2018-2019学年江苏省扬州市扬州中学度高一第二学期期末检测数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省扬州市扬州中学度高一第二学期期末检测数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省扬州市扬州中学度高一第二学期期末检测数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据直线斜率可知，根据直线倾斜角的范围可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由直线方程可得直线斜率：‎ 设直线倾斜角为，则 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线倾斜角的求解，关键是明确直线倾斜角与斜率之间的关系.‎ ‎2．若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（ ）‎ A．平行 B．异面 C．相交 D．以上皆有可能 ‎【答案】D ‎【解析】通过图形来判断直线的位置关系即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 若，，，位置关系如下图所示：‎ 若，，则，可知两条直线可以平行 由图象知，与相交，可知两条直线可以相交 由图象知，与异面，可知两条直线可以异面 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线的位置关系，属于基础题.‎ ‎3．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 ‎【答案】C ‎【解析】若直线过原点，可知满足题意；直线不过原点时，利用直线截距式，代入点的坐标求得方程，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 若直线过原点，则过的直线方程为：，满足题意 若直线不过原点，设直线为：‎ 代入，解得： 直线方程为：‎ 满足题意的直线有条 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查在坐标轴截距相等的直线的求解，易错点是忽略直线过原点的情况.‎ ‎4．如图，正方体中，异面直线和所成角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】连接，，根据平行关系可知所求角为，易知为等边三角形，从而可知，得到所求结果.‎ ‎【详解】‎ 连接，‎ ‎ 即为异面直线与所成角 又 ‎ 即异面直线与所成角为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移直线找到所成角，再放入三角形中进行求解.‎ ‎5．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（ ）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．以上皆有可能 ‎【答案】C ‎【解析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可用表示出圆心到直线的距离，分别在和两种情况下求解出，从而得到直线与圆相交.‎ ‎【详解】‎ 直线方程可整理为：‎ 由圆方程可知，圆心：；半径：‎ 圆心到直线的距离：‎ 若，则，此时直线与圆相交 若，则 又（当且仅当时取等号） ‎ 则，此时直线与圆相交 综上所述：直线与圆相交 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是明确直线与圆位置关系的判定是确定圆心到直线的距离与半径的大小关系，从而得到结果.‎ ‎6．在中，三条边分别为，若，则三角形的形状（ ）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】根据余弦定理可求得，可知为锐角；根据三角形大边对大角的特点可知为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可得：‎ 且 ‎ 又，则 均为锐角，即为锐角三角形 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形中三角形形状的判断，关键是能够利用余弦定理首先确定最大角所处的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用.‎ ‎7．已知表示直线，表示平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，此时或，错误；‎ ‎，，此时或，错误；‎ ‎，，此时可能平行、异面或相交，错误；‎ 垂直于同一平面的两直线平行，正确.‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用，属于基础题.‎ ‎8．已知中，，将绕所在直线旋转一周，形成几何体,则几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先确定旋转体为两个圆锥构成的组合体，则所求表面积为两个圆锥的侧面积之和，求出侧面积即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，所得几何体为以边的高为底面圆半径，AB，AC为母线的两个圆锥构成的组合体，可得底面圆半径为：，母线长为：‎ 几何体表面积为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查旋转体侧面积的相关求解问题，关键是能明确旋转后所得的几何体.‎ ‎9．在中，角的对边分别为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】根据正弦定理可求得，根据的范围可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得：‎ 且 或 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.‎ ‎10．若点在圆上运动，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆的方程求得圆心和半径；根据点坐标可得其轨迹为一条直线，则所求的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线距离公式求得距离后，代入可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程得：圆心坐标，半径 ‎ 点轨迹为：，即 圆心到直线距离：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆上的点到直线上的点的距离的最小值的求解问题，关键是能够通过点的坐标得到轨迹方程.‎ ‎11．在中，已知的平分线,则的面积（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据和可求得，利用同角三角函数和二倍角公式可求得，代入三角形面积公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 为角平分线 ‎ ‎，即 ‎ ‎ 则 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.‎ ‎12．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据圆的方程、可知，从而得到，进而根据比例关系得到，将问题转化为求解的最小值的问题，可知当为线段与圆的交点时，取最小值，两点间距离公式求得即为所求最小值.‎ ‎【详解】‎ 为圆上任意一点，圆的圆心，半径，如下图所示，‎ ‎，， ‎ ‎，即 ‎ 又（当且仅当为线段与圆的交点时取等号）‎ ‎，即的最小值为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的问题中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够通过比例关系将转化为，进而变为两个线段的距离之和的最小值的求解，利用三角形三边关系可知三点共线时取最小值，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎13．某学校有教师人，男学生人，女学生人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为人的样本进行某项调查，则应抽取的女学生人数为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先计算出抽样比，再根据分层抽样的原则计算可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得抽样比为：‎ 则抽取的女学生人数为：人 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样相关计算问题，属于基础题.‎ ‎14．如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物的高度（建筑物 垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定两点，其距离为100米，然后在处测得，在处测得，则此建筑物的高度为________米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三角形内角和求得，在中利用正弦定理求得；在中，利用正弦的定义可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知：‎ 在中，由正弦定理可得：‎ 即：‎ 在中，‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形的实际应用中的测量高度的问题，涉及到正弦定理的应用问题.‎ ‎15．已知圆和直线，是直线上一点，若圆上存在两点，满足，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由向量相等可知三点共线且为线段中点，则；利用勾股定理和弦长为分别表示出和，从而可建立等式，根据的范围构造不等式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：三点共线且为线段中点 则：‎ 设圆心到直线的距离为 则，‎ ‎ ‎ 为圆的弦 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的相关知识的应用，涉及到直线被圆截得的弦长、勾股定理、两点间距离公式、直线与圆位置关系的应用，关键是能够利用向量相等得到三点共线和线段长度关系，从而构造方程来建立等量关系.‎ ‎16．如图，棱长为1（单位：）的正方体木块经过适当切割，得到几何体，已知几何体由两个底面相同的正四棱锥组成，底面平行于正方体的下底面，且各顶点均在正方体的面上，则几何体体积的取值范围是________（单位：）． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据图形可知几何体体积由正方形面积来决定，根据截面正方形可知当为四边中点时，面积最小；为正方形四个顶点时，面积最大，从而得到面积的取值范围；利用棱锥的体积公式可求得几何体的体积的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，几何体中两个正四棱锥的高均为，则几何体体积取值范围由正方形的面积来决定 底面平行于正方体底面，则可作所在截面的平面图如下：‎ 由正方形对称性可知，当为四边中点时，取最小值；当为正方形四个顶点时，取最大值；‎ 即； ‎ 几何体体积：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱锥体积的有关计算，关键是将所求几何体变为两个正四棱锥体积之和，确定正四棱锥的高为定值，从而将问题转化为四边形面积的求解问题.‎ 三、解答题 ‎17．如图，三棱柱中，，平面平面.‎ 证明：（1） 平面； ‎ ‎（2） 平面平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）根据三棱柱特点可知，根据线面平行判定定理证得结论；（2）由四边形为菱形可得，根据面面垂直的性质可知平面 ‎，根据面面垂直的判定定理证得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）几何体为三棱柱 四边形为平行四边形 ‎ 又平面，平面 平面 ‎（2）且四边形为平行四边形 四边形为菱形 ‎ 又平面平面，平面平面 平面 又平面 平面平面 ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直关系的证明，涉及到空间几何体的结构、面面垂直性质定理的应用等知识，属于常考题型.‎ ‎18．在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为. ‎ ‎（1） 求对角线所在直线的方程；‎ ‎（2） 求所在直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据坐标求得和中点；根据菱形特点可知对角线互相垂直且平分，可得直线斜率和在直线上，利用点斜式写出直线方程；（2）由直线和的方程解得点坐标，从而求得；由平行关系可知，利用点斜式写出直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由和得：，中点 四边形为菱形 ，且为中点，‎ 对角线所在直线方程为：，即：‎ ‎（2）由，解得： ‎ ‎ ‎ 直线的方程为：，即：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的求解问题，关键是能够通过菱形的特点得到所求直线斜率与已知斜率之间的关系，从而运用直线点斜式方程求得结果.‎ ‎19．在中，角的对边分别为，已知 ‎（1）求； ‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由正弦定理和二倍角公式可构造方程求得；（2）由余弦定理构造方程可求得的两个解，其中时，验证出与已知条件矛盾，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，由正弦定理得：‎ ‎（2）在中，由余弦定理得：‎ 由整理可得：‎ 解得：或 当时，，又 ，‎ 此时，与已知矛盾，不合题意，舍去 当时，符合要求 综上所述：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，易错点是求得边长后忽略了已知中的长度和角度关系，造成增根出现.‎ ‎20．某单位开展 “党员在线学习” 活动，统计党员某周周一至周日（共天）学习得分情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况：‎ 党员甲学习得分情况 党员乙学习得分情况 ‎（1）求本周党员乙周一至周日（共天）学习得分的平均数和方差； ‎ ‎（2）从本周周一至周日中任选一天，求这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于分的概率；‎ ‎（3）根据本周某一天的数据，将全单位名党员的学习得分按照，,，，进行分组、绘制成频率分布直方图（如图）‎ 已知这一天甲和乙学习得分在名党员中排名分别为第和第名，请确定这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图．（直接写结果，不需要过程）‎ ‎【答案】（1）平均数：；方差：；（2）；（3）周三符合要求.‎ ‎【解析】（1）根据平均数和方差的公式直接求解即可；（2）等可能的基本事件共个，满足题意的共个，根据古典概型概率公式计算可得结果；（3）分别计算出每个得分区间的人数，根据甲乙的排名确定甲乙所在的区间，综合两人同一天的数据可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）平均数：‎ 方差：‎ ‎（2）共有个等可能基本事件：“周一甲乙；周二甲乙；周三甲乙；周四甲乙；周五甲乙；周六甲乙；周日甲乙”‎ 记“从周一至周日中任选一天，这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于”为事件.‎ 则事件中包含的基本事件有个：“周二甲乙；周五甲乙；周日甲乙”‎ ‎（3）周三．‎ 由直方图知，学习得分落在，，，，区间内的人数依次为：人，人，人，人，人 由甲学习得分排名第，可知当天甲学习得分在，只有周二、周三和周日；‎ 由乙学习得分排名第，可知当天乙学习得分在，只有周三和周六 所以周三符合要求．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查统计中的平均数和方差的计算、古典概型概率问题的求解、根据频率分布直方图计算频率和频数来解决实际问题，考查学生的运算求解能力.‎ ‎21．如图，已知圆与轴的左右交点分别为，与轴正半轴的交点为.‎ ‎（1）若直线过点并且与圆相切，求直线的方程；‎ ‎（2）若点是圆上第一象限内的点，直线分别与轴交于点，点是线段的中点，直线，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）首先验证当直线斜率不存在时，可知满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程，利用构造方程可求得切线斜率，从而得到结果；（2）假设直线方程，与圆的方程联立可求得；求出直线斜率后，可得，利用可知，从而构造方程可求得直线的斜率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当斜率不存在时，直线方程为：，与圆相切，满足题意 当斜率存在时，设切线方程为：，即：‎ 由直线与圆相切得：，即：，解得：‎ 切线方程为：，即：‎ 综上所述，切线方程为：或 ‎（2）由题意易知直线的斜率存在 故设直线的方程为：，‎ 由消去得：‎ ‎ ，代入得：‎ 在中，令得：‎ 点是线段的中点 ‎ 在中，用代得：‎ 且 ‎ 即：，又，解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及圆的切线方程的求解、直线斜率的求解等问题.易错点是在求解切线方程时，忽略了斜率不存在的情况，造成求解错误.‎ ‎22．如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），.‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）已知，记四边形的面积为.‎ ‎① 求的最大值；‎ ‎② 若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（直接写结果，不需要过程）‎ ‎【答案】（1）3；（2）①；②.‎ ‎【解析】（1）在中，利用余弦定理求得；在中利用余弦定理构造关于的方程，解方程求得结果；（2）①在和中利用余弦定理构造等量关系可得，根据三角形面积公式可得，两式平方后作和可得，当时，可求得的最大值；②由可知，根据①可知，的范围由的范围决定，求解出且，且为钝角、为锐角；根据的单调性可求得最小值，从而求得得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，，，‎ 由余弦定理得：‎ 在中，，，‎ 由余弦定理得：‎ 即：，解得：‎ ‎（2）①在和中，由余弦定理得：‎ 整理可得：‎ 面积：，即：‎ 即：‎ 当时，即，时，‎ ‎ ‎ 四边形面积的最大值为：‎ ‎②‎ 由①知：，则需研究的范围.‎ 当增大时，增大，从而随之增大 所以，当趋于共线时，趋于，其中钝角满足 当减小时，减小，从而随之减小 所以，当趋于共线时，趋于，其中锐角满足 令，则在上递增，在上递减 并且，，‎ ‎，即 ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形相关知识，涉及到余弦定理解三角形、三角形面积公式、两角和差余弦公式的应用等知识，难点在于求解函数的最值时，角度的取值范围需要根据极限状态来求得，计算难度较大，属于难题.‎