广东省珠海市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷
数学试题
时间：120 分钟 满分 150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.命题“ x∈[2，+∞)，x2≥4”的否定是
A. x∈[2，+∞)，x2<4 B. x∈(∞，2)，x2≥4
C. x0∈[2，+∞)，x02<4 D. x0∈[2，+∞)，x02≥4
2.已知{an}为等比数列，a3=3，a15=27，则 a9 的值为
A.-9 B.9 或-9 C.8 D.9
3.若 a、b、c 是任意实数，则
A.若 a>b，则 ac>bc B.若 ，则 a>b
C.若 a3>b3 且 ab>0，则 D.若 a2>b2 且 ab>0，则
4.关于 x 的不等式 x2-x-5>3x 的解集是
A.{x|x≥5 或 x≤-1} B.{x|x>5 或 x<-1} C.{x|-1
1 1
a b
< 1 1
a b
<
2 0
1 0
1 0
x y
x y
x y
− ≤
− + ≥
+ − ≥
1
3
2 2
14
x y
m
+ =
的最小值为
A.4 B.3 C.2 D.
10.经过点 P(1，1)作直线 l 交椭圆 于 M，N 两点，且 P 为 MN 的中点，则直线 l
的斜率为
A.－ B. C.－ D.
11.如图，在△ABC 中，B=45°，AC=8，D 是 BC 边上一点，DC=5，DA=7，则 AB 的长为
A.4 B.4 C.8 D.4
12.如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=AD=3，AA1=4，P 是侧面 BCC1B1 内的动点，且 AP
⊥BD1，记 AP 与平面 BCC1B1 所成的角为 θ，则 tanθ 的最大值为
A. B. C.2 D.
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
13.在△ABC 中，如果(a+c)(a-c)=b(b-c)，则 A= 。
14.已知 x<0，则 x+ 的最大值是 。
15.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内到
两个定点 A，B 距离之比是常数 λ(λ>0，λ≠1)的点 P 的轨迹是圆，若两定点 A，B 的距离
为 3，动点 P 满足|PA|=2|PB，则点 P 的轨迹围成区域的面积为 。
16.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=1，AD=2，AA 1=3，∠BAD=90°，∠BAA 1=∠
DAA1=60°，则 AC1= 。
2 13
2 2
13 2
x y+ =
2
3
2
3
3
2
3
2
2 3 6
4
3
5
3
25
9
9
4x
17.抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F，其准线与双曲线 相交于 A，B 两点，若△ABF
为等边三角形，则 p= 。
18.已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2，若 ，则 n 的最大
值为 。
19.如图，A，B，C，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角，若 A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，
AD=5，则四边形 ABCD 面积是 。
20.已知 F1，F2 分别为双曲线 的左、右焦点，过 F2 与双曲线的一条
渐近线平行的直线交双曲线于点 P，若|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为 。
三、解答题：本题共 5 小题，每小题满分为 10 分，共 50 分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
21.在△ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知(2c-a)cosB-bcosA=0。
(1)求角 B 的值；
(2)若 a=4，b=2 ，求△ABC 的面积。
22.在各项均不相等的等差数列{an}中，a1=1，且 a1，a2，a5 成等比数列，数列{bn}的前 n 项
和 Sn=2n+1-2。
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设 cn= +log2bn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn。
2 2
13 3
x y− =
1 2 2 3 1
1 1 1 1009
2019n na a a a a a +
+ +⋅⋅⋅+ ≤
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
7
2 na
23.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形 PD=AB=2，E 为 PC 中点。
(1)求证：DE⊥平面 PCB；
(2)求二面角 E-BD-P 的余弦值。
24.已知 f(x)=ax2+(1-a)x-1，g(x)=a(1-x)-2，a∈R。
(1)解关于 x 的不等式 f(x)>0；
(2)若 f(x)≥g(x)对任意的 x∈[-1，1]恒成立，求实数 a 的范围。
25.给定椭圆 C： ，称圆心在原点 O，半径为 的圆是椭圆 C
的“伴随圆”，若椭圆 C 的右焦点为 F( ，0)，其短轴上一个端点到 F 的距离为 。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 P( ， )作椭圆 C 的“伴随圆”C'的动弦 MN，过点 M(x1，y1)、N(x2，y2)分别作
“伴随圆”C'的切线，设两切线交于点 Q，证明：点 Q 的轨迹是直线，并求该直线的方程。
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 2a b+
2 3
2
a
2
b