北京市2020届高三高考模拟数学试题

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‎2020北京高考模拟试卷 数学 一.选择题（共10小题）‎ ‎1.若复数z满足，则复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎＝2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知集合,，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合、的值，由补集和并集的概念可得的值，可得答案.‎ ‎【详解】解：依题意，,，故，故，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合交并补运算，属于基础题型，注意运算准确.‎ ‎3.下列函数中是偶函数并且在内单调递增的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用初等基本函数判断即可．‎ ‎【详解】不是偶函数，故舍去 是偶函数，但在内不单调，故舍去 偶函数，单调递增满足题意．‎ 不是偶函数，故舍去．‎ 故选C ‎【点睛】本题属于基本题，考查了函数的奇偶性和单调性，学生要熟练基本初等函数的性质．‎ ‎4.函数的值域为（ ）‎ A. , B. , C. , D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的范围，结合指数函数单调性，即可求得函数值域.‎ ‎【详解】，，‎ 则.‎ 函数的值域为,.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查复合型指数函数值域的求解，属基础题.‎ ‎5.在圆：中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）‎ A. 6 B. ‎12 ‎C. 24 D. 36‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将圆的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得､的值,进而求出答案.‎ ‎【详解】圆的标准方程为:,‎ 其圆心为,半径,‎ 过点最长的弦长是直径,故,‎ 最短的弦是与垂直的弦,又,‎ 所以,即,‎ 所以四边形的面积,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确和的位置关系,难度不大.‎ ‎6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，则的解析式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后,‎ 得到曲线，的解析式为，‎ 再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍,‎ 得到曲线的解析式为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图像的平移伸缩，结合应用诱导公式化简，属于简单题.‎ ‎7.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥 ，‎ 其中面积最大的面为： .‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．‎ ‎8.已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【详解】当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.‎ 在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：‎ 利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.‎ ‎9.已知数列是等比数列，前项和为，则“”是“”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系.‎ ‎【详解】因为数列是等比数列,前项和为 若,由等比数列通项公式可得 ‎,化简后可得.‎ 因为 所以不等式的解集为 ‎ 若 当公比时, 则,可得 当公比时, 由则,可得 综上可知, “”是“”的充分不必要条件 故选:B ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.‎ ‎10.为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )‎ A. 7班、14班、15班 B. 14班、7班、15班 C. 14班、15班、7班 D. 15班、14班、7班 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．‎ ‎【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，‎ 班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；‎ 假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，‎ 班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，‎ 则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；‎ 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，‎ 班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．‎ 综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ 二.填空题（共5小题）‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.‎ ‎【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,,‎ 因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,‎ 当时,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；‎ 当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.‎ ‎12.已知向量，若向量与向量共线，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算的坐标，再利用向量共线的坐标运算，即可求得参数.‎ ‎【详解】因为，‎ 故可得，‎ 又向量与向量共线，‎ 故可得，‎ 解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，以及由向量共线求参数范围的问题，属基础题.‎ ‎13.如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的准线方程，然后根据点到准线的距离为6，列出，直接求出结果.‎ ‎【详解】抛物线的准线方程为，‎ 由题意得，解得.‎ ‎∵点在抛物线上，‎ ‎∴，∴，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.‎ ‎14.在四边形中，且，则___________，___________‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求出 的值，利用勾股定理逆定理判断，由正弦定理和诱导公式即可求出的值.‎ ‎【详解】解：在中，由余弦定理可知 ‎ 即，.又，‎ 所以.由，可知 .‎ ‎.‎ 故答案为: ;.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断.在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.‎ ‎15.已知定义在上的函数满足，且在单调递增，对任意的，恒有，则使不等式成立的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断出为奇函数，然后根据题意将化为 ‎，再由函数的单调性转化为解即可.‎ ‎【详解】 定义在上的函数满足，‎ 则，为奇函数， ‎ 又对任意的，恒有，‎ 则，‎ 即 ‎ ‎ ‎ 在单调递增，‎ ‎，即，解得 ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题.‎ 三.解答题（共6小题）‎ ‎16.如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.‎ ‎（1）求证：平面.‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；‎ ‎（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.‎ ‎【详解】（1）在等腰梯形中,‎ 点E在线段上,且,‎ 点E为上靠近C点的四等分点,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ 点P在底面上的射影为的中点G,连接,‎ 平面,‎ 平面,.‎ 又,平面,平面,‎ 平面.‎ ‎（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,‎ 由（1）易知,,,‎ 又,,‎ ‎,为等边三角形,,‎ 则,,,,,‎ ‎,,,,‎ 设平面的法向量为,‎ 则，即,‎ 令,则,,,‎ 设平面的法向量为,‎ 则,即,‎ 令,则,,,‎ 设平面与平面的夹角为θ,则 二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.‎ ‎17.已知函数（k为常数，且）．‎ ‎（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；‎ ‎①数列是首项为2，公比为2的等比数列；‎ ‎②数列是首项为4，公差为2的等差数列；‎ ‎③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）②，理由见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选②，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；‎ ‎（2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和.‎ ‎【详解】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意，‎ 即，得，且，.‎ 常数且，为非零常数，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，所以当时，.‎ 因为，‎ 所以，所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.‎ ‎18.某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.‎ ‎（1）求甲参加围棋比赛的概率；‎ ‎（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到甲同学的选择的情况，从而得到概率；‎ ‎（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4‎ ‎，列出所有的情况，在得到符合要求的情况，由古典概型的公式，得到答案.‎ ‎【详解】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，‎ 所以甲同学选择的情况有“中国象棋”和“围棋”，或“中国象棋”和“五子棋”，‎ 故甲参加围棋比赛的概率为； ‎ ‎（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，‎ 则所有的可能为，，，，，，，，，，，，‎ 其中满足条件有，两种，‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】本题考查随机事件的概率，求古典概型的概率，属于简单题 ‎19.已知函数，实数.‎ ‎（1）讨论函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）采用分类讨论的方法，与，根据导数判断原函数的单调性，可得结果.‎ ‎（2）化简式子，并构造函数，计算，然后再次构造函数，利用导数判断的单调情况，可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题知的定义域为，‎ ‎.‎ ‎∵，，∴由可得.‎ ‎（i）当时，‎ ‎，当时，单递减；‎ ‎（ii）当时，，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 综上所述，时，在区间上单调递减；‎ 当时，在区间上单调递减，‎ 在区间上单调递增.‎ ‎（2）由题意：不等式在成立 即在时有解.‎ 设，，只需.‎ 则，因为，‎ 所以在上，，‎ 在上，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 因此.‎ 不等式在成立，‎ 则恒成立.‎ 又，所以恒成立.‎ 令，则.‎ 在上，，单调递增；‎ 在上，，单调递减.‎ 所以.‎ 因此解可得且，‎ 即且.‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类讨论的方法，属难题.‎ ‎20.椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；‎ ‎（2）设点，，，由，‎ ‎，结合斜率公式化简得出，，即，满足，由的任意性，得出直线恒过一个定点.‎ ‎【详解】（1）依题意得，解得 即椭圆：；‎ ‎（2）设点，，‎ 其中，‎ 由，得，‎ 即，‎ 注意到，‎ 于是，‎ 因此，满足 由的任意性知，，，即直线恒过一个定点.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.‎ ‎21.定义：若数列满足所有的项均由，1构成且其中有个，1有个，则称为“数列”.‎ ‎（1），，为“数列”中的任意三项，则使得 的取法有多少种？‎ ‎（2），，为“数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得，且的概率为.‎ ‎【答案】（1）16种；（2）共有115个数对符合题意.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将问题分为“，，‎1”‎，“1，1，‎1”‎两种情况，结合分类计数原理，即可容易求得结果；‎ ‎（2）根据古典概型的概率计算，以及组合数的计算，根据之间的关系，分类讨论解决问题.‎ ‎【详解】（1）三个数乘积为1有两种情况：“，，‎1”‎，“1，1，‎1”‎，‎ 其中“，，‎1”‎共有：种，“1，1，‎1”‎共有：种，‎ 利用分类计数原理得：‎ ‎，，为“数列”中的任意三项，‎ 则使得的取法有：种.‎ ‎（2）与（1）基本同理，“，，‎1”‎共有种，“1，1，‎1”‎共有种，‎ 而在“数列”中任取三项共有种，‎ 根据古典概型有：，‎ 再根据组合数的计算公式能得到：‎ ‎，‎ ‎①时，应满足，‎ ‎,,，,3,4,,，共99个，‎ ‎②时，‎ 应满足，‎ 视为常数，可解得，‎ ‎，，‎ 根据可知，，（否则，‎ 下设，则由于为正整数知必为正整数，‎ ‎，，‎ 化简上式关系式可以知道：，‎ ‎，均为偶数，设，，则，‎ ‎，由于，中必存在偶数，‎ 只需，中存在数为3的倍数即可，‎ ‎，3，5，6，8，9，11，，23，24，‎ ‎，11，13，，47，49.‎ 检验：，符合题意，‎ 共有16个，‎ 综上所述：共有115个数对符合题意.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型、分步计数原理，组合问题的求解，涉及方程和不等式，属综合困难题.‎