高中数学讲义微专题12 复合函数零点问题

高中数学讲义微专题12 复合函数零点问题

- 1 - 微专题 12 复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设 ， ，且函数 的值域为 定义域的子集，那 么 通过 的联系而得到自变量 的函数，称 是 的复合函数，记为 2、复合函数函数值计算的步骤：求 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求 出函数值。例如：已知 ，计算 解： 3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层 层拆解直到求出 的值。例如：已知 ， ，若 ，求 解：令 ，则 解得 当 ，则 当 ，则 综上所述： 由上例可得，要想求出 的根，则需要先将 视为整体，先求出 的 值，再求对应 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设 的定义域为 ，若存在 ，使得 ，则称 为 的一个零点 5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 的方程 根的个数，在解此类问题时， 要分为两层来分析，第一层是解关于 的方程，观察有几个 的值使得等式成立；第 二层是结合着第一层 的值求出每一个 被几个 对应，将 的个数汇总后即为 的根的个数 6、求解复合函数 零点问题的技巧： （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 的图像  y f t  t g x  g x  f t y t x y x  y f g x     y g f x        22 ,xf x g x x x    2g f     22 2 4f      2 4 12g f g     x x   2xf x    2 2g x x x    0g f x    x  t f x   20 2 0g t t t    0, 2t t   0 0 2 0xt f x     x  2 2 2 2xt f x     1x  1x    0g f x     f x  f x x  f x D 0x D  0 0f x  0x x  f x x   0g f x     f x  f x  f x  f x x x   0g f x     y g f x       ,f x g x - 2 - （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 的方程 中 解的 个数，再根据个数与 的图像特点，分配每个函数值 被几个 所对应，从而确定 的取值范围，进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题 例 1：设定义域为 的函数 ，若关于 的方程 由 3 个不同的解 ，则 ______ 思路：先作出 的图像如图：观察可发现对于任意的 ，满足 的 的个数分 别为 2 个（ ）和 3 个（ ），已知有 3 个解，从而可得 必为 的 根 ， 而 另 一 根 为 或 者 是 负 数 。 所 以 ， 可 解 得 ： ，所以 答案：5 例 2：关于 的方程 的不相同实根的 个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将 视为一个整体，即 ，则方程变为 可解得： 或 ，则只需作出 的图像，然后统计与 与 的交点总数即可，共有 5 个 答案：C 例 3 ： 已 知 函 数 ， 关 于 的 方 程 （ ）恰有 6 个不同实数解，则 的取值范围是 ．  f x   0g f x     f x  f x  if x x  if x R   1 , 11 1, 1 xxf x x       x    2 0f x bf x c   1 2 3, ,x x x 2 2 2 1 2 3x x x    f x 0y  0y f x x 0 00, 1y y  0 1y    1f x     2 0f x bf x c   1   1if x  1 2 30, 1, 2x x x   2 2 2 1 2 3 5x x x   x  22 21 3 1 2 0x x     2 1x    2 1t x x  2 3 2 0t t   1t  2t    2 1t x x  1t  2t  1 1( ) | | | |f x x xx x    x 2 ( ) ( ) 0f x a f x b   ,a b R a - 3 - 思路：所解方程 可视为 ，故考虑作出 的图像： ， 则 的图像 如 图 ， 由 图 像 可 知 ， 若 有 6 个 不 同 实 数 解 ， 则 必 有 ，所以 ， 解得 答案： 例 4：已知定义在 上的奇函数，当 时， ，则关于 的方程 的实数根个数为（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 已 知 方 程 可 解 ， 得 ， 只 需 统 计 与 的交点个数即可。由奇 函 数 可 先 做 出 的 图 像 ， 时 ， ， 则 的 图 像 只 需 将 的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像 完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通 过数形结合可得共有 7 个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例 5 ：若函数 有极值点 ，且 ，则关于 的方程 的不同实根的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2 ( ) ( ) 0f x a f x b      2 0f x a f x b    f x   2 , 1 2 ,0 1 2 , 1 0 2 , 1 xx x xf x x x xx              f x    1 22,0 2f x f x        1 2 2,4a f x f x    4 2a    4 2a    R 0x      12 1,0 2 1 2 , 22 x x f x f x x        x    26 1 0f x f x     6 7 8 9    26 1 0f x f x        1 2 1 1,2 3f x f x   1 1,2 3y y    y f x 0x  2x     1 22f x f x   2,4x  0,2x   3 2f x x ax bx c    1 2,x x  1 1f x x x     23 2 0f x af x b   - 4 - 思路： 由极值点可得： 为 ①的两根，观察到 方程①与 结构完全相同，所以 可 得 的 两 根 为 ，其中 ，若 ， 可 判 断 出 是 极 大 值 点 ， 是 极 小 值 点 。 且 ，所以 与 有两 个交点，而 与 有一个交点，共计 3 个；若 ，可判断出 是极小值点， 是极大值点。且 ，所以 与 有两个交点，而 与 有一个交 点，共计 3 个。综上所述，共有 3 个交点 答案：A 例 6：已知函数 ，若方程 恰有七个不相同的实 根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：考虑通过图像变换作出 的图像（如图），因为 最多只能解出 2 个 ，若要出 七 个 根 ， 则 ， 所 以 ，解得： 答案：B 例 7：已知函数 ，若关于 的方程 恰有 4 个不相等的 实数根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.  ' 23 2f x x ax b   1 2,x x 23 2 0x ax b       23 2 0f x af x b       23 2 0f x af x b      1 1 2 2,f x x f x x   1 1 1f x x 1 2x x 1x 2x    2 2 1 1f x x x f x    1y f x  f x  2f x  f x 1 2x x 1x 2x    2 2 1 1f x x x f x    1y f x  f x  2f x  f x   2 4 3f x x x      2 0f x bf x c     b  2,0  2, 1   0,1  0,2  f x    2 0f x bf x c      f x      1 21, 0,1f x f x       1 2 1,2b f x f x     2, 1b     x xf x e x    2 1 0f x mf x m    m  1,2 2,ee       1,1e      11,1 e     1,ee      - 5 - 思路： ，分析 的图像以便于作图， 时， ，从而 在 单调递增，在 单调递减， ，且当 ，所以 正 半轴为水平渐近线；当 时， ，所以 在 单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有 4 个不等实根，则关于 的方 程 中， ，从而将问题转化为根 分 布 问 题 ， 设 ， 则 的 两 根 ， 设 ，则有 ，解得 答案：C 小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点 来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 例 8：已知函数 ，则下列关于函数 的零点个数判断正 确的是（ ） A. 当 时，有 4 个零点；当 时，有 1 个零点 B. 当 时，有 3 个零点；当 时，有 2 个零点 C. 无论 为何值，均有 2 个零点 D. 无论 为何值，均有 4 个零点 思路：所求函数的零点，即方程 的解的个数，先作出 的图像，直线 为过定点 的一条直线，但需要对 的符号进行分类讨论。当 时，图像 如图所示，先拆外层可得 ，而 有两个对应的 ， 也   , 0 , 0 x x x xef x x xe       f x 0x     ' 1 xf x x e   f x  0,1  1,   11f e , 0x y   x 0x     ' 1 xf x x e   f x  ,0  f x    2 1 0f x mf x m       1 2 1 10, , ,f x f xe e              t f x 2 1 0t mt m    1 2 1 10, , ,t te e               2 1g t t mt m      2 0 0 1 0 1 11 1 00 g m m mg e ee               11,1m e        2 1, 0 log , 0 ax xf x x x        1y f f x  0a  0a  0a  0a  a a   1f f x      f x 1y ax   0,1 a 0a     1 2 2 10, 2f x f xa     1f x x  2f x - 6 - 有两个对应的 ，共计 4 个；当 时， 的图像如图所示，先拆外层可得 ， 且 只有一个满足的 ，所以共一个零点。结合选项，可判断出 A 正确 答案：A 例 9：已知函数 ，则方程 （ 为正实数）的实数根最多有___________个 思 路 ： 先 通 过 分 析 的 性 质 以 便 于 作 图 ， ， 从 而 在 单 增 ， 在 单 减 ， 且 ， 为分段函数，作出每段图像 即 可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取 能 对 应 较多的情况，由 图像可得，当 时，每 个 可对应 3 个 。只需判断 中， 能在 取得的值的个数即可，观察 图像可得，当 时，可以有 2 个 ，从而能够找到 6 个根，即最多的根的个数 答案：6 个 例 10：已知函数 和 在 的图像如下，给出下列四个命题： x 0a   f x   1 2f x    1 2f x  x       2 3 2 2 1 1, 023 1, 3 1, 0 x x f x x x g x x x                 0g f x a    a    ,f x g x    ' 23 6 3 2f x x x x x     f x    ,0 , 2,   0,2    0 1, 2 3f f    g x  f x x  f x    3,1f x    f x x  g f x a    f x  3,1  g x 51, 4a        3,1f x    y f x  y g x  2,2 - 7 - （1）方程 有且只有 6 个根 （2）方程 有且只有 3 个根 （3）方程 有且只有 5 个根 （4）方程 有且只有 4 个根 则正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出 的总数。 （1 ）中可得 ，进而 有 2 个对应的 ， 有 3 个， 有 2 个，总计 7 个，（1）错误； （2）中可得 ，进而 有 1 个对应的 ， 有 3 个， 总计 4 个，（2）错误； （3 ）中可得 ，进而 有 1 个对应的 ， 有 3 个， 有 1 个，总计 5 个，（3）正确； （4）中可得： ，进而 有 2 个对应的 ， 有 2 个，共计 4 个，（4）正确 则综上所述，正确的命题共有 2 个 答案：B   0f g x      0g f x      0f f x      0g g x    x          1 2 32, 1 , 0, 1,2g x g x g x      1g x x  2g x  3g x        1 22, 1 , 0,1f x f x     1f x x  2f x          1 2 32, 1 , 0, 1,2f x f x f x      1f x x  2f x  3f x        1 22, 1 , 0,1g x g x     1g x x  2g x