2019届二轮复习规范答题示例9　导数与不等式的恒成立问题学案（全国通用）

2019届二轮复习规范答题示例9　导数与不等式的恒成立问题学案（全国通用）

规范答题示例9　导数与不等式的恒成立问题 典例9　(12分)(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.‎ 审题路线图　(1)―→―→―→.‎ ‎(2)―→―→ .‎ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 ‎(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝(x>0).2分 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增.4分 若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；‎ 当x∈时，f′(x)<0.‎ 故f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分 ‎(2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，‎ 最大值为f＝ln－1－，8分 所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，‎ 即ln＋＋1≤0.9分 设g(x)＝ln x－x＋1，‎ 则g′(x)＝－1(x>0).‎ 当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.‎ 第一步 求导数：一般先确定函数的定义域，再求f′(x).‎ 第二步 定区间：根据f′(x)的符号确定函数的单调性.‎ 第三步 寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题.‎ 第四步 写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立问题.‎ 第五步 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.‎ 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.11分 所以当x>0时，g(x)≤0.‎ 从而当a<0时，ln＋＋1≤0，‎ 即f(x)≤－－2.12分 再反思：查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等.‎ 评分细则　第(1)问得分点说明：‎ ‎①正确求出f′(x)得2分；‎ ‎②求出a≥0时，函数的单调性得2分；‎ ‎③求出a<0时，函数的单调性得2分．‎ 第(2)问得分点说明：‎ ‎①正确求出f(x)的最大值得2分；‎ ‎②转化为关于a的不等式得1分；‎ ‎③构造函数并正确求出函数的最大值得2分；‎ ‎④正确写出结论得1分．‎ 跟踪演练9　(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋aln x.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，‎ 证明：2，令f′(x)＝0，得 x＝或x＝.‎ 当x∈∪时，f′(x)<0；‎ 当x∈时，f′(x)>0.‎ 所以f(x)在，上单调递减，‎ 在上单调递增．‎ ‎(2)证明　由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.‎ 由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，‎ 所以x1x2＝1，不妨设01.‎ 由于＝－－1＋a ‎＝－2＋a＝－2＋a，‎ 所以

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