安徽省六安市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次段考数学（文）试题

安徽省六安市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次段考数学（文）试题

六安一中2019～2020年度高二年级第一学期第一次阶段检测 数学试卷（文科）‎ 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若，下列不等式一定成立的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】若，，则，错误；‎ ‎，则，错误；‎ ‎，，则，错误；‎ ‎，则等价于，成立，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎2.设，，是实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据充分条件和必要条件的定义可得正确选项.‎ ‎【详解】当，时，不成立，即充分性不成立；‎ 当时，则，故，即必要性成立．‎ 即“”是“”的必要不充分条件．故选B．‎ ‎【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据定义即命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.‎ ‎3.已知命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断命题与的真假，然后判断选项的正误．‎ ‎【详解】命题，是真命题；是假命题；‎ 命题，是真命题；是假命题；‎ 所以是真命题；是假命题；是假命题；是假命题．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．‎ ‎4.设且，则下列四数中最大的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质和作差法即可比较大小．‎ ‎【详解】，且，‎ ‎ ．‎ 即 又 最大的一个数为 故选：D ‎【点睛】本题考查比较大小问题，作差法是常用的方法，同时要注意不等式的性质和重要不等式的应用，属于基础题．‎ ‎5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围。‎ ‎【详解】因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆，‎ 所以 ，即 ，‎ 所以实数的取值范围是。‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程。对于椭圆，①表示焦点在x轴上的椭圆；②表示焦点在y轴上的椭圆。；③表示椭圆。‎ 本题主要考查学生的运算能力、转化能力。‎ ‎6.已知正数满足，则（ ）‎ A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值2 D. 有最小值2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式及其应用可得.‎ ‎【详解】由不等式的性质有：，‎ 即，当且仅当等号成立 又，，‎ 所以，‎ 即，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，属中档题 ‎7.设，，则三个数（ ）‎ A. 都小于4 B. 至少有一个不大于4‎ C. 都大于4 D. 至少有一个不小于4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．‎ ‎【详解】假设三个数且且，相加得：‎ ‎，由基本不等式得：‎ ‎；；；‎ 相加得：，与假设矛盾；‎ 所以假设不成立，‎ 三个数、、至少有一个不小于4．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．‎ ‎8.若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（ ）‎ A. -7 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出不等式组表示的可行域，目标函数即：，结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最大值时点的坐标即可求得其最大值.‎ ‎【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 目标函数即：，‎ 其中表示可行域内的点与连线的斜率值，‎ 据此结合目标函数的几何意义可知在点处取得最小值，‎ 此时目标函数的最大值为：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎9.某企业生产甲、乙两种产品均需要，两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　）‎ 甲 乙 原料限额 ‎（吨）‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎（吨）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎6‎ A. 10万元 B. 12万元 C. 13万元 D. 14万元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，根据图表写出约束条件以及目标函数，从而转化为线性规划问题，利用数形结合即可求出最大利润.‎ ‎【详解】设该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，‎ 则约束条件为 ，且x，y≥0，目标函数z=3x+4y，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=3x+4y，得y=-x+，平移直线y=-x+，‎ 由图象知当直线y=-x+经过点A时，y=-x+的截距最大，此时z最大，‎ 由即A（2，2），此时z=3×2+4×2=6+8=14（万元），‎ 即该企业生产甲产品2吨，乙产品2吨，利润为14万元，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】主要考查了线性规划，属于基础题.这类型题一般步骤：‎ ‎（1）设出未知量；‎ ‎（2）根据题意写出约束条件以及目标函数；‎ ‎（3）画出平面区域；‎ ‎（4）根据目标函数的几何意义确定最优解；‎ ‎（5）由最优解求出最大值（最小值）.‎ ‎10.设，则的最小值是（ ）‎ A. 7 B. 6 C. 5 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，将转化为，利用基本不等式进行求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意知且 则 ‎（1）若则 ‎，‎ 当且仅当，即，时取等号。‎ ‎（2）若则 当且仅当，即，时取等号。‎ 时取等号，综上的最小值为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式应用，注意对进行讨论，综合性较强，难度较大。‎ ‎11.关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把不等式化为，分类讨论和，求出不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，确定的取值范围。‎ ‎【详解】不等式，即，若，不等式解集为；若，不等式解集为，要保证恰含有两个整数，则或 ‎，所以正确选项为C。‎ ‎【点睛】本题主要考查含参数一元二次不等式的解法，分类讨论是解决本题的关键。‎ ‎12.设正实数满足，则当取得最大值时， 最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用基本不等式分析取得最大值的条件，然后再去计算的最大值.‎ ‎【详解】因为，所以，且，则，即，取等号时有：，且；，当且仅当时取得最大值：，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式以及二次函数类型问题的最值，难度一般.注意基本不等式求解最值的时候，取等号的条件一定要判断好.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知命题，那么是___________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定即可求解.‎ ‎【详解】因为命题 所以命题：‎ ‎【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎14.已知实数满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．‎ ‎【详解】实数，满足，如图所示可行域，‎ 令．‎ 结合图象，可看作原点到直线的距离的平方，‎ 根据点到直线的距离可得，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．‎ ‎15.过圆上一点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点 的轨迹方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中点坐标公式，确定，坐标之间的关系，将的坐标代入圆的方程，即可求得的轨迹方程．‎ ‎【详解】设，则 在圆上，‎ ‎，整理得 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，中点坐标公式，考查了代入法，属于基础题．‎ ‎16.若正实数，，满足，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：将题中的式子进行整理，将当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题的求解方法，即可求得结果.‎ 详解：，故答案是.‎ 点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-------相乘，即可得结果.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）焦点在轴上，焦距为4，且椭圆过点；‎ ‎（2）焦点在坐标轴上，且椭圆过点和 ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，，根据、、的关系，可求；‎ ‎（2）设所求椭圆的标准方程为，，，解方程组，可求椭圆的标准方程。‎ ‎【详解】（1）由题意，，‎ ‎ 椭圆焦点在轴上 可设为 ‎ 椭圆过点 椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设椭圆的方程：，‎ 则，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查待定系数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎18.已知，设：实数满足 ，：实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先解出命题、的不等式，由为真，得知命题与均为真命题，再将两个不等式对应的范围取交集可得出答案；‎ ‎（2）解出命题中的不等式，由题中条件得知命题中的不等式对应的集合是命题中不等式对应集合的真子集，因此得出两个集合的包含关系，列不等式组解出实数的取值范围。‎ ‎【详解】（1）由 得 ，‎ 当时，，即为真时，实数的取值范围是.‎ 由，得，即为真时，实数的取值范围是.‎ 因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是；‎ ‎（2）由得，‎ 所以，为真时实数的取值范围是.‎ 因为是的必要不充分条件，所以且 所以实数的取值范围为：.‎ ‎【点睛】本题考查第（1）问考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，转化为两个命题为真假时参数取值范围的交集，第（2）问考查由命题的充分必要性求参数的取值范围，转化为集合的包含关系，考查转化与化归的数学思想的应用，属于中等题。‎ ‎19.在中，角，，所对的边分别为，，，已知。‎ ‎（1）求的大小.‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题，将原式变形，可得角A的余弦，进而得A的大小；‎ ‎（2）直接利用三角形面积公式，求得结果.‎ ‎【详解】（1）由得，‎ ‎，， ‎ ‎,所以.‎ ‎(2)‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数和差角公式以及面积的求法，属于基础题.‎ ‎20.设 ‎（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）； （2）①当时，解集为 ；②当或时，解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得对恒成立，即有的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到所求范围；‎ ‎（2）讨论判别式小于等于0，以及判别式大于0，由二次函数的图象可得不等式的解集．‎ ‎【详解】（1）由题意，若对任意恒成立，‎ 即为对恒成立，‎ 即有的最小值，‎ 由，可得，取得最小值2，所以.‎ ‎（2）当，即时，无解；‎ 当，即或时，‎ 方程的两个根为，‎ 的解集为.‎ 综上，①当时，无解；②当或时，的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，考查二次不等式的解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎21.某城市旅游资源丰富，经调查，在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足.‎ ‎（1）求该城市的旅游日收益（万元）与时间（，）的函数关系式；‎ ‎（2）求该城市旅游日收益的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）最小值为441万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用已知条件直接写出，该城市的旅游日收益W（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N+）的函数关系式； （Ⅱ）利用基本不等式，即可求该城市旅游日收益的最小值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）①当时，（当且仅当时取等号）‎ 所以，当时，取得最小值441． ‎ ‎②当时，因为递减，‎ 所以时，有最小值， ‎ 综上，时，旅游日收益的最小值为441万元．‎ ‎【点睛】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若，都，使成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得的两根是，，运用韦达定理可得；‎ ‎（2）问题转化为，分别求出函数、在给定区间上的最小值，即可得出答案。‎ 详解】（1）由得，整理得，‎ 因为不等式的解集为，所以方程的两个根是，；‎ 由根与系数的关系得，即；‎ ‎（2）由已知，只需，‎ 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，‎ 由于，‎ 所以函数在上的最小值为，‎ 因为开口向上，且对称轴为，故 ‎①当，即时，，解得；‎ ‎②当，即时，‎ ‎，‎ 解得或，所以；‎ ‎③当，即时，，‎ 解得，所以.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性和最值，考查分类讨论思想方法和任意性、存在性问题解法，注意转化思想的运用，考查化简运算能力，属于难题．‎ ‎ ‎