【数学】2018届一轮复习人教A版 椭圆 学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版 椭圆 学案

第5讲 椭圆 最新考纲 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ 知 识 梳 理 ‎1.椭圆的定义 在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F‎1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.‎ 集合P={M||MF1|+|MF2|=‎2a},|F‎1F2|=‎2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:‎ ‎(1)若a>c,则集合P为椭圆;‎ ‎(2)若a=c,则集合P为线段;‎ ‎(3)若a<c,则集合P为空集.‎ ‎2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 +=1‎ ‎(a>b>0)‎ +=1‎ ‎(a>b>0)‎ 图形 性质 范围 ‎-a≤x≤a ‎-b≤y≤b ‎-b≤x≤b ‎-a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),‎ B1(0,-b),B2(0,b)‎ A1(0,-a),A2(0,a),‎ B1(-b,0),B2(b,0)‎ 轴 长轴A‎1A2的长为‎2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 ‎|F‎1F2|=‎‎2c 离心率 e=∈(0,1)‎ a,b,c的关系 c2=a2-b2‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(  )‎ ‎(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(  )‎ ‎(3)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.(  )‎ ‎(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(  )‎ ‎(5)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同.(  )‎ 解析 (1)由椭圆的定义知,当该常数大于|F‎1F2|时,其轨迹才是椭圆,而常数等于|F‎1F2|时,其轨迹为线段F‎1F2,常数小于|F‎1F2|时,不存在这样的图形.‎ ‎(2)因为e===,所以e越大,则越小,椭圆就越扁.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√‎ ‎2.(2015·广东卷)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=(  )‎ A.2 B‎.3 ‎ C.4 D.9‎ 解析 依题意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.选B.‎ 答案 B ‎3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+y2=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 解析 由椭圆的定义可知△AF1B的周长为‎4a,所以‎4a=4,故a=,又由e==,得c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为+=1,故选A.‎ 答案 A ‎4.(2016·全国Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0,b)和一个焦点F(c,0),则直线l的方程为+=1,即bx+cy-bc=0.‎ 由题意知=×2b,解得=,即e=,故选B.‎ 答案 B ‎5.(选修2-1P‎49A6改编)已知点P是椭圆+=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为________.‎ 解析 设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,‎ 所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0),由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±1,把y=±1代入+=1,得x=±,又x>0,所以x=,∴P点坐标为或.‎ 答案 或 ‎6.(2017·金丽衢十二校联考)若直线l与直线x+y-1=0垂直,其纵轴截距b=-,椭圆C的两个焦点F1(-1,0),F2(1,0),且与直线l相切,则直线l的方程为________,椭圆C的标准方程为________.‎ 解析 因为直线l与直线x+y-1=0垂直,其纵轴截距b=-,所以直线l的方程为y=x-.设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),与直线l的方程联立,消去y得(a2+b2)x2-‎2a2x+‎3a2-a2b2=0,则Δ=(-‎2a2)2-4(a2+b2)(‎3a2-a2b2)=0,化简得a2+b2=3 ①,又因为椭圆的两个焦点的坐标为F1(-1,0),F2(1,0),所以a2-b2=1 ②,联立①②解得a2=2,b2=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.‎ 答案 y=x- +y2=1‎ 考点一 椭圆的定义及其应用 ‎【例1】 (1)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是(  )‎ A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ‎(2)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且∠F1PF2=60°,S△PF‎1F2=3,则b=________.‎ 解析 (1)连接QA.‎ 由已知得|QA|=|QP|.‎ 所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.‎ 又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.故选A.‎ ‎(2)由题意得|PF1|+|PF2|=‎2a,‎ 又∠F1PF2=60°,‎ 所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F‎1F2|2,‎ 所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=‎4c2,‎ 所以3|PF1||PF2|=‎4a2-‎4c2=4b2,‎ 所以|PF1||PF2|=b2,‎ 所以S△PF‎1F2=|PF1||PF2|sin 60°=×b2×=‎ b2=3,所以b=3.‎ 答案 (1)A (2)3‎ 规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.‎ ‎(2)椭圆的定义式必须满足‎2a>|F‎1F2|.‎ ‎【训练1】 (1)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF‎1F2的面积是(  )‎ A. B‎.2 ‎ C.2 D. ‎(2)(2017·保定一模)与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.‎ 解析 (1)由椭圆的方程可知a=2,c=,且|PF1|+|PF2|=‎2a=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=3,|PF2|=1.又|F‎1F2|=‎2c=2,所以有|PF1|2=|PF2|2+|F‎1F2|2,即△PF‎1F2为直角三角形,且∠PF‎2F为直角,‎ 所以S△PF‎1F2=|F‎1F2||PF2|=×2×1=.‎ ‎(2)设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.‎ 所以|PC1|+|PC2|=10>|C‎1C2|,‎ 即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,‎ 得点P的轨迹方程为+=1.‎ 答案 (1)A (2)+=1‎ 考点二 椭圆的标准方程 ‎【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,(,),则椭圆方程为________.‎ ‎(2)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆标准方程为________.‎ 解析 (1)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).‎ 由解得m=,n=.‎ ‎∴椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)法一 椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.‎ 由椭圆的定义知,‎2a=+‎ ,解得a=2.‎ 由c2=a2-b2可得b2=4.‎ 所以所求椭圆的标准方程为+=1.‎ 法二 设所求椭圆方程为+=1(k<9),将点(,-)的坐标代入可得+=1,解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为+=1.‎ 答案 (1)+=1 (2)+=1‎ 规律方法 求椭圆方程的基本方法是待定系数法,先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组,如果焦点位置不确定,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),求出m,n的值即可.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·湖州市调研)已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+y2=1 D.+y2=1‎ ‎(2)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为________.‎ 解析 (1)依题意,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c=1,又离心率e==,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1,故选A.‎ ‎(2)依题意,设椭圆C:+=1(a>b>0).‎ 过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|=3,‎ ‎∴点A必在椭圆上,‎ ‎∴+=1.①‎ 又由c=1,得1+b2=a2.②‎ 由①②联立,得b2=3,a2=4.‎ 故所求椭圆C的方程为+=1.‎ 答案 (1)A (2)+=1‎ 考点三 椭圆的几何性质 ‎【例3】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)(2015·福建卷)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析 (1)设M(-c,m),则E,OE的中点为D,‎ 则D,又B,D,M三点共线,‎ 所以=,所以a=‎3c,所以e=.‎ ‎(2)设左焦点为F0,连接F‎0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.‎ ‎∵|AF|+|BF|=4,‎ ‎∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2.‎ 设M(0,b),则≥,∴1≤b<2.‎ 离心率e====∈.‎ 答案 (1)A (2)A 规律方法 (1)求椭圆离心率的方法 ‎①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.‎ ‎②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.‎ ‎(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.‎ ‎【训练3】 (1)(2016·德阳模拟)已知椭圆:+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是________.‎ ‎(2)已知椭圆+=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是________.‎ 解析 (1)由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=‎4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,则=3.所以b2=3,即b=.‎ ‎(2)因为|PT|=(b>c),‎ 而|PF2|的最小值为a-c,所以|PT|的最小值为.依题意,有≥(a-c),所以(a-c)2≥4(b-c)2,所以a-c≥2(b-c),所以a+c≥2b,所以(a+c)2≥4(a2-c2),所以‎5c2+‎2ac-‎3a2≥0,所以5e2+2e-3≥0.①‎ 又b>c,所以b2>c2,所以a2-c2>c2,所以2e2<1.②‎ 联立①②,得≤e<.‎ 答案 (1) (2) 考点四 直线与椭圆的位置关系 ‎【例4】 (2016·全国Ⅰ卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,‎ Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎(1)证明 因为|AD|=|AC|,EB∥AC,‎ 故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,‎ 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.‎ 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,‎ 所以|EA|+|EB|=4.‎ 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,‎ 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:+=1(y≠0).‎ ‎(2)解 当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 所以|MN|=|x1-x2|=.‎ 过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,‎ 所以|PQ|=2=4.‎ 故四边形MPNQ的面积 S=|MN||PQ|=12.‎ 可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).‎ 当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,故四边形MPNQ的面积为12.‎ 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).‎ 规律方法 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则|AB|= ‎= (k为直线斜率).‎ 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.‎ ‎【训练4】 (2017·瑞安质检)已知椭圆C:+=1(a>b>0),e=,其中F是椭圆的右焦点,‎ 焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,线段AB的中点横坐标为,且=λ(其中λ>1).‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)求实数λ的值.‎ 解 (1)由条件可知,c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,‎ ‎∴椭圆C的标准方程是+=1.‎ ‎(2)由=λ,可知A,B,F三点共线,设点A(x1,y1),点B(x2,y2).‎ 若直线AB⊥x轴,则x1=x2=1,不符合题意.‎ 当AB所在直线l的斜率k存在时,‎ 设方程为y=k(x-1).由消去y得 ‎(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.①‎ 由①的判别式Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0.‎ ‎∵∴x1+x2==,∴k2=.‎ 将k2=代入方程①,得4x2-2x-11=0,‎ 解得x=.‎ 又=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),=λ,‎ λ=,又λ>1,‎ ‎∴λ=.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大于|F‎1F2|,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.‎ ‎2.求椭圆的标准方程,常采用“先定位,后定量”的方法(待定系数法).先“定位”,就是先确定椭圆和坐标系的相对位置,以椭圆的中心为原点的前提下,看焦点在哪条坐标轴上,确定标准方程的形式;再“定量”,就是根据已知条件,通过解方程(组)等手段,确定a2,b2的值,代入所设的方程,即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置,‎ 这时的标准方程常可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.‎ ‎2.在解关于离心率e的二次方程时,要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍,否则将产生增根.‎ ‎3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1等,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系. ‎
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