【数学】2019届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程学案

专题七 选修4系列 第一讲 坐标系与参数方程(选修4-4)‎ 高考导航 ‎1.考查极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化.‎ ‎2.借助极坐标方程、参数方程考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系.‎ ‎1.(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎[解] (1)由消去α,得C1的普通方程为+y2=1.‎ 由ρsin=2,得ρsinθ+ρcosθ-4=0,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得C2的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ ‎(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cosα,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=‎ eq f(| (3)cosα+sinα-4|, (2))‎ ‎=.‎ 当且仅当α=2kπ+(k∈ )时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ ‎[解] (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).‎ 设P(x,y),由题设得 消去k得x2-y2=4(y≠0).‎ 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).‎ 联立得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).‎ 故tanθ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.‎ 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.‎ 考点一 极坐标方程及其应用 ‎1.直角坐标与极坐标的互化公式 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则 ‎2.几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r.‎ ‎(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acosθ.‎ ‎(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asinθ.‎ ‎3.几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0.‎ ‎(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcosθ=a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴:ρsinθ=b.‎ ‎[解] (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程 ρ=4cosθ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积 S=|OA|·ρA·sin∠AOB ‎=4cosα· ‎=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ ‎ 解决极坐标问题应关注的两点 ‎(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决.‎ ‎(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中,需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时,利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利.‎ ‎ [对点训练]‎ ‎(2017·太原模拟)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;‎ ‎(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.‎ ‎[解] (1)由ρcos=1,‎ 得ρ=1.因为 所以C的直角坐标方程为x+y=1,‎ 即x+y=2.‎ 当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).‎ 当θ=时,ρ=,所以N.‎ ‎(2)由(1)可知M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为,‎ 则P点的极坐标为,所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈(-∞,+∞).‎ 考点二 参数方程及其应用 ‎1.圆的参数方程 以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数.‎ ‎2.椭圆的参数方程 椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.‎ ‎3.直线的参数方程 经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数.‎ 角度1:参数方程与普通方程的互化 ‎ [解] (1)曲线C的普通方程为+y2=1.‎ 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0),.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离d=.‎ 当a≥-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;‎ 当a<-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a ‎=-16.‎ 综上,a=8或a=-16.‎ 角度2:直线参数方程中参数几何意义的应用 ‎【例2-2】 (2017·湖南省五市十校高三联考)在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C:(θ为参数)相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)若α=,求线段AB的中点的直角坐标;‎ ‎(2)若直线l的斜率为2,且过已知点P(3,0),求|PA|·|PB|的值.‎ ‎[思维流程] ‎ ‎[解] (1)由曲线C:(θ为参数),可得曲线C的普通方程是x2-y2=1.‎ 当α=时,直线l的参数方程为(t为参数),‎ 代入曲线C的普通方程,得t2-6t-16=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=6,所以线段AB的中点对应的t==3,‎ 故线段AB的中点的直角坐标为.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化简得 ‎(cos2α-sin2α)t2+6tcosα+8=0,‎ 则|PA|·|PB|=|t1t2|‎ ‎==,‎ 由已知得tanα=2,故|PA|·|PB|=.‎ ‎ 解决参数方程问题的3个要点 ‎(1)把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法.‎ ‎(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数,注意参数的几何意义及变化范围.‎ ‎(3)直线参数方程为(α为倾斜角,t为参数),其中|t|=|PM|,P(x,y)为动点,M(x0,y0)为定点,在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用.‎ ‎ [对点训练]‎ ‎1.[角度1](2017·湖南岳阳一模)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C和直线l的普通方程;‎ ‎(2)直线l与曲线C交于B,D两点,当|BD|取到最小值时,求a的值.‎ ‎[解] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数),消去参数θ,得曲线C的普通方程为:x2+(y-3)2=9,其圆心C(0,3),半径r=3.‎ 直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t可得:x-ay+a+1=0.‎ ‎(2)由直线l经过定点P(-1,1),此点在圆的内部,‎ 因此当CP⊥l时,|BD|取到最小值,‎ 则kCP·kl=×kl=-1,解得kl=-.‎ ‎∴=-,解得a=-2.‎ ‎2.[角度2]已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.‎ ‎[解] (1)由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ.因为x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,所以x2+y2=4x,即曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)将代入圆的方程(x-2)2+y2=4,得(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,化简得t2-2tcosα-3=0.‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,由根与系数的关系,得 所以|AB|=|t1-t2|===,‎ 故4cos2α=1,解得cosα=±.‎ 因为直线的倾斜角α∈[0,π),所以α=或.‎ 考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 ‎1.对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,我们可以先化成直角坐标的普通方程,这样思路可能更加清晰.‎ ‎2.对于一些运算比较复杂的问题,用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷.‎ ‎[思维流程] ‎ ‎(1)→―→ ‎(2)―→―→―→ ‎[解] (1)由题意知,曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,‎ 直线l的直角坐标方程为x+y-3=0.‎ 由直线l与圆C只有一个公共点,可得=a,‎ 解得a=1,a=-3(舍).‎ 所以a=1.‎ ‎(2)曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,且∠AOB=,由正弦定理得=2a,所以|AB|=a.‎ 又|AB|2=3a2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|·cos ‎≥|OA|·|OB|,‎ 所以S△OAB=|OA|·|OB|sin≤×3a2×=,‎ 所以△OAB面积的最大值为.‎ ‎ 解决极坐标与参数方程问题的关键 ‎(1)会转化——把直线与圆的参数方程转化为普通方程时,要关注参数的取值范围的限定,还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式.‎ ‎(2)懂技巧——利用参数及其几何意义,结合关系式寻找关于参数的方程或函数.‎ ‎[对点训练]‎ 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 ‎(t为参数).在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.‎ ‎(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d,求d的取值范围.‎ ‎[解] (1)直线l的普通方程为x-y+3=0.‎ 曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3.‎ ‎(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3,‎ 即x2+=1,‎ ‎∴曲线C上的点的坐标可表示为(cosα,sinα).‎ ‎∴d== ‎=.∵2sin+3≥1>0,‎ ‎∴d的最小值为=,d的最大值为=.‎ ‎∴≤d≤,即d的取值范围为.‎
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