2019届二轮复习平移法学案（全国通用）

2019届二轮复习平移法学案（全国通用）

平移法 一、内容概述 所谓“平移法”就是通过点的平移或者线的平移得到图象的平移，从而使问题得到解决的方法，在高中数学中“平移法”是一种重要的解题方法：如平移变换是可用来化简函数解析式，以便于讨论函数图象的性质和画出函数图象的一种重要方法；用平移的方法将异面直线所成角转化为相交直线的夹角的问题；三角函数的平移变换，线性规划问题等等，借助平移可以使以上问题得到简化和解决。‎ 二、例题讲解 接下来我们将分四部分对高中数学的“平移法”进行讲解：‎ 类型一：用平移的方法画函数的图象 例1：画出下列函数的图象 解析：‎ 该函数图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到如图所示：‎ 例2‎ ‎（2017山东理10）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【解析】：‎ 根据题意，由于m为正实数，为二次函数，是将函数的 图象向右平移个单位得到的，在区间为减函数，为增函数，‎ 函数是将函数的图象向上平移m个单位得到的，为增函数，‎ 分两种情况讨论：‎ ① 当时，有，‎ 在区间上，函数为减函数，其值域为，‎ 函数为增函数，其值域为，‎ 此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；‎ ‎ ‎ ② 当m>1时，有，‎ 在区间为减函数，为增函数，‎ 函数为增函数，其值域为，‎ 若两个函数的图象有1个交点则有，‎ 解可得或，‎ 又由m为正数，则，‎ 综合可得m的取值范围是,本题选B。‎ ‎【评析】：‎ 函数图象的平移变换规则简记为：“左加右减，上加下减”，并注意左右的加减是对x而言，上下的加减是针对f(x)而言。‎ 类型二：立体几何中的“平移法”‎ ‎（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．‎ ‎【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．‎ ‎【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，‎ 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角 ‎（因异面直线所成角为（0，]），‎ 可知MN=AB1=，‎ NP=BC1=；‎ 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；‎ ‎∵PQ=1，MQ=AC，‎ ‎△ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC ‎=4+1﹣2×2×1×（﹣）‎ ‎=7，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∴MQ=；‎ 在△MQP中，MP==；‎ 在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP===﹣；‎ 又异面直线所成角的范围是（0，]，‎ ‎∴AB1与BC1所成角的余弦值为．‎ ‎【解法二】如图所示，‎ 补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；‎ BC1=，BD==，‎ C1D=，‎ ‎∴+BD2=，‎ ‎∴∠DBC1=90°，‎ ‎∴cos∠BC1D==．‎ ‎【评析】：‎ 应用平移法计算两条异面直线所成角主要的方法：利用平行四边形的对边或三角形的中位线平移两条异面直线中的一条（或两条都平移）得到两条相交直线，构造三角形，解三角形，求出两相交直线的夹角，即可求得两条异面直线所成角。特别注意两异面直线所成角的范围是 类型三：三角函数中的“平移法”‎ ‎（2016四川卷理3．）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度 ‎【解析】：‎ 由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D.‎ ‎【评析】‎ 本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象．‎ 类型四：平移法在线性规划当中的应用 ‎（2016新课标Ⅲ13）若x，y满足约束条件,则z=x+y的最大值为_____________.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线经过点时，z取得最大值.由 得 ，即，则．‎ ‎【评析】：‎ 解决线性规划问题关键看目标函数的几何意义，当目标函数是线性的目标函数时主要用平移的方法求解目标函数的最大值，利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．‎ 三、 配套练习 ‎1、把函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为（   ） ‎ A、B、C、D、‎ ‎2、函数f（x）= ，则y=f（x+1）的图象大致是（   ） ‎ A、B、   C、D、‎ ‎3、将函数y=2x+1的图象按向量a平移得到函数y=2x+1的图象，则a等于（  ）        ‎ A、（﹣1，﹣1）B、（1，﹣1）C、（1，1）D、（﹣1，1）‎ ‎4.函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.‎ ‎5、在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1 ． 再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．则直线l与直线l1的距离是________  ‎ ‎6、已知约束条件， 则目标函数的最大值为(   ) ‎ ‎ A、1 B、21 C、13 D、3‎ ‎ ‎ ‎7、如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点．若∠PDA=45°，则EF与平面ABCD所成角的大小是（　　） ‎ A、90°B、60°C、45°D、30°‎ 配套练习答案 ‎1.【解析】：把函数 的图象向左平移1个单位，得到的函数解析式为 ，然后再向上平移2个单位， 得到的函数解析式为 ． 所以，把函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为 ． 故选C． 2.【解析】：y=f（x+1）的图象可以看成把f（x）=   的图象向左平移1个单位得到的， 而f（x）的图象如图所示： 故选B． 3.【解析】：设 =（h，k）则 函数y=2x+1的图象平移向量 后所得图象的解析式为y=2x﹣h+1+k ∴ ∴ ∴ =（﹣1，﹣1） 故选A 4. 【解析】因为 ‎，所以函数的图象可由函数 的图象至少向右平移个单位长度得到.‎ ‎5.【解析】：设直线l的方程为：y=kx+b， 将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位， 得到l1：y=k（x﹣3）+b+5， 再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位， 得到l2：y=k（x﹣3﹣1）+b+3=kx+b+3﹣4k， 根据题意，l2与l重合，所以，3﹣4k=0， 解得，k=， 所以，l和l1的方程分别为：y=x+b和y=x+b+， 再由两平行直线间的距离公式得，d= 即直线l与l1的距离为：， 故答案为：． 6.【解析】：画出不等式组不是的可行域，将目标函数变形，数形结合判断出z最大时，a的取值范围 可知目标函数过点B（7，9）时，目标函数最大，且为7+18-4=21，故答案为B. 7.【解析】：取PD中点G，连接AG、FG， ∵EF分别为AB、PC的中点， ∴AE=AB，GF∥DC且GF=DC，‎ 又在矩形ABCD中AB∥CD且AB=CD，‎ ‎∴AE∥GF且AE=GF，‎ ‎∴四边形AEFG是平行四边形，‎ ‎∴AG∥EF，‎ ‎∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角，‎ 过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA ‎∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，‎ ‎∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，‎ ‎∵∠PDA=45°，G为PD的中点，‎ ‎∴∠GAH=45°，‎ 即EF与平面ABCD所成的角为45°． 故选：C．‎