广西柳州高级中学2020届高三4月线上月考数学（文）试题

广西柳州高级中学2020届高三4月线上月考数学（文）试题

柳州高中2020届高三4月测试文科数学 一、选择题 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴集合 ‎∵集合 ‎∴集合 ‎∴‎ 故选A.‎ ‎2.设复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行化简得，根据共轭复数性质得到．‎ ‎【详解】‎ 故选D ‎【点睛】对型的复数化简时要分子分母同乘分母的共轭复数，使分母“实数化”．‎ ‎3.已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以命题为真； 命题为假，所以为真，选B.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得 s＝3，i=1‎ 满足条件i，执行循环体s＝3+，i=2‎ 满足条件i，执行循环体s＝3++，i=3，‎ 满足条件i，执行循环体，s＝3++，i=4，‎ 不满足条件i退出循环，输出s的值为s＝．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 3 B. ‎9 ‎C. 18 D. 27‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设等差数列的首项为，公差为.‎ ‎∵‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选D.‎ ‎6.函数的图像大致为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵函数的定义域为 ‎∴‎ ‎∴函数为奇函数，故排除B，C.‎ ‎∵，故排除D.‎ 故选A.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎7.已知不等式在平面区域上恒成立，则动点所形成平面区域的面积为（ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 令.‎ ‎∵不等式在平面区域上恒成立 ‎∴函数在可行域要求的条件下，恒成立 画出平面区域如图所示：‎ 当直线过点或点或或时，有：‎ ‎，点形成的图形是图中的菱形.‎ ‎∴所求的面积 故选A.‎ ‎8.抛物线y2＝8x的焦点为F,设A,B是抛物线上的两个动点, , 则∠AFB的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设|AF|＝m,|BF|＝n,再利用基本不等式求解的取值范围,再利用余弦定理求解即可.‎ ‎【详解】设|AF|＝m,|BF|＝n,‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴,‎ 在△AFB中,由余弦定理得 ‎ ‎ ‎ ‎∴∠AFB的最大值为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.‎ ‎9.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为( )‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥：‎ 其中，四边形为边长为1的正方形，面，且，.‎ ‎∴，，‎ ‎∴，,‎ ‎∴‎ ‎∴最长棱为 故选A.‎ 点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎10.已知函数，若在上有且仅有三个零点，则 ( )‎ A B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵函数，‎ ‎∴‎ ‎∴或 ‎∴或 ‎∵函数在上有且仅有三个零点 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴或 故选C.‎ ‎11.三棱锥中，底面为正三角形，若，则三棱锥与三棱锥的公共部分构成的几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意画出如图所示的几何体：‎ ‎∴三棱锥与三棱锥的公共部分构成的几何体为三棱锥 ‎∵为正三角形，‎ ‎∴‎ ‎∵底面，，‎ ‎∴四边形为矩形，则为与的中点 ‎∴三棱锥的高为 ‎∴三棱锥的体积为 故选B.‎ ‎12.已知定义在上的函数满足，设，若的最大值和最小值分别为和，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴函数关于点对称 ‎∵的最大值和最小值分别为和 ‎∴‎ 故选B.‎ 二、填空题 ‎13.若双曲线的离心率为2，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵双曲线的离心率为2‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为.‎ ‎14.函数在点处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.‎ 详解：的导数为，‎ 在点（0,1）处的切线斜率为，‎ 即有在点（0,1）处的切线方程为.‎ 故答案为.‎ 点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.‎ ‎15.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，求得 ‎，利用平面向量基本定理，建立方程，求出，即可得出结论.‎ ‎【详解】设，，则，.‎ 由于，‎ 可得，且，‎ 解得，，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，‎ ‎16.已知数列满足，为数列的前项和，则的值为__________．‎ ‎【答案】2016‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】∵数列满足 ‎∴，且，则 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故答案为：.‎ 三、解答题 ‎17.的内角为的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，当的面积最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）利用正弦定理得：，进而，即可求出角；（2）由，利用余弦定理建立等式关系，结合不等式的性质求解的最大值，可得面积的最大值．‎ 试题解析：（1）利用正弦定理得：，.‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ ‎∴，当且仅当时取等号 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：‎ 售出水量（单位：箱）‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ 收入（单位：元）‎ ‎165‎ ‎142‎ ‎148‎ ‎125‎ ‎150‎ 学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．‎ ‎（1）若与成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？‎ ‎（2）假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．‎ 附：回归方程，其中．‎ ‎【答案】（1）206；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可求得，，从而求得，，即可求出线性回归方程，将代入求出即可；（2）设事件：甲获一等奖；事件：甲获二等奖；事件：乙获一等奖，事件：乙获二等奖，事件：丙获一等奖；事件：丙获二等奖，利用列举法能求出三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．‎ 试题解析：（1）由题意可得，.‎ ‎∴‎ ‎∴当时，，即某天售出9箱水的预计收益是206元 ‎（2）设事件：甲获一等奖；事件：甲获二等奖；事件：乙获一等奖，事件：乙获二等奖，事件：丙获一等奖；事件：丙获二等奖，则总事件有：，8种情况．甲、乙、丙三人奖金不超过1000的事件有1种情况，则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．‎ 点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，点在线段上，且，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，求三棱锥体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得为等边三角形，从而有，，即可证明结论；‎ ‎（2）由（1）可得平面，，由平面平面，可得平面，从而有，求出即可.‎ ‎【详解】（1）∵，为的中点，∴，‎ 又∵底面是菱形，，∴为等边三角形，‎ ‎∴，又∵，∴平面，‎ ‎（2）∵，∴，‎ 又∵平面平面，平面平面，‎ ‎，平面，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，，∴平面，又，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直、求椎体的体积，注意空间垂直关系的相互转化，考查逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点，在轴上，是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依题意，，结合点在椭圆上及，即可求得椭圆的方程；（2）设，则，联立直线与椭圆的方程，求得，，根据得所在直线方程，即可分别得到与的坐标，结合为直角，列出等式，即可求解.‎ 试题解析：（1）依题意，.‎ ‎∵点在上，‎ ‎∴，‎ 又∵‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）假设存在这样的点，设，则，联立 ‎，解得，‎ ‎∵‎ ‎∴所在直线方程为，‎ ‎∴，‎ 同理可得，，.‎ ‎∴或 ‎∴存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或．‎ 点睛： （1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．解题时可先假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在；‎ ‎（2）由于解析几何问题的解答中一般要涉及到大量的计算，因此在解题时要注意运算的合理性和正确性．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若对任意给定的，方程在上总有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）时，无极值；，；（2）‎ ‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）对函数求导，对进行分类讨论，结合单调性即可得函数的极值；（2）对函数求导，得的单调性，从而得的值域，根据方程在上总有两个不相等的实数根，只需满足，即可求得实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）函数的定义域为 ‎，‎ ‎①当时，在单调递增，无极值；‎ ‎②当时，令，解得，‎ 故在递增，递减，‎ ‎，无极小值 综上所述：‎ 时，无极值；，．无极小值 ‎（2），令单增；递减．时，．‎ 依题意，，由，得，‎ 由，即，令，可知单增，且.‎ ‎∴，得 综上所述，．‎ 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为（t为参数，），以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．‎ 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ 已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）,；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接消参得到曲线C1的普通方程，利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线C2的直角坐标方程；（2）把曲线C1的标准参数方程代入曲线C2的直角坐标方程利用直线参数方程t的几何意义解答.‎ ‎【详解】C1的参数方程为消参得普通方程为x－y－a＋1＝0，‎ C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，‎ 两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x．‎ 所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．‎ ‎(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，‎ 得＋1－‎4a＝0，由Δ＝，得a>0，‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，‎ 当t1＝2t2时，解得a＝；‎ 当t1＝－2t2时，解得a＝，‎ 综上，或．‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23.已知函数f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|.‎ ‎(1)当m＝－1时，求不等式f(x)≤2的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含，求m的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.‎ ‎（2）由题意可知f(x)≤|2x＋1|在上恒成立，可去掉绝对值|x＋m|≤2，解绝对值不等式，结合不等式的解集即可求解.‎ ‎【详解】(1)当m＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，‎ 当x≥1时，f(x)＝3x－2≤2，所以1≤x≤；‎ 当

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