2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二12月月考数学（文）试题

2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二12月月考数学（文）试题

2017-2018 学年辽宁省实验中学分校高二 12 月月考数学文科 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线 的焦点坐标是 A. B. C. D. 2. 椭圆 的左右焦点分别为 ， ，一直线过 交椭圆于 ， 两点， 则 的周长为 A. B. C. D. 3. 若双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于 A. B. C. D. 4. 若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 5. 椭圆 的焦点在 轴上，一个顶点是抛物线 的焦点，过焦点且垂直于 长轴的弦长为 ，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 6. 已知抛物线 的准线与双曲线 相交于 ， 两 点，双曲线的一条渐近线方程是 ，点 是抛物线的焦点，且 是等边 三角形，则该双曲线的标准方程是 A. B. C. D. 7. 为过椭圆 的中心的弦， 为它的右焦点，则 的最大面积为 A. B. C. D. 8. 已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交抛物线于 ， 两点， 为坐标 原点，若 | | 4AB  ，则 的面积为 A. 2 B. C. D. 9. 已知 为双曲线 上任一点，过 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线， 垂足分别为 ， ，则 的值为 A. B. C. D. 与点 的位置有关 10. 若直线 与抛物线 相交于 ， 两点，则 等于 A. B. C. D. 11. 已知抛物线 和动直线 （ ， 是参变量，且 ， ）相交于 ， 两点，直角坐标系原点为 ，记直线 ， 的斜率分别为 恒成立，则当 变化时直线恒经过的定点为 A. B. C. D. 12. 椭圆 上离顶点 距离最大的点恰好是另一个 顶点 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知双曲线 的一条渐近线为 ，一个焦点为 ，则 ； ． 14. 若直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范 围为 ． 15. 已知椭圆 的上顶点为 ，直线 交椭圆 于 ， 两 点，若直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的值为 ． 16. 如图，已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 点 为抛物线焦点，且 ， 两点在抛物线 准线上的射影分别是 ， ，若 ，则 的值是 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （本小题满分 10 分） 根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点 ， 且焦点在坐标轴上； （2）与双曲线 有相同的焦点，且经过点 ． 18. （本小题满分 12 分） 已知 ， 分别是椭圆 的左右两个焦点， 为坐标原点，点 在椭圆上，线段 与 轴的交点 为线段 的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ，求 的值． 19. （本小题满分 12 分） 已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ． （1）求该双曲线 的方程； （2）若直线： 与双曲线 左支有两个不同的交点 ， ，求 的取值 范围． 20. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 与过点 的直线相交于 ， 两点，且直线 与 的斜率之和为 ，求直线的方程． 21. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 ： ，直线 与 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点． （1）求抛物线 的方程； （2）设点 的坐标为 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值． 22. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，且椭圆 上的点到两个 焦点的距离之和为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设 为椭圆 的左顶点，过点 的直线与椭圆交于点 ，与 轴交于点 ， 过原点且与平行的直线与椭圆交于点 ．证明： ． 数学文科 高二年级 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. D 【解析】由题意， 的焦点坐标为 ． 2. B 3. B 【解析】 ，故点 在双曲线的左支上，由双曲线 的定义得 ，所以 ． 4. C 5. D 6. D 【解析】由题意可得抛物线 的准线为 ，焦点坐标是 ， 又抛物线 的准线与双曲线 相交于 ， 两点， 且 是等边三角形， 则有 ， 两点关于 轴对称，横坐标是 ，纵坐标分别是 与 ， 将坐标 代入双曲线方程得 又双曲线的一条渐近线方程是 ，得 由 解得 ， ． 所以双曲线的方程是 ． 7. C 8. A 9. C 10. B 11. D【解析】将直线与抛物线联立，消去 ，得 ， 所以 ， ；所以 ，所以 ， 所以 所以 ，解得 ， 所以 ．令 ，得 ，所以直线过定点 ． 12. B 【解析】提示：由对称性，可设椭圆上任意一点 的坐标为 ，所以 ， ．因为 ，所以 ，关于 的二次函数图象开口向下，所以对称轴 ．解得 ． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. ， 【解析】 ，所以 ， ，所以 ； ． 14. 【解析】因为方程 表示椭圆，所以 ． 恒过点 ， 而当 时，点 恒在椭圆内或椭圆上，所以实数 的取值范围为 ． 15. 【解析】将直线 代入椭圆 的方程，得 ， 解得 ， ，因为 为椭圆的上 顶点，所以 ，所 以 ， ，所以 ． 16. 【解析】抛物线 的准线为 ， 直线 恒过定点 ，连接 ， ， 由 ，则 ， 点 为 的中点，连接 ，则 ， 所以 ，点 的横坐标为 ， 所以点 的坐标为 ， 把 代入直线 ，解得 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （1） 设双曲线的方程为 ． 因为 ， 两点在双曲线上，所以 解得 所以所求双曲线的标准方程为 ． （2） 根据题意设所求双曲线的方程为 （ ）． 因为双曲线过点 ，所以 ，所以 或 （舍去）． 所以所求双曲线的标准方程为 ． 18. （1） 因为点 是线段 的中点，所以 是 的中位线，由 ， 得 ，所以 解得 ， ， ．所以椭圆的标准方程为 ． （2） 因为点 在椭圆上， ，， 是椭圆的两个焦点，所以 ， ，在 中，由正弦定理，得 ， 所以 ． 19. （1） 由题意设双曲线方程为 ．由已知得 ， ， 再由 ，得 ．故双曲线 的方程为 ． （2） 设 ， ，将 代入 ， 得 ．由题意知 解得 ．所以 的取值范围为 ． 20. 设 ， ．则有 ， ．因为 ， 所以 ，又 ， ，所以 ． 又因为 ，所以 ． 因此，所求直线的方程为 ． 21. （1） 将 代入 ，得 ，其中 ．设 ， ，则 ， ． 因为 ． 由已知得 ， ，所以抛物线 的方程为 ． （2） 由（ ） 知 ， ． ， 同理 ，所以 ． 22.（1）设椭圆 的标准方程为 ，由题意知 解 得 ， ，所以椭圆 的标准方程为 ． （2） 设直线 的方程为 ，则 ，由 得 ．（1）易知 ，设 ，则 ， 是方程（1）的两个根，所以 ，所以 ， ， 又 ，所以 ．设直线 的方程为 ， 由 得 ．设 ，则 ， ， 所以 ， ．所以 ．