贵州省毕节市2020届高三诊断性考试（三）理科数学试题

贵州省毕节市2020届高三诊断性考试（三）理科数学试题

毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）‎ 理科数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡相应位置上。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本议卷上无效。‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4．请保持答题卡平整，不能折叠。考试结束，监考员将答题卡收回。‎ 第I卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知全集，集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下面有四个命题：‎ ‎，； ，；‎ ‎，； ，。‎ 其中假命题的是（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎4．现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．函数的部分图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知向量，，与的夹角为45°，若，则在方向上的投影为（ ）‎ A．1 B． C． D．-1‎ ‎8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入，，依次输入的为2，3，5，则输出（ ）‎ A．9 B．12 C．26 D．32‎ ‎9．如图，在三棱锥中，已知，，，，平面，三棱锥的体积为，若点，，，都在球的球面上，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在中，角，，的对边分别为，，，已知。的周长为，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若以线段（为坐标原点）为直径的圆过点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎12．函数，，若存在使得成立，则整数的最小值为（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：‎ ‎13．已知的展开式中所有项系数和为64，其中实数为常数且，则________。‎ ‎14．直三棱柱中，，，，，分别是和的中点，则异面直线与所成的角为________。‎ ‎15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，分别为椭圆的上、下顶点直线与椭圆的另一个交点为，若，则直线的斜率为________。‎ ‎16．已知函数，下列四个结论：‎ ‎①在上单调递增；‎ ‎②在上最大值、最小值分别是-2，；‎ ‎③的一个对称中心是；‎ ‎④在上恰有两个不等实根的充要条件为。‎ 其中所有正确结论的编号是________。‎ 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．已知数列满足，，。‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）已知，求数列的前项和。‎ ‎18．2020年新型冠状病毒疫情爆发，贵州省教育厅号召全体学生“停课不停学”。自2月3日起，高三年级学生通过收看“阳光校园·空中黔课”进行线上网络学习。为了检测线上网络学习效果，某中学随机抽取140名高三年级学生做“是否准时提交作业”的问卷调查，并组织了一场线上测试，调查发现有100名学生每天准时提交作业，根据他们的线上测试成绩得频率分布直方图（如图1所示）；另外40名学生偶尔没有准时提交作业，根据他们的线上测试成绩得茎叶图（如图2所示，单位：分）‎ ‎（Ⅰ）成绩不低于90分为等，低于90分为非等。完成以下列联表，并判断是否有95%以上的把握认为成绩取得等与每天准时提交作业有关？‎ 准时提交作业与成绩等次列联表 单位：人 A等 非A等 合计 每天准时提交作业 偶尔没有准时提交作业 合计 ‎（Ⅱ）成绩低于60分为不合格，从这140名学生里成绩不合格的学生中再抽取4人，其中每天准时提交作业的学生人数为，求的分布列与数学期望。‎ 附：‎ ‎0．100‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ ‎19．如图，在四棱锥中，四边形的边长均为2，为正三角形，，，，分别是，的中点。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。‎ ‎20．抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，。‎ ‎（1）证明：直线过定点；‎ ‎（Ⅱ）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的面积。‎ ‎21．已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意的正整数，都有。‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑。‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线的极坐标方程为 ‎，直线的参数方程为（为参数）。‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，已知点，且，求的值。‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数，其中。‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数，的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，且，求证：。‎ 毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）‎ 理科数学参考答案及评分建议 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B D C A A D D A C B B 二、填空题 ‎13．-3 14． 15． 16．④‎ 三、解答题 ‎17．解：（I）当时 当时，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为的等比数列 ‎（Ⅱ）由（1）知 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎18．解：（1）每天准时提交作业的等学生人数为：‎ 根据题意得到列联表 等 非等 合计 每天准时提交作业 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 偶尔没有准时提交作业 ‎5‎ ‎35‎ ‎40‎ 合计 ‎35‎ ‎105‎ ‎140‎ 所以有95%以上的把握认为成绩取得等与每天准时提交作业有关。‎ ‎（2）成绩低于60分的学生共8人，其中每天准时提交作业的有5人，偶尔没有准时提交作业的有3人，‎ 所以随机变量。‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 随机变量的数学期望为：‎ ‎19．（1）证明：连接 ‎∵四边形的边长均为2，‎ ‎∴‎ ‎∵且 ‎∴‎ ‎∵ ‎ ‎∴‎ ‎（2）连接，‎ ‎∴为正三角形，为中点 ‎∴‎ 由（1）得，且 ‎∴‎ ‎∴‎ 在中 ‎∵，‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示则，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为 ‎∴‎ 令，解得 设直线与平面所成的角为 则 ‎20．解：（1）设，，则 由 所以，所以切线的斜率为，‎ 故，整理得，设，‎ 同理可得 所以直线的方程为 所以直线恒过定点 ‎（2）由（1）得直线的方程为 由可得，‎ ‎，‎ 设为线段的中点，则，‎ 由于，而，‎ 与向平行，所以，‎ 解得或 当时，‎ 圆半径，所以圆的面积为 当时，‎ 圆半径，所以圆的面积为 ‎21．解（1），‎ 令得 当时，函数的定义域为 令得；得 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 当时，函数函数的定义域为 令得；得 所以单调递减区间为，单调递增区间为，‎ ‎（2）要证：‎ 只需证：‎ 即证：‎ 由（1）知，取时，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 所以，原不等式成立 ‎22．解：（1）由 因为且 由 所以，即 所以直线的普通方程和曲线的直角坐标方程分别为 和 ‎（2）解把带入，整理得 设，‎ 所以，‎ 因为 所以 ‎23．解：（1）由 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴解得：，‎ ‎（2）由 得 ‎∵，‎ ‎∴‎