎6．直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝1，c＝，‎ 且asin Bcos C＋csin Bcos A＝，则a＝(　　)‎ A.1或 B.1或 C.1或2 D.或 ‎8．已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，||＝2，＝＋，若M是线段AB的中点，则·的值为(　　)‎ A. B.2 C.2 D.3 ‎ ‎9．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．正项等比数列{an}中，a2 018＝a2 017＋2a2 016，若aman＝16a，则＋的最小值等于(　　)‎ A.1 B. C. D. ‎11．已知函数f(x)＝1＋2cos xcos(x＋3φ)是偶函数，其中φ∈，则下列关于函数g(x)＝cos(2x－φ)的正确描述是(　　)‎ A.g(x)在区间上的最小值为－1‎ B.g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到 C.g(x)的图象的一个对称中心是 D.g(x)的一个单调递减区间是 ‎12. 在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为(　　)‎ A. B.[0，1] C. D. 二、填空题(‎ ‎13．若实数x，y满足约束条件且x－y的最大值为5，则实数m的值为________.‎ ‎14. 设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝－n2－n，则数列的前40项的和为________.‎ ‎15．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.‎ ‎16．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABC－A1B1C1，其中AC⊥BC，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为________.‎ 三、解答题 ‎17.（本小题12分）已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x－(x∈R).‎ ‎（1）求f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；‎ ‎（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝0，若sin B＝2sin A，求a，b的值.‎ ‎18．（本小题12分）在单调递增的等差数列{bn}中，前n项和为Sn，已知b3＝6，且b2，，b4成等比数列.‎ ‎（1）求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设an＝()bn，求数列{an}的前n项和Tn.‎ ‎19. （本小题12分）在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.‎ ‎（1）求证：A1C1⊥B1C；‎ ‎（2）求二面角B1－A1C－C1的正弦值.‎ ‎20. （本小题12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.‎ ‎21. （本小题12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，证明：；‎ ‎（2）若对于定义域内任意x，恒成立，求t的取值范围.‎ ‎．(本小题满分分) 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 ‎ ‎（θ为参数），M为曲线C1上的动点，动点P满足＝a(a>0且a≠1)，P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎（1）求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；‎ ‎（2）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为，射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4＋2，求a的值.‎ ‎2020届武威六中第六次阶段性过关测试卷 理科数学答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D ‎ B A ‎ B B C D D ‎ B C A ‎ 二、填空题 ‎13. －2 14. 　－ 15. －或－ 16. π ‎ 三、解答题 ‎17.解　(1)f(x)＝sin 2x－－＝sin－1.‎ 当2x－＝2kπ－(k∈Z)，‎ 即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)min＝－2.‎ 此时自变量x的取值集合为.‎ ‎(2)由f(C)＝0，得sin＝1.‎ 又C∈(0，π)，则－<2C－<，‎ 所以2C－＝，C＝.‎ 在△ABC中，sin B＝2sin A，由正弦定理，‎ b＝2a.①‎ 又c＝，由余弦定理得()2＝a2＋b2－2abcos ，‎ ‎∴a2＋b2－ab＝3，②‎ 联立①，②得a＝1，b＝2.‎ ‎18. 解　(1)设等差数列{bn}的公差为d，‎ 因为b3＝6，且b2，，b4成等比数列，‎ 所以 解得，b1＝2，d＝2或b1＝10，d＝－2.‎ 因为{bn}单调递增，所以d>0，‎ 所以b1＝2，d＝2，‎ 所以{bn}的通项公式为bn＝2n.‎ ‎(2)因为an＝()bn，所以an＝nen.‎ 所以Tn＝1·e1＋2e2＋3e3＋…＋nen，①‎ 所以eTn＝1·e2＋2e3＋3e4＋…＋nen＋1.②‎ 以上两个式子相减得，‎ ‎(1－e)Tn＝e＋e2＋e3＋…＋en－nen＋1，‎ 所以(1－e)Tn＝－nen＋1，‎ 所以Tn＝.‎ ‎19. (1)证明　如图，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，‎ ‎∵C1C＝A1A＝A1C，‎ ‎∴CD⊥A1C1，‎ ‎∵底面△ABC是边长为2的正三角形，‎ ‎∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，‎ ‎∴B1D⊥A1C1，又B1D∩CD＝D，‎ ‎∴A1C1⊥平面B1CD，且B1C平面B1CD，‎ ‎∴A1C1⊥B1C.‎ ‎(2)解　法一　如图，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E.‎ ‎∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，‎ ‎∴侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，‎ ‎∴B1D⊥侧面AA1C1C，又A1C平面AA1C1C，‎ ‎∴B1D⊥A1C，又DE⊥A1C且B1D∩DE＝D，‎ ‎∴A1C⊥平面B1DE，∴B1E⊥A1C，‎ ‎∴∠B1ED为所求二面角的平面角，‎ ‎∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝，‎ 又ED＝CC1＝，∴tan∠B1ED＝＝＝，‎ ‎∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为.‎ 法二　如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(，0，0)，A1(0，0，1)，B1(，－1，1)，C1(0，－2，1)，C(0，－1，0)‎ ‎∴＝(，－1，0)，＝(0，－1，－1)，‎ 设m＝(x，y，z)为平面A1B1C的法向量，‎ ‎∴‎ 令y＝，得m＝(1，，－)，‎ 又＝(，0，0)为平面A1C1C的一个法向量，‎ 设二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角，‎ cos θ＝|cos〈m，〉|＝＝，‎ 则sin θ＝，∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为.‎ ‎20.解　(1)原点到直线x＋y－1＝0的距离为，‎ 由题得＋＝b2(b>0)，解得b＝1.‎ 又e2＝＝1－＝，得a＝2.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.‎ 当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立消去x得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.‎ 由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，‎ 所以y1y2＝.‎ λ＝|MA|·|MB|＝|y1|·|y2|‎ ‎＝(m2＋1)|y1y2|＝＝12.‎ 由m2>12，得0<<，所以<λ<12.‎ 综上可得：<λ≤12，即λ∈.‎ ‎21.（1）证明：即是证明，设，‎ 当，，单调递增；当，，单调递减；所以在处取到最大值，即，所以得证 ‎（2）原式子恒成立即在恒成立 设，‎ ‎，设，‎ ‎，所以单调递增，且，‎ 所以有唯一零点，而且，所以 两边同时取对数得 易证明函数是增函数，所以得，所以 所以由在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以 于是t的取值范围是 ‎22. 解　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，由＝a，‎ 得∴ ‎∵M在C1上，∴即(θ为参数)，‎ 消去参数θ得(x－2a)2＋y2＝4a2(a≠1)，‎ ‎∴曲线C2是以(2a，0)为圆心，以2a为半径的圆.‎ ‎(2)法一　A点的直角坐标为(1，)，‎ ‎∴直线OA的普通方程为y＝x，即x－y＝0，‎ 设B点坐标为(2a＋2acos α，2asin α)，则B点到直线x－y＝0的距离 d＝＝a，‎ ‎∴当α＝－时，dmax＝(＋2)a，‎ ‎∴S△AOB的最大值为×2×(＋2)a＝4＋2，∴a＝2.‎ 法二　将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－2a)2＋y2＝4a2并整理得：ρ＝4acos θ，‎ 令θ＝α得ρ＝4acos α，∴B(4acos α，α)，‎ ‎∴S△AOB＝·|OA|·|OB|·sin∠AOB ‎＝4acos α ‎＝a|2sin αcos α－2cos2α|‎ ‎＝a|sin 2α－cos 2α－|‎ ‎＝a，‎ ‎∴当α＝－时，S△AOB取得最大值(2＋)a，‎ 依题意(2＋)a＝4＋2，∴a＝2.‎