湖南省衡阳市欧阳遇实验中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

湖南省衡阳市欧阳遇实验中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

‎ 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 ‎ 一、 选择题（每小题5分，共60分） ‎ ‎1. 设集合，，则( )‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 设，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 ( )‎ A．588 B．480 C．450 D．120‎ ‎ 4. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎5．已知， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设,是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件. ‎ ‎8．设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则( )‎ A． B． C． D．. 9.下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎10.函数的图象可能是( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎11. 设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于 两点，若 ，则的离心率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12．已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎14.在的展开式中，常数项等于　 . 15.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有　　种（结果用数值表示）‎ ‎16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型。如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，,3D打印机所用原料密度为，不考虑打印损耗，则作该模型所需原料的质量为 .‎ 三、解答题（6个小题，共70分） ‎ ‎17.在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．‎ ‎（Ⅰ）求b，c的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（B–C）的值．‎ ‎18.设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．‎ ‎19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，‎ AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值.‎ ‎20.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ 交付金额（元）‎ 支付方式 ‎（0,1000]‎ ‎（1000,2000]‎ 大于2000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎21.已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程. ‎ ‎22、已知常数a>0，函数。‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）在区间上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点、，且f（）+f（）>0，求a的取值范围 数学答案 一：选择题（每小题5分共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C B C D D B C B D A C 二：填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13：____x+2*y-2=0_________ 14：_____15_________‎ ‎15：_______24__________ 16：____118.8__________‎ 三：解答题（共70分）‎ ‎17题（10分）【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：.‎ ‎(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，‎ 结合正弦定理可得：，‎ 很明显角C为锐角，故，‎ 故.‎ ‎18题（12分）（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 因为成等比数列，所以，‎ 即，解得，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,‎ 所以；‎ 当或者时，取到最小值.‎ ‎19题（12分）详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，‎ 由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，‎ 由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.‎ ‎(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 易知：，‎ 由可得点F的坐标为，‎ 由可得，‎ 设平面AEF的法向量为：，则 ‎，‎ 据此可得平面AEF的一个法向量为：，‎ 很明显平面AEP的一个法向量为，‎ ‎，‎ 二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为 ‎20题（12分）(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都使用的人数为：人，则：‎ 该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率.‎ ‎(Ⅱ)由题意可知，‎ 仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，‎ 仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，‎ 且X可能的取值为0,1,2.‎ ‎，，，‎ X分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 其数学期望：.‎ ‎21题（12分）【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎．‎ ‎22题(12分)（1）对函数求导，可得 ‎（*）‎ 因为，所以 当时，，此时，在区间上单调递增；‎ 当时，由得 ‎（舍去）‎ 当时，；‎ 当时，‎ 故在区间上单调递减，在上单调递增。‎ 综上所述，‎ 当时，在区间上单调递增；‎ 当时，在区间上单调递减，在上单调递增。‎ ‎（2）由（1）可知，当时，，‎ 此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有，‎ 又的极值点只可能是，‎ 且由的定义可知，且，‎ 所以，‎ 解得，此时，由（*）式易知，分别是的极小值点和极大值点。‎ 而 令，由且知 当时，；‎ 当时，；‎ 记 ‎（ⅰ）当时，，‎ 所以 因此，在区间上单调递减 从而 故当时，‎ ‎（ⅱ）时，‎ 所以 因此，在区间上单调递减，‎ 从而，‎ 故当时，‎ 综上所述，满足条件的的取值范围为