2018届二轮复习函数的图象与性质教案（江苏专用）
第1讲 函数的图象与性质
1．(2016·江苏)函数y＝的定义域是________．
答案 [－3,1]
解析 要使原函数有意义，需3－2x－x2≥0.解得－3≤x≤1.故函数的定义域为[－3,1]．
2．(2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f ＝f ，则f(5a)的值是________．
答案 －
解析 由已知f ＝f ＝f ＝－＋a，
f ＝f ＝f ＝＝.
又∵f ＝f ，则－＋a＝，a＝，
∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋＝－.
江苏高考对函数三要素的考查，主要以基础知识为主；对图象的考查主要是利用函数图象，即通过数形结合思想解决问题；对函数性质的考查主要是将函数的奇偶性、单调性、周期性等综合在一起，试题难度中等偏上．
热点一 函数性质及其运用
例1 (1)设偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)≤f(1)的x的取值范围是
______．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－a(a∈R)．若∀x∈R，f(x＋2 016)>f(x)，则实数a的取值范围是________．
答案 (1) [0，1] (2)(－∞，504)
解析 (1)由题设和偶函数的单调性可知|2x－1|≤1，
解得0≤x≤1.
(2)当a＝0时，f(x)＝x，x∈R，满足条件；
当a<0时，f(x)＝为R上的单调递增函数，也满足条件；
当a>0时，f(x)＝
要满足条件，需4a<2 016 ，即0
2或－20；
当x<－2或00，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________．
(2)已知函数f(x)＝若ax2－x1；
②x2f(x1)>x1f(x2)；
③x2－x1，可得>1，即两点(x1，f (x1))与(x2，f (x2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x2f (x1)>x1f(x2)，得>，即表示两点(x1，f (x1))，(x2，f (x2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③正确．
热点三 指数、对数函数的图象与性质
例3 (1)若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是__________．
答案 [1，＋∞)
解析 4x＋2x＋1＋m>1等价于(2x)2＋2·2x＋1>2－m，
即(2x＋1)2>2－m.
∵2x∈(0，＋∞)，∴2x＋1∈(1，＋∞)，
∴2－m≤1，解得m≥1.
(2)若函数f(x)＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在区间[0,1]上单调递减，求实数a的取值范围．
解 ∵a>0，a≠1，所以y＝2－ax是减函数．
又∵f(x)＝loga(2－ax)是减函数，
∴对数函数y＝logax必是增函数，得a>1.
又由2－ax>0，得x<.
由题意，得[0,1]⊆，∴1<，即a<2.
故a的取值范围是(1,2)．
思维升华 指数函数、对数函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．
跟踪演练3 (1)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f ，f ，f 的大小关系是________．
(2)函数f(x)＝log2(3－ax)(a>0且a≠1)在(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是________．
答案 (1)f f >f .
(2)由已知得解得11.50＝1，∴b2.
3．(2017·江苏南京三模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数．当x∈[2,4]时，f(x)＝，则f 的值为____________．
答案
解析 由函数的周期性可得f ＝f ＝f ，
由函数的奇偶性可得f ＝f ＝|log42|＝.
4．(2017·江西九江地区七校联考改编)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
答案 [－4,4)
解析 由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立，且≥－2，即(－2)2－a(－2)－3a>0且a≥－4，解得实数a的取值范围是[－4,4)．
5．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2x－1，则不等式f(x)＋7<0的解集为________．
答案 (－∞，－2)
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
由f(2)＝7，得f(－2)＝－7，
所以f(x)<－7＝f(－2)．
又当x≥0时，f(x)单调递增，
从而f(x)在R上单调递增，所以有x<－2.
6．若函数f(x)＝(a，b∈R)为奇函数，则f(a＋b)的值为________．
答案 －1
解析 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，f(－2)＝－f(2)，
即
解得a＝－1，b＝2.
经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，
所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.
7．已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)画出f(x)的图象草图；
(3)利用定义证明函数f(x)在(－∞，0)上是减函数．
(1)解 要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，
解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
(2)解 由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．
(3)证明 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1|x2|>0，∴>1，lg>0，
∴f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数．
8．已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；
(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．
(1)证明 任取x10且a≠1)在x∈[2，＋∞)时恒有|y|>1，则a应满足的条件是________．
答案 1，当x≥2时，logax>0，∴logax>1，
由题意loga2>1，∴a∈(1,2)．
综上可知，3b>3”是“loga33b>3，则a>b>1，从而有loga3b>1，比如a＝，b＝3.
12．偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝2，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是________．
答案 [－1,3]
解析 因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝2.
所以f(x－1)≤2，即f(|x－1|)≤f(2)，
即|x－1|≤2，所以－1≤x≤3.
13．设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋ln，记an＝f(n－5)(n∈N*)，则数列{an}的前8项和为________．
答案 －16
解析 {an}的前8项和为f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋(f(－3)＋f(3))＋(f(－2)＋f(2))＋(f(－1)＋f(1))＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－24－ln＝－16.
14．(2017·江苏运河中学摸底)函数f(x)＝的值域为________．
答案
解析 函数f(x)＝的定义域为{x|x≥－1}，
则当x＝－1时，f(－1)＝0.
当x>－1时，
f(x)＝＝
＝，
∵x＋1＋≥4，当且仅当x＝1时，等号成立，
∴ ≤＝.
故函数f(x)＝的值域为.
15．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1，
∴f(x)＝ax－a－x.
∵f(1)>0，∴a－>0，
又a>0且a≠1，∴a>1.
当a>1时，y＝ax和y＝－a－x在R上均为增函数，
∴f(x)在R上为增函数，
原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，
∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，
∴x>1或x<－4，
∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．
(2)∵f(1)＝，
∴a－＝，即2a2－3a－2＝0.
∴a＝2或a＝－(舍去)，
∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2，
令t＝h(x)＝2x－2－x(x≥1)，则φ(t)＝t2－4t＋2.
∵t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，
∴h(x)≥h(1)＝，即t≥，
φ(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，t∈.
∴当t＝2时，φ(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，
此时x＝log2(1＋)，
故当x＝log2(1＋)时，g(x)有最小值－2.
