【数学】2019届一轮复习人教A版 立体几何 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 立体几何 学案

一、回扣教材，纠错例析 ‎5．立体几何 ‎[要点回扣]‎ ‎1．空间几何体的三视图 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．‎ ‎[对点专练1] 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )‎ ‎[答案] A ‎2．斜二测画法 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”‎ ‎[对点专练2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________．‎ ‎[答案] 2 ‎3．计算空间几何体的表面积和体积 ‎(1)分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点；‎ ‎(2)进行合理的转化和一些必要的等积变换．‎ ‎[对点专练3] 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )‎ A．4π B．3π C．2π D.π ‎[答案] D ‎4．与球有关的切接问题 长方体外接球半径为R时有(2R)2＝a2＋b2＋c2；棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.‎ ‎[对点专练4] 已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．‎ ‎[答案] ‎5．空间直线、平面的位置关系 不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．‎ ‎[对点专练5] 已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的________条件．‎ ‎[答案] 充分不必要 ‎6．用向量求空间中角的公式 ‎(1)直线l1，l2夹角θ有cosθ＝|cosl1，l2|；‎ ‎(2)直线l与平面α的夹角θ有：‎ sinθ＝|cosl，n|(其中n是平面α的法向量)；‎ ‎(3)平面α，β夹角θ有cosθ＝|cosn1，n2|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ.(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)‎ ‎[对点专练6] 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于________．‎ ‎[答案] ‎7．用空间向量求A到平面α的距离公式 d＝.‎ ‎[对点专练7] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为________．‎ ‎[答案] ‎[易错盘点]‎ 易错点1 三视图认识不清致误 ‎【例1】 已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________．‎ ‎[错解] ‎[错因分析] 没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．‎ ‎[正解] 如图所示，作几何体S－ABCD且知平面SCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SE⊥CD于点E，得SE⊥平面ABCD且SE＝20.‎ ‎∴VS－ABCD＝S正方形ABCD·SE＝；‎ ‎∴这个几何体的体积是.‎ 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．‎ ‎[对点专练1] ‎ ‎(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )‎ A. B. C．1 D. ‎(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱长的值为________．‎ ‎[解析] (1)由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥所剩的几何体，底面是直角边为1的等腰直角三角形，高为2，∴所求体积V＝V柱－V锥＝×2－××2＝，故选A.‎ ‎(2)依题意，几何体是如图所示的三棱锥A－BCD，其中∠CBD＝120°，BD＝2，点C到直线BD的距离为，BC＝2，CD＝2，AB＝2，AB⊥平面BCD，因此AC＝AD＝2，该几何体最长棱长的值为2.‎ ‎[答案] (1)A (2)2 易错点2 线面关系定理条件使用不当致误 ‎【例2】 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面ABC1D1；‎ ‎(2)求证：EF⊥B1C.‎ ‎[错解] 证明：(1)连接BD1，∵E、F分别为DD1、DB的中点，‎ ‎∴EF∥D1B，∴EF∥平面ABC1D1.‎ ‎(2)AC⊥BD，又AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1.‎ ‎∴EF⊥AC.‎ ‎[错因分析] 推理论证不严谨，思路不清晰．‎ ‎[正解] 证明：(1)连接BD1，如图所示，‎ 在△DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，则EF∥D1B.‎ ‎∵D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，‎ ‎∴EF∥平面ABC1D1.‎ ‎(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵AB⊥面BCC1B1，∴B1C⊥AB.‎ 又∵B1C⊥BC1，AB，BC1⊂平面ABC1D1，AB∩BC1＝B，‎ ‎∴B1C⊥平面ABC1D1，‎ ‎∵BD1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1.‎ ‎∵EF∥BD1，∴EF⊥B1C.‎ 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．‎ ‎[对点专练2] ‎ ‎(1)下列命题中错误的是( )‎ A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面β，α∩β＝l，过α内任意一点作l的垂线m，则m⊥β ‎(2)已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面α，β，γ，有下列命题：‎ ‎①若m∥α，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若α∥β，l⊂α，则l∥β；‎ ‎③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；‎ ‎④若m，n为异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β.‎ 其中正确命题的个数是( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎[解析] (1)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ，A正确；如果平面α⊥平面β，那么平面α内平行于交线的直线平行平面β，B正确；如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，C正确；若此点在直线l上，则不能推出m⊥β，D错误，故选D.‎ ‎(2)因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题①错误；由直线与平面平行的定义知命题②正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交，因此命题③错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题④正确．故选C.‎ ‎[答案] (1)D (2)C 易错点3 空间角的范围不清致误 ‎【例3】 如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点．‎ ‎(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值；‎ ‎(2)AP与平面ABCD所成角的正弦值．‎ ‎[错解] 如图所示，取DC的中点O，连接PO，‎ ‎∵△PDC为正三角形，‎ ‎∴PO⊥DC.‎ 又∵平面PDC⊥平面ABCD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD.‎ 建立如图所示的空间直角坐标系O－xy ，‎ 则P，A，B，‎ C，D.‎ ‎(1)E为PC的中点，∴E.‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∴·＝a×＋a× ‎＝－a2，||＝a，||＝a.‎ cos，＝＝＝－.‎ ‎∴异面直线PA与DE所成的角的余弦值为－.‎ ‎(2)平面ABCD的法向量n＝，‎ ‎∴cos，n＝＝＝－.‎ ‎∴AP与平面ABCD所成角的正弦值为－.‎ ‎[错因分析] 本题失分的根本原因是概念不清，混淆了空间角与向量所成角的概念．‎ ‎[正解] (1)在求出cos，＝－后，‎ ‎∵异面直线PA、DE所成角是锐角或直角，‎ ‎∴异面直线PA、DE所成角的余弦值是.‎ ‎(2)cos，n＝－，‎ ‎∴直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为.‎ ‎(1)异面直线PA与DE所成的角为锐角或直角，余弦值一定非负．(2)直线AP与平面ABCD所成的角不是与平面ABCD的法向量所成的角．‎ ‎[对点专练3] 如图，已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AB⊥AC，AB＝AC＝PA＝2，E是BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线AE与PC所成的角；‎ ‎(2)求二面角D－PC－A的平面角的余弦值．‎ ‎[解] (1)如图所示，以A点为原点建立空间直角坐标系A－xy ，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)．‎ 故E(1,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,2，－2)，‎ cos，＝＝，即，＝60°，‎ 故异面直线AE与PC所成的角为60°.‎ ‎(2)在四边形ABCD中，∵AB＝AC＝2，AB⊥AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝45°，‎ ‎∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，‎ 又AD⊥CD，∴AD＝CD＝，‎ ‎∴D(－1,1,0)，又C(0,2,0)，‎ ‎∴＝(－1，－1,0)，＝(0,2，－2)．‎ 设n＝(x，y， )是平面PCD的法向量，则⊥n，⊥n，即·n＝0，·n＝0，‎ ‎∴，令x＝－1得，y＝1， ＝1，‎ 即n＝(－1,1,1)，|n|＝，‎ 又AB⊥平面PAC，∴＝(2,0,0)是平面PAC的一个法向量，‎ ‎∴cos，n＝＝－，‎ 即二面角D－PC－A的平面角的余弦值为.‎