湖北省黄冈市2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

湖北省黄冈市2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

‎2019秋10月月考高二数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁BA=（）‎ A. [3，+∞） B. （3，+∞） C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，，所以；故选A.‎ ‎2.在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（ ）‎ A. 22 B. -33 C. -11 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=11 a6进而得到结果.‎ ‎【详解】等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，‎ 则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{an}的前11项的和为 S11＝＝11a6＝11×1＝11.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎3.总体由编号为01，02，03，‎ ‎，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）‎ ‎78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 ‎ ‎32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 ‎ A. 05 B. 09 C. 07 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且小于或等于50的编号，注意重复数值要舍去，由此求出答案.‎ ‎【详解】根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是，可知选出的第4个值为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的随机抽样中的随机数表法的应用，其中解答中熟记随机数表法的抽取方法，依次抽取是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎4.某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（　　）‎ A. 明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B. 明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨 C. 明天本地下雨的机会是80%‎ D. 气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据概率的意义即可得出结论．‎ 详解：根据概率的意义可得“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查概率意义的理解及应用，考查学生的理解能力，属于容易题．‎ ‎5.设有下面四个命题 ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数，则.‎ 其中的真命题为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 令，则由得，所以，故正确；‎ 当时，因为，而知，故不正确；‎ 当时，满足，但，故不正确；‎ 对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.‎ 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.‎ ‎6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】设夹谷石，则，‎ 所以，‎ 所以这批米内夹谷约为石，故选B.‎ 考点：用样本的数据特征估计总体.‎ ‎7.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则 ‎①该抽样可能是系统抽样；‎ ‎②该抽样可能是随机抽样：‎ ‎③该抽样一定不是分层抽样；‎ ‎④本次抽样中每个人被抽到的概率都是．‎ 其中说法正确的为（ ）‎ A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假.‎ ‎【详解】①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30；‎ 第二步确定分段间隔；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号；‎ 第四步将编号为依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．‎ ‎②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；‎ ‎③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，‎ 但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故③正确；‎ ‎④该抽样男生被抽到的概率；女生被抽到的概率，故“本次抽样中每个人被抽到的概率都是”这个说法是错误的．因此④不正确．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．‎ ‎8.已知向量，且，则m=( )‎ A. −8 B. −6‎ C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．‎ ‎【详解】∵，又，‎ ‎∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．‎ ‎9.如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，2，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小．‎ ‎【详解】∵两个小组的平均成绩相同，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，‎ ‎∴根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础．‎ ‎10.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，‎ 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，‎ 每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．‎ 同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．‎ ‎∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．‎ 故选B．‎ ‎【考点】计数原理、组合 ‎【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．‎ ‎11.定义在上的奇函数满足，且在上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 则，且，‎ 由于，故，‎ 据此可得：，.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 的长方体框架，一个建筑工人欲从处沿脚手架攀登至 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知是“最近路线”，所以一共要走次向上、次向右、次向前，一共次，然后算出一共多少种情况，再计算出满足“不连续向上攀登”的情况的数目，最后得出结果．‎ ‎【详解】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，‎ 所以一共要走次向上，次向右，次向前，一共次，‎ 所以最近的行走路线共有：，‎ 因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是次向右和次向前全排列，‎ 接下来，就是把次向上插到次不向上之间的空当中，个位置排三个元素，也就是，‎ 则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有种，‎ 所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率，故选B．‎ ‎【点睛】“不能连续向上”就是“三次向上”不能在一起，那么可以先将次向右和次向前首先排列出来，再将三次向上插到里面．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.设复数，则复数的共轭复数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数的四则混合运算化简求解即可．‎ ‎【详解】复数，则复数 ‎．‎ 复数的共轭复数为：‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则混合运算，是基础题，分式类型的复数计算注意分母实数化的方法.‎ ‎14.的展开式中，的系数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 从6个括号中选择2个取，选择1个取，剩余的3个取，便可得到含的项，故所求项的系数为.‎ 答案：‎ ‎15.已知向量，，，，若，则的最小值______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得：，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎​当且仅当时取等号，‎ ‎∴的最小值是．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16.给出下列命题：‎ ‎①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；‎ ‎②“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件；‎ ‎③命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x-1＞0”；‎ ‎④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．‎ 其中所有正确命题的序号是______ ．‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断．‎ ‎【详解】①根据否命题的定义可知命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以①错误．‎ ‎②由x2﹣5x﹣6＝0得x＝﹣1或x＝6，所以“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的充分不必要条件，所以②错误．‎ ‎③根据特称命题的否定是全称命题得命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0”，所以③错误．‎ ‎④因为原命题正确，根据逆否命题和原命题为等价命题可知命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题，所以④正确．‎ 故答案为④．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间.‎ ‎（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上最小值和最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）增区间是：减区间是：；（Ⅱ）-2，1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（Ⅱ）若把向右平移个单位得到函数的解析式，求得的范围，结合正弦函数的单调性可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 由 得，‎ 增区间是：，‎ 由 得 减区间是：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 把向右平移个单位得到函数，‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故所在区间上的最大值为1，‎ 最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及正弦函数的单调性、值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.‎ ‎18.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中含项；‎ ‎（3）计算式子的值 ‎【答案】(1) ．(2) ．(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，，即可求的值；‎ ‎（2）写出通项，令的指数为3，即可求展开式中含的项；‎ ‎（3）令得的值即可．‎ 详解】解：（1）依题意，，即，解得；‎ ‎（2）由（1）知．‎ ‎∴‎ 由，得，∴展开式中含的项．‎ ‎（3）令得．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的项与系数，同时还考查赋值法求值，体现一般与特殊的数学思想．‎ ‎19.已知数列前n项和，点在函数的图象上．‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将点的坐标代入函数的方程得到.利用，可求得数列的通项公式为.（2）利用裂项求和法求得.为递增的数列，当时有最小值为，所以，解得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）点在函数的图象上，.①‎ 当时，，②‎ ‎①-②得.‎ 当时，，符合上式.‎ ‎．‎ ‎（2）由（1）得 ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ 数列单调递增，‎ 中的最小项为.‎ 要使不等式对任意正整数恒成立，‎ 只要，‎ 即.‎ 解得，‎ 即实数的取值范围为.‎ 点睛:本题主要考查函数与数列，考查已知数列前项和，求数列通项的方法，即用公式.要注意验证当时等号是否成立.考查了裂项求和法，当数列通项是分数的形式，并且分母是两个等差数列的乘积的时候，可考虑用裂项求和法求和.还考查了数列的单调性和恒成立问题的解法.‎ ‎20.如图，四棱锥中，底面，，，‎ ‎，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）法一、取中点，连接，，由三角形的中位线定理可得，且，再由已知得，且，得到，且，说明四边形为平行四边形，可得，由线面平行的判定得到平面；‎ 法二、证明平面，转化为证明平面平面，在中，过作，垂足为，连接，由已知底面，可得，通过求解直角三角形得到，由面面平行的判定可得平面平面，则结论得证；‎ ‎（2）连接，证得，进一步得到平面平面，在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．然后求解直角三角形可得直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】（1）证明：法一、如图，取中点，连接，，‎ 为的中点，‎ ‎，且，‎ 又，，且，‎ ‎，且，‎ 则，且，‎ 四边形为平行四边形，则，‎ 平面，平面，‎ ‎ 平面；‎ 法二、‎ 在中，过作，垂足为，连接，‎ 在中，由已知，，得，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ 在中，‎ ‎， ，‎ 由余弦定理得：，‎ ‎，‎ 而在中， ，‎ ‎，即，‎ ‎，则平面．‎ 由底面，得，又，‎ ‎，则平面．‎ ‎， ‎ 平面平面，则MN∥平面；‎ ‎（2）解：在中，由，，，得 ‎．‎ ‎，则，‎ 底面，平面，‎ 平面平面，且平面平面，‎ ‎ 平面，则平面平面．‎ 在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．‎ 在中，由是的中点，得 ‎，‎ 在中，由，得，‎ ‎．‎ 直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．‎ ‎21. 10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，求各有多少种情况出现如下结果．‎ ‎（1）4只袜子没有成双；‎ ‎（2）4只袜子恰好成双；‎ ‎（3）4只袜子2只成双，另两只不成双．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直接由组合公式及分步计数乘法原理可得；（2）直接利用组合公式从十双互不相同的袜子中挑两双即可；（3）直接由组合公式及分步计数乘法原理可得.‎ 试题解析：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ 考点：1、组合的应用；2、分步计数乘法原理的应用.‎ ‎22.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ 女 ‎50‎ 合计 ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？‎ ‎（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.780‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎【答案】(1) ；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率和为1，列出方程求的值；‎ ‎（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，‎ 填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，‎ 知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.‎ ‎【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，‎ 可知，‎ 解得；‎ ‎（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，‎ 所以晋级成功的人数为（人），‎ 填表如下：‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设“晋级成功”与性别无关，‎ 根据上表数据代入公式可得，‎ 所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；‎ ‎（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，‎ 将频率视为概率，‎ 则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，‎ 所以可视为服从二项分布，即，‎ ‎，‎ 故，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望为.或（）．‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量 分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.‎ ‎ ‎