【数学】2018届一轮复习人教A版 椭圆 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 椭圆 学案

第5讲　椭圆 最新考纲　掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ 知 识 梳 理 ‎1.椭圆的定义 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F‎1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.‎ 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝‎2a}，|F‎1F2|＝‎2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：‎ ‎(1)若a＞c，则集合P为椭圆；‎ ‎(2)若a＝c，则集合P为线段；‎ ‎(3)若a＜c，则集合P为空集.‎ ‎2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1‎ ‎(a>b>0)‎ ＋＝1‎ ‎(a>b>0)‎ 图形 性质 范围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，‎ B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)，‎ B1(－b，0)，B2(b，0)‎ 轴 长轴A‎1A2的长为‎2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 ‎|F‎1F2|＝‎‎2c 离心率 e＝∈(0，1)‎ a，b，c的关系 c2＝a2－b2‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)‎ ‎(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)‎ ‎(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.(　　)‎ ‎(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)‎ ‎(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)‎ 解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F‎1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F‎1F2|时，其轨迹为线段F‎1F2，常数小于|F‎1F2|时，不存在这样的图形.‎ ‎(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√‎ ‎2.(2015·广东卷)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝(　　)‎ A.2 B‎.3 ‎ C.4 D.9‎ 解析　依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.选B.‎ 答案　B ‎3.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析　由椭圆的定义可知△AF1B的周长为‎4a，所以‎4a＝4，故a＝，又由e＝＝，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，则C的方程为＋＝1，故选A.‎ 答案　A ‎4.(2016·全国Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c，0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.‎ 由题意知＝×2b，解得＝，即e＝，故选B.‎ 答案　B ‎5.(选修2－1P‎49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.‎ 解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，‎ 所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为或.‎ 答案　或 ‎6.(2017·金丽衢十二校联考)若直线l与直线x＋y－1＝0垂直，其纵轴截距b＝－，椭圆C的两个焦点F1(－1，0)，F2(1，0)，且与直线l相切，则直线l的方程为________，椭圆C的标准方程为________.‎ 解析　因为直线l与直线x＋y－1＝0垂直，其纵轴截距b＝－，所以直线l的方程为y＝x－.设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，与直线l的方程联立，消去y得(a2＋b2)x2－‎2a2x＋‎3a2－a2b2＝0，则Δ＝(－‎2a2)2－4(a2＋b2)(‎3a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝3　①，又因为椭圆的两个焦点的坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以a2－b2＝1　②，联立①②解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ 答案　y＝x－　＋y2＝1‎ 考点一　椭圆的定义及其应用 ‎【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)‎ A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ‎(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF‎1F2＝3，则b＝________.‎ 解析　(1)连接QA.‎ 由已知得|QA|＝|QP|.‎ 所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.‎ 又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.故选A.‎ ‎(2)由题意得|PF1|＋|PF2|＝‎2a，‎ 又∠F1PF2＝60°，‎ 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F‎1F2|2，‎ 所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝‎4c2，‎ 所以3|PF1||PF2|＝‎4a2－‎4c2＝4b2，‎ 所以|PF1||PF2|＝b2，‎ 所以S△PF‎1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝×b2×＝‎ b2＝3，所以b＝3.‎ 答案　(1)A　(2)3‎ 规律方法　(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.‎ ‎(2)椭圆的定义式必须满足‎2a＞|F‎1F2|.‎ ‎【训练1】 (1)已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF‎1F2的面积是(　　)‎ A. B‎.2 ‎ C.2 D. ‎(2)(2017·保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.‎ 解析　(1)由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝‎2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F‎1F2|＝‎2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F‎1F2|2，即△PF‎1F2为直角三角形，且∠PF‎2F为直角，‎ 所以S△PF‎1F2＝|F‎1F2||PF2|＝×2×1＝.‎ ‎(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.‎ 所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C‎1C2|，‎ 即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，‎ 得点P的轨迹方程为＋＝1.‎ 答案　(1)A　(2)＋＝1‎ 考点二　椭圆的标准方程 ‎【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________.‎ ‎(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________.‎ 解析　(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).‎ 由解得m＝，n＝.‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)法一　椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.‎ 由椭圆的定义知，‎2a＝＋‎ ，解得a＝2.‎ 由c2＝a2－b2可得b2＝4.‎ 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 法二　设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 答案　(1)＋＝1　(2)＋＝1‎ 规律方法　求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·湖州市调研)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋y2＝1 D.＋y2＝1‎ ‎(2)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为________.‎ 解析　(1)依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.‎ ‎(2)依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0).‎ 过点F2(1，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，‎ ‎∴点A必在椭圆上，‎ ‎∴＋＝1.①‎ 又由c＝1，得1＋b2＝a2.②‎ 由①②联立，得b2＝3，a2＝4.‎ 故所求椭圆C的方程为＋＝1.‎ 答案　(1)A　(2)＋＝1‎ 考点三　椭圆的几何性质 ‎【例3】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2015·福建卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，‎ 则D，又B，D，M三点共线，‎ 所以＝，所以a＝‎3c，所以e＝.‎ ‎(2)设左焦点为F0，连接F‎0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.‎ ‎∵|AF|＋|BF|＝4，‎ ‎∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.‎ 设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.‎ 离心率e＝＝＝＝∈.‎ 答案　(1)A　(2)A 规律方法　(1)求椭圆离心率的方法 ‎①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.‎ ‎②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.‎ ‎(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.‎ ‎【训练3】 (1)(2016·德阳模拟)已知椭圆：＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________.‎ ‎(2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________.‎ 解析　(1)由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝‎4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3.所以b2＝3，即b＝.‎ ‎(2)因为|PT|＝(b＞c)，‎ 而|PF2|的最小值为a－c，所以|PT|的最小值为.依题意，有≥(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以‎5c2＋‎2ac－‎3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①‎ 又b＞c，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1.②‎ 联立①②，得≤e＜.‎ 答案　(1)　(2) 考点四　直线与椭圆的位置关系 ‎【例4】 (2016·全国Ⅰ卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，‎ Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎(1)证明　因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，‎ 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，‎ 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.‎ 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，‎ 所以|EA|＋|EB|＝4.‎ 由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，‎ 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0).‎ ‎(2)解　当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).‎ 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|MN|＝|x1－x2|＝.‎ 过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为，‎ 所以|PQ|＝2＝4.‎ 故四边形MPNQ的面积 S＝|MN||PQ|＝12.‎ 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8).‎ 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ的面积为12.‎ 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8).‎ 规律方法　(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则|AB|＝ ‎＝ (k为直线斜率).‎ 提醒　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.‎ ‎【训练4】 (2017·瑞安质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，‎ 焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1).‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)求实数λ的值.‎ 解　(1)由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，‎ ‎∴椭圆C的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2).‎ 若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意.‎ 当AB所在直线l的斜率k存在时，‎ 设方程为y＝k(x－1).由消去y得 ‎(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①‎ 由①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.‎ ‎∵∴x1＋x2＝＝，∴k2＝.‎ 将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，‎ 解得x＝.‎ 又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，‎ λ＝，又λ＞1，‎ ‎∴λ＝.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F‎1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.‎ ‎2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，‎ 这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.‎ ‎2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.‎ ‎3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系. ‎