安徽省全国示范高中名校2020届高三上学期9月月考数学(理）试题

安徽省全国示范高中名校2020届高三上学期9月月考数学(理）试题

安徽省全国示范高中名校2020届高三上学期九月联考数学 理科数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 考试范围：集合与常用逻辑用语，函数与导数.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知全集，集合，，则的子集个数为（）‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,再求出,然后利用公式进行计算可得.‎ ‎【详解】，∴，∴子集个数为4．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题.‎ ‎2.已知函数（且）的图像恒过定点P，点P在幂函数的图像上，则（）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,可得定点,代入,可得幂函数的解析式,进而可求得的值.‎ ‎【详解】令,得,所以，∴幂函数 ，‎ ‎∴．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数,幂函数,属基础题.‎ ‎3.“”是“”的（）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及充分不必要条件的定义可得.‎ ‎【详解】因，‎ 所以Ü,‎ 所以”是“”的充分不必要条件.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.‎ ‎4.已知命题，，则（）‎ A. ，，且为真命题 B. ，且为假命题 C. ，且为真命题 D. ，且为假命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题的否定在否定结论的同时量词作相应改变，求导易得p为真命题，‎ ‎【详解】易得,‎ 令,则,‎ 所以当时,,递减;当时,, 递增,‎ 所以 时,,即恒成立,所以命题 为真命题,则为假命题.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了命题及其真假的判断,属基础题.‎ ‎5.已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，显然是奇函数，求导易得在R上单调递增.‎ ‎【详解】因为，显然是奇函数，‎ 又,所以在R上单调递增.只有C符合,‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.‎ ‎6.已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题的真假,再根据真值表可得.‎ ‎【详解】当时，，故p为假命题．由与的图像可知q为真命题，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假以及真值表,属基础题.‎ ‎7.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类比上述结论可得的正值为（）‎ A. 1 B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,通过类比可得: ,再解方程可得.‎ 详解】由题意可得，，∴，解得．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了推理与证明中的类比推理,属中档题.‎ ‎8.设，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数的单调性可得 ,通过指数函数的性质可得 .‎ ‎【详解】，，，∴，，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题.‎ ‎9.定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，，．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.‎ ‎10.已知函数，则（）‎ A. 只有极大值 B. 只有极小值 C. 既有极大值也有极小值 D. 既无极大值也无极小值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得,再分别令和得到两个关于 ,的方程,联立组成方程组可解得 ,并代入,再根据极值的定义可得.‎ ‎【详解】，∴且，解得，，，，∵，∴在处取得极小值，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值的概念,属中档题.‎ ‎11.设函数，若关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为当时，恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.‎ ‎【详解】因为关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根 所以当时， ，有一根，‎ 当时，恒有两个正根，由二次函数的图象可知 对任意的恒成立，所以 解得．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.‎ ‎12.若，恒成立，则整数k的最大值为（）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 恒成立，即恒成立, 即的最小值大于k,再通过,二次求导可求得.‎ ‎【详解】恒成立，即恒成立，即的最小值大于k，，令，则，∴在上单调递增，又，，∴存在唯一实根a，且满足，．当时，，；当时，，，∴，故整数k的最大值为3．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.由曲线与直线围成的封闭图形的面积为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，，结合图像可知围成的封闭图形的面积.‎ ‎【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，，‎ 如图:‎ ‎ ‎ 结合图像可知围成的封闭图形的面积为．‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.‎ ‎14.原命题“若，则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是____________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原命题为真,否命题为真以及原命题与其逆否命题同真假可得.‎ ‎【详解】易知原命题为真命题，所以逆否命题为真,命题否命题“若，则”为真命题，故逆命题为真命题．‎ ‎【点睛】本题考查了命题与其逆否命题同真假,属基础题.‎ ‎15.已知是偶函数，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的定义,由 恒成立可得.‎ ‎【详解】由得，∴ ，．‎ ‎【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题.‎ ‎16.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数f(x)变成两个函数，的图像问题。‎ ‎【详解】设，，则，‎ 当时，，当或时，，‎ 在，上单调递增，在上单调递减，‎ 当时，取得极小值，作出与的函数图象如图：‎ 显然当时，在上恒成立，即无正整数解，要使存在唯一的正整数，使得，显然，‎ ‎，即，解得．故答案为．‎ ‎【点睛】函数零点问题，恒成立与存在性问题，若能分离参数，则通过分离参数可得出参数的范围，若不能分离参数，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.设集合，．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将代入,求得,再求得;‎ ‎(2)将问题转化为集合B是集合A的真子集,再根据真子集关系列式可得.‎ ‎【详解】（1）由已知可得，，∴．‎ ‎（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，‎ ‎∵，∴或，∴，‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的运算,集合之间的关系以及充分必要条件,属中档题.‎ ‎18.已知函数是定义在的奇函数（其中是自然对数的底数）.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为函数是上的奇函数，故可得方程，从而可得的值，然后再对的值进行验证；‎ ‎（2）根据导数可求出函数为单调递增函数，又由于函数为奇函数，故将不等式转化为，再根据函数的定义域建立出不等式组，从而得出的取值范围。‎ ‎【详解】解：（1）是定义在奇函数， ‎ ‎ ，‎ 当m=1时，，‎ ‎ .‎ ‎（2） ,‎ 且，当且仅当时，取“=”，‎ 在恒成立，‎ ‎ 在单调递增，‎ 又函数为奇函数，‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题考查了函数性质的综合运用能力，解题的关键是要能够准确地求出函数的奇偶性与单调性，函数奇偶性的常见判断方法是定义法、特殊值法等，函数单调性常见的判断方法是定义法、导数法等。‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若在区间上有最小值，求a的值．‎ ‎【答案】（1）当时, 在R上为增函数;‎ 当时, 在，上为增函数，在上为减函数;‎ 当时, 在，上为增函数，在为减函数．‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导后,对 分三种情况讨论可得;‎ ‎(2)利用第(1)问的单调性分三种情况,求得函数的最小值与已知最小值相等,列式可解得.‎ ‎【详解】（1） ，‎ 当时，则，所以在R上为增函数；‎ 当时，，所以在，上为增函数，在上为减函数；‎ 当时，，所以在，上为增函数，在为减函数．‎ ‎（2）由（1）知，当时，在上为增函数，所以，与题意矛盾；‎ 当时，在上为增函数，所以，与题意矛盾；‎ 当时，在上为减函数，在上为增函数，所以，解得，与矛盾；‎ 当时，在上为减函数，所以，解得，满足题意．‎ 综上可知．‎ ‎【点睛】本题考查了分类讨论,利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数的最值,属难题,‎ ‎20.已知命题p：函数是R上的增函数；命题q：函数在上单调递增，若“”为真命题，“”也为真命题，求a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数得到都为真命题时的范围,再将“”为真命题，“”也为真命题,转化为 同真或同假可得.‎ ‎【详解】若p为真命题，，，．‎ 若q为真命题，，故在上递增，．‎ 由己知可得若p为真命题，则q也为真命题；若p为假命题，则q也为假命题，‎ 当p，q同真时，；同假时，，故．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及复合命题的真假.属中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）若，求曲线在点处切线方程；‎ ‎（2）当时，，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当 时,利用导数的几何意义求得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程;‎ ‎(2)当 时,将恒成立转化为恒成立,由 使不等式成立得到,然后构造函数求导,对分三种情况讨论可得.‎ ‎【详解】（1）当时，，．‎ ‎，，∴切线方程为，即．‎ ‎（2）当时，，即，令，则，，‎ 当时，，满足题意；‎ 当时，，∴在上递增，由与的图像可得在上不恒成立；‎ 当时，由解得，当时，，当时，，∴在上的最小值为，∴，解得．‎ 综上可得实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,不等式恒成立,利用导数求函数的最值,属难题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若有两个零点，求a的取值范围；‎ ‎（2）设，，直线的斜率为k，若恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导得,当时,可得在上是增函数，不可能有两个零点, 当时,利用导数可以求得函数在定义域内的最大值为,由，解得.然后根据, 得到在上有1个零点；根据,,得到在上有1个零点,可得的取值范围.‎ ‎(2)利用斜率公式将恒成立,转化为,即在上是增函数,再求导后,分离变量变成,最后用基本不等式求得最小值,代入即得.‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎①当时，，在上是增函数，不可能有两个零点；‎ ‎②当时，在区间上，；在区间上，．‎ ‎∴在增函数，在是减函数，，解得，此时，且，∴在上有1个零点；‎ ‎，‎ 令，则，∴在上单调递增，‎ ‎∴，即，∴在上有1个零点．‎ ‎∴a的取值范围是．‎ ‎（2）由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上是增函数，‎ ‎∴在上恒成立，∴，‎ ‎∵，∴，当且仅当时，即取等号，∴．‎ ‎∴a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用基本不等式求最值,属难题.‎ ‎ ‎