高考数学二轮重难点荟萃(2)

高考数学二轮重难点荟萃(2)

2013 年高考数学二轮重难点荟萃（2） 重难点二 函数概念与基本初等函数 知识导航 题型一、函数解析式： 例 1.（1）已知 f（ 12 x ）=lgx，求 f（x （2）已知 f（x）是一次函数，且满足 3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求 f（x 变式训练 1 已知 f（x）满足 2f（x）+f（ x 1 ）=3x，求 f（x）. 解：(1)f（x）=lg 1 2 x ,x∈(1,+∞). 2）f（x）=2x+7. 变式训练 1 f（x）=2x- x 1 . 题型二、函数定义域。值域： 例 2：（一）求下列函数的定义域： （1）y= 212 )2lg( xx x   +(x-1)0 ; (2)y= )34lg( 2 x x +(5x-4)0; (3)y= 225 x +lgcosx; 解：（1）（ -3，1）∪(1,2). 2） ).,5 4()5 4,2 1(2 1,4 3        （3） .5,2 3)2,2(2 3,5            （二）. （1）y= ;12 2   xx xx (2)y=x- x21 ; (3)y= 1e 1e   x x . 解：（1）       1,3 1 . （2）      2 1, . （3）{y|-1＜y＜1}. 变式训练 2 （1）y=4- 223 xx ; (2)y=x+ x 4 ;(3)y= 4)2(1 22  xx . 解：（1）［ 2，4］. (2)（-∞，-4］∪［4，+∞） （3 y= 2222 )20()2()10()0(  xx ， ［ 13 ，+∞） 题型三、函数单调性： 例 3. 已知函数 f(x)=ax+ 1 2   x x (a＞1)，证明：函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 证明 方法一 定义法. 方法二 f(x)=ax+1- 1 3 x (a＞1), 求导数得 )(xf  =axlna+ 2)1( 3 x ,∵a＞1,∴当 x＞-1 时，axlna＞0, 2)1( 3 x ＞0, )(xf  ＞0 在（-1，+∞）上恒成立，则 f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 变式训练 3．已知定义在区间（0，+∞）上的函数 f(x)满足 f( ) 2 1 x x =f(x1)-f(x2)，且当 x＞1 时，f(x)＜ 0. （1）求 f(1) （2）判断 f(x （3）若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)＜-2. 解：（1）令 x1=x2＞0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. （2）任取 x1,x2∈(0,+∞)，且 x1＞x2,则 2 1 x x ＞1,由于当 x＞1 时，f(x)＜0, 所以 f )( 2 1 x x ＜0,即 f(x1)-f(x2)＜0,因此 f(x1)＜f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由 f( 2 1 x x )=f(x1)-f(x2)得 f( )3 9 =f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. 由于函数 f(x)在区间（0,+ 由 f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9 或 x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9 或 x＜-9}. 题型四、函数奇偶性： 例 4：已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2，且当 x∈(0,1)时，f(x)= 14 2 x x . （1）求 f（x)在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. 解： （1）当 f（x）=               1,0,10 )0,1(14 2 )1,0(14 2 x x x x x x x (2)证明 当 x∈(0,1)时，f(x)= .14 2 x x 设 0＜x1＜x2＜1, 则 f(x1)-f(x2)= ,)14)(14( )12)(22( 14 2 14 2 21 2112 2 2 1 1    xx xxxx x x x x ∵0＜x1＜x2＜1,∴ 12 22 xx  ＞0，2 21 xx  -1＞0,∴ f(x1)-f(x2)＞0,即 f(x1)＞f(x2), 故 f(x)在（0，1）上单调递减. 变式训练 4：已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解：∵f（x）是奇函数，可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 当 x＞0 时，-x＜0,由已知 f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x）， 即 f（x）=-xlg(2+x) （x＞0）.∴f(x)=      ).0()2lg( ),0()2lg( xxx xxx 即 f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R). 题型五、函数周期性： 例 5 已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x+2)=-f(x) . （1）求证：f(x) （2）若 f(x)为奇函数，且当 0≤x≤1 时，f(x)= 2 1 x,求使 f(x)=- 2 1 在［0，2 009］上的所有 x 的个 数. （1）证明： f（x）是以 4 为周期的周期函数. （2）解： ∴f（x）=         )31()2(2 1 )11(2 1 xx xx 由 f(x)=- 2 1 ,解得 x=-1. f（x）是以 4 为周期的周期函数. f(x)=- 2 1 的所有 x=4n-1 (n∈Z). 令 0≤4n-1≤2 009,则 4 1 ≤n≤ 2 0051 , n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）, ∴在［0，2 009］上共有 502 个 x 使 f(x)=- 2 1 . 变式训练 5： 已知函数 y＝f (x)是定义在 R 上的周期函数，周期 T=5，函数 ()(1 1)yfx x  是奇函数 http://www.ks5u.com/又知 y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且 在 x=2 时函数取得最小值 5 http://www.ks5u.com/ ①证明： (1)(4)0ff；②求 (), [1,4]yfxx的解析式；③求 ()y f x 在[4,9]上的解析式. 解：∵f (x)是以 5 为周期的周期函数，∴ (4)(45)(1)f f f， 又∵ ()(1 1)yfx x 是奇函数，∴ (1)(1)(4)f f f，∴ http://www.ks5u.com/ ②当 [1,4]x 时，由题意可设 2()(2)5 (0)fxax a， 由 得 22(12)5(42)50aa，∴ 2a ， ∴ 2()2(2)5(14)fx x xhttp://www.ks5u.com/ ③∵ 是奇函数，∴ (0) 0f  ， 又知 y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，∴可设 () (0 1)fxkxx ，而 2(1)2(12)53f ， ∴ 3k ，∴当01x时，f (x)=-3x， 从而当 10x  时， () () 3fx f x x，故 11x  时，f (x)= -3x，http://www.ks5u.com/ ∴当 46x时，有 1 51x，∴0http://www.ks5u.com/ 当69x时，1 54x，∴ 22()(5)2[(5)2]52(7)5fxfxx x ∴ 2 3 15, 4 6() 2( 7)5, 6 9 xxfx xx       http://www.ks5u.com/ 题型六、二次函数： 例 6. 已知二次函数 2() (,fxaxbxab 为常数，且 0)a 满足条件： ( 1)(3)fx f x ，且 方程 ( ) 2f x x 有等根. （1）求 ()fx的解析式； （2）是否存在实数 m 、 n ()mn ，使 定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］， 如果存在，求出 m、n 的值；如果不存在，说明理由. 解：（1）∵方程 2 2ax bx x有等根，∴ 2( 2) 0b  ，得 b=2 ． 由 知对称轴方程为 12 bx a   ，得 1a 故 2() 2fx x x ． （2） 2() ( 1)11fx x，∴4n  1，即 1 4n  而抛物线 2 2y x x  的对称轴为 1x  ∴ 时， ()fx在［m，n］上为增函数. 若满足题设条件的 m，n 存在，则      nnf mmf 4)( 4)( ，           20 20 42 42 2 2 nn mm nnn mmm 或 或即 又 1 4mn ， ∴ 2, 0mn  ，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 由以上知满足条件的 m、n 存在， ． 变式训练 6：对于函数 ()fx，若存在 0x ∈R,使 00()f x x＝ 成立，则称 为 的不动点. 已 知函数 2() (1)1(0)fxaxbxba （1）当 1, 2ab 时，求 的不动点； （2）若对任意实数 b，函数 恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围； 解：（1）当 时， 2() 3fx x x 由题意可知 2 3x x x ，得 121, 3xx  故当当 时， 的不动点 1, 3 ． （2）∵ 恒有两个不动点，∴ 2 ( 1) 1xaxbxb， 即 2 10axbxb恒有两相异实根∴ 2440()bababR恒成立. 于是 2(4)160aa  解得故当 b∈R， 恒有两个相异的不动点时，01a. 题型七、函数综合 例 7．已知函数： )(1)( axRaxa axxf   且 （Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0 对定义域内的所有 x 都成立. （Ⅱ）当 f(x)的定义域为[a+ 2 1 ,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]； （Ⅲ）设函数 g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求 g(x) 的最小值 . 解：（Ⅰ）证明： xaa axa xa axxafxf    2 1221)2(2)( 01221121     xa xaxaax ax xa xa ax ∴结论成立 （Ⅱ）证明： xaxa xaxf   111)()( 当 112,2 112 1112 1  xaxaaxaaxa 时 2113  xa 即 ]2,3[)( 值域为xf （Ⅲ）解： )(|1|)( 2 axaxxxg  （1）当 axaxxxgaxax  4 3)2 1(1)(,1 22时且 如果 2 11 a 即 2 1a 时，则函数在 ),(),1[  aaa 和 上单调递增 2 min )1()1()(  aagxg 如果 agxgaaa  4 3)2 1()(,2 1 2 1 2 11 min时且即当 当 2 1a 时， )(xg 最小值不 存在（2）当 4 5)2 1(1)(1 22  axaxxxgax 时 如果 4 5)2 1()(2 3 2 11 min  agxgaa 时即 如果 2 min )1()1()()1,()(2 3 2 11  aagxgaxgaa 上为减函数在时即 …13 分 当 0)2 1()4 3()1(2 10)2 3()4 5()1(2 3 2222  aaaaaaaa 时当时 综合得：当 2 1 2 1  aa 且 时 g（x）最小值是 a4 3 当 2 3 2 1  a 时 g（x）最小值是 2)1( a 当 2 3a 时 g（x）最小值为 4 5a 当 2 1a 时 g（x）最小值不存在 变式训练 7：已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. （1）试判断 f(x)的奇偶性； （2）若- 2 1 ≤a≤ 2 1 ，求 f(x)的最小值. 解：(1) 当 a=0 时，函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x) 为 偶 函 数 . 当 a ≠ 0 时， f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数. （2）当 x≤a 时,f(x)=x2-x+a+1=(x- 2 1 )2+a+ 4 3 , ∵a≤ 2 1 ,故函数 f(x)在（-∞，a］上单调递减， 从而函数 f(x)在（ -∞，a］上的最小值为 f(a)=a2+1. 当 x≥a 时，函数 f(x)=x2+x-a+1=(x+ 2 1 )2-a+ 4 3 , ∵a≥- 2 1 ，故函数 f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数 f(x)在［a，+∞)上的 最小值为 f(a)=a2+1. 综上得，当- 2 1 ≤a≤ 2 1 时，函数 f(x)的最小值为 a2+1. 变式训练 8：设函数 ()fx定义在 R  上，对任意的 ,mn R ，恒有 ( ) () ()fmnfmfn  ， 且当 1x  时， ( ) 0fx 。试解决以下问题： （1）求 (1)f 的值，并判断 ()fx的单调性； （2）设集合   (,)|()()0,(,)|(2)0,AxyfxyfxyBxyfaxyaR， 若 AB，求实数 a 的取值范围； （3）若 0 ab，满足| ()|| ()|2|( )|2 abfa fb f  ，求证：3 2 2b （1）在 ( ) () ()fmnfmfn  中令 1mn，得 (1) 0f  ； 设 120xx，则 1 2 1x x  ，从而有 1 2 ( ) 0xf x  所以， 11 1 2 2 2 22 () ( ) () () ()xxfx fx fx f fxxx     所以， ()fx在 R  上单调递减 （2） 22()()( )0(1)fxyfxyfxyf，由（1）知， 在 上单调递减，  22 0 0 1 xy xy xy       ， 故集合 A 中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分； 而 ( 2)0(1)faxy f ，所以， 10axy ， 故集合 B 中的点所表示的区域为一直线，如图所示， 由图可知，要 ，只要 1a  ， ∴实数 的取值范围是( ,1) （3）由（1）知 在 上单调递减，∴当01x时， ( ) 0fx ，当 1x  时， ( ) 0fx ， 0 ab，而| ()|| ()|fa fb ， 1, 1ab ，故 ()0,()0fa fb， 由 得， () () 0fa fb， 所以， 1ab  ， 又 12 ab ab ，所以 ( ) (1) 02 abff ， 又 2 () 2( )22 ab abfb f f  由| ( )| 2| ( )|2 abf b f  得， 2 2 24( ) 2babab， 2242bb a  ， 又 01a，所以 22 23a  ，由 224 3bb  及 1b  解得，3 2 2b 函数单元测试题 一、填空题： 1、函数 2 ln( 1) 34 xy xx     的定义域为 ( 1,1) 2、函数 )86(log 2 2 1  xxy 的单调递增区间是 )2,( O y x 1y ax 3、函数 2 1)(   x axxf 在区间  ,2 上是增函数，那么 a 的取值范围是 2 1a 4、已知偶函数 ()fx在区间0, ) 单调增加，则满足 (2 1)fx ＜ 1()3f 的 x 取值范围是 （ 1 3 ， 2 3 ） 5、设函数 2() ( 0)fx axbxca 的定义域为 D ，若所有点(,())(, )sft stD构成一个 正方形区域，则 a 的值为 －4 6、若不等式 29 ( 2)2x kx  的解集为区间 ,ab,且 2ba,则 k ＝ 2 二、解答题： 7、已知定义域为 R 的函数 1 2() 2 x x bfx a   是奇函数．（1）求 ,ab的值；（2）若对任意的tR ， 不等式 22( 2)(2)0ft t ft k 恒成立，求 k 的取值范围. 解：（1）因为 ()fx是奇函数，所以 (0)f =0，即 1 1 120 1 ()22 x x b b fxaa   又由 f（1）= -f（-1）知 1112 2 2.41aaa     （2）由（Ⅰ）知 1 12 1 1() 22 2 2 1 x xxfx    ，易知 在 ( , )上为减函数． 又因 是奇函数，从而有不等式： 等价于 2 2 2(2)(2)(2)ftt ftkfkt， 因 为减函数，由上式推得： 2222t t k t ． 即对一切 有： 23 2 0t t k ，从而判别式 1412 0 .3kk  8、对于函数 2() (1)2(0)fxaxbxba，若存在实数 0x ，使 00()f x x 成立，则 称 为 ()fx 的不动点． （1）当 2, 2ab 时，求 的不动点； （2）若对于任何实数 b ，函数 恒有两个相异的不动点，求实数 a 的取值范围； （3）在(2)的条件下，若 ()y f x 的图象上 ,AB两点的横坐标是函数 的不动点，且直线 2 1 21y kx a  是线段 AB 的垂直平分线，求实数 b 的取值范围． 解： 2() (1)2(0)fxaxbxba， （1）当 2, 2ab 时， 2() 2 4fx x x ． 设 x 为其不动点，即 224x x x，则 22 2 40xx ． 所以 121, 2xx  ，即 ()fx的不动点是 1, 2 . （2）由 ()f x x 得 2 20axbxb. 由已知，此方程有相异二实根，所以 2 4(2)0a b ab ， 即 2 4 8 0b aba 对任意bR 恒成立． 20,16320b aa， 02a ． （3）设 1 1 2 2(, ),(, )AxyBxy，直线 2 1 21y kx a  是线段 的垂直平分线， 1k  ． 记 的中点 00( , )Mx x ，由(2)知 0 2 bx a ． 2 12() 20, bfxxaxbxb xx a M 在 上， 2 1 2 2 2 1 bb a a a    化简得： 2 1 1 2 12 1 412 22 ab a a aa a      ，当 2 2a  时，等号成立． 即 22,,44bb    9、已知函数 y kx 与 2 2( 0)yx x≥的图象相交于 11()Ax y， ， 22()Bx y， ， 1l ， 2l 分别 是 2 2( 0)yx x≥的图象在 AB， 两点的切线， MN， 分别是 1l ， 2l 与 x 轴的交点． （1）求 k 的取值范围； （2）设 t 为点 M 的横坐标，当 12xx 时，写出 t 以 1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值 域； （3）试比较 OM 与 ON 的大小，并说明理由（ O 是坐标原点）． w w w . k s 5 u . c o 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . 解：（1）由方程 2 2 y kx yx    ， 消 y 得 2 20x kx ． ①依题意，该方程有两个正实根， 故 2 12 80 0 k x x k        ， ，解得 22k ． （2）由 () 2f x x  ，求得切线 1l 的方程为 1 1 12( )y xxx y  ， 由 2 112yx，并令 0y  ，得 1 1 1 2 xt x 1x ， 2x 是方程①的两实根，且 12xx ，故 2 1 2 84 2 8 kkx kk   ， 22k ， 1x 是关于 k 的减函数，所以 1x 的取值范围是(0 2)， ． t 是关于 1x 的增函数，定义域为 (0 2)， ，所以值域为()，0 ， （3）当 12xx 时，由（II）可知 1 1 1 2 xOM t x   ． 类似可得 2 2 1 2 xON x． 1 2 1 2 122 x x x xOMON xx    ． 由①可知 12 2xx  ．从而 0OMON． 当 21xx 时，有相同的结果 0OMON．所以 OM ON ．