湖南省民办学校联盟2020届高三下学期期中联考数学（文）试题

湖南省民办学校联盟2020届高三下学期期中联考数学（文）试题

机密★启用前 湖南省民办学校联盟2019年下学期高三期中联考 文科数学 班级：_______姓名：_______准考证号：______‎ 本试题卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟 注意事项：‎ ‎1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸及答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数，则复平面表示的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知向量，，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图，可用于对研究对象的多维分析）（ ）‎ A．甲的直观想象素养高于乙 B．甲的数学建模素养优于数据分析素养 C．乙的数学建模素养与数学运算素养一样 D．乙的六大素养整体水平低于甲 ‎5.如图：本次考试成绩查询二维码是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）‎ A．4 B．‎5 ‎C．8 D．9‎ ‎6.已知圆，过点作圆的弦，则弦长的最小值为（ ）‎ A．4 B．‎6 ‎C．8 D．3‎ ‎7.已知数列的通项公式，前项和为，若，则的最大值是（ ）‎ A .5 B．‎10 ‎C．15 D．20‎ ‎8.函数，满足的的取值范围（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎9.若，且，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11.定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.如图，在长方体中，，，，点是棱的中点，点是棱的中点，是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.‎ ‎13.已知数列为等差数列，，，若，则______.‎ ‎14.已知向量、满足，且与的夹角等于，则的最大值为______.‎ ‎15.已知函数，若为的最大值点和最小值点的横坐标，则____.‎ ‎16.已知直线与双曲线的两条渐近线交于两点，与交于点，若为的中点，则双曲线的离心率等于____.‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.‎ ‎17.某省即将实行新高考，不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2018级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下：‎ ‎（1）根据以上提供的信息，完成列联表，并完善等高条形图；‎ 选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 ‎260‎ 总计 ‎600‎ ‎1000‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？‎ 附：‎ 临界值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎18.已知数列是单调递增的等差数列，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为.‎ ‎19.在中，分别是角的对边，，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，分别为的中点，.‎ ‎（1）求证：面面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，求函数的极大值.‎ ‎22.已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作抛物线的两条切线，切点为.‎ ‎（1）求证：直线过焦点；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ 高三文科数学参考答案 一、选择题（共12小题）‎ ‎1.A 【解析】解：，或，.故选：A.‎ ‎2.C 【解析】解：由，，故选：C.‎ ‎3.D 【解析】解：；；与的夹角为.故选：D.‎ ‎4.C 【解析】解：对于A选项，甲的直观想象素养为4分，乙的直观想象素养为5分，即甲的直观想象素养低于乙，故选项A错误，‎ 对于B选项，甲的数学建模素养为3分，数据分析素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B错误，‎ 对于C选项，由雷达图可知，乙的数学建模素养为4分数学运算素养为4分，故选项C正确，‎ 对于D选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D错误，故选：C.‎ ‎5.B 【解析】解：由题意在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，则其中落入黑色部分的有1210个点，由随机模拟试验可得，又，即，故选：B.‎ ‎6.A 【解析】解：圆心坐标为过最短弦在的直线斜率为，则.故选：A.‎ ‎7.B 【解析】解：根据题意，数列的通项公式是，‎ 其前项和是，有，‎ 即当最大时，取得最大值；‎ 若，且，解可得：，即当时，的值为正.‎ 即当，时，，‎ 此时取得最大值10.故选：B.‎ ‎8.A 【解析】解：当时，即，，，，‎ 当时，即，，综上，，故选：A.‎ ‎9.A 【解析】解：由，得，‎ 即，解得或（舍）.‎ ‎，，.故选：A.‎ ‎10.A 【解析】解：分焦点在轴上和轴上两种情况：‎ ‎①时，上存在点满足，‎ 假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，‎ ‎，，，解得.‎ ‎②当椭圆的焦点在轴上时，，同理可得，‎ 的取值范围是，故选A.‎ ‎1l‎.D 【解析】解：不等式等价为，‎ 构造函数，则，又有已知，‎ ‎，即在上是减函数，由于，可得，解得，‎ 即不等式的解集是，故选：D.‎ ‎12.A 【解析】解：取中点，取中点，连接、、，则平面平面，‎ 是侧面四边形内一动点（含边界），平面，线段，‎ 当与的中点重合时，线段长度取最小值，‎ 当与点或点重合时，线段长度取最大值或，‎ 在长方体中，，，，‎ 点是棱的中点，点在棱上，且满足，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 线段长度的取值范围是.故选：A.‎ 二、填空题（共4小题）‎ ‎13.13 【解析】解：设等差数列的公差为，则根据，得：；‎ ‎，；又；；解得.故答案为：13.‎ ‎14.4 【解析】解：向量、满足，且与的夹角等于，‎ 如图在中，令，，可得 可得点在半径为的圆上，，.则的最大值为 ‎15. 【解析】解：令，则 故，故时，即时，取得最大值，‎ 时，即时，取得最小值..‎ ‎16. 【解析】解：联立 同理 联立 故整理解之得：故 ‎17.【解析】解：（1）根据题意填写列联表如下，‎ 选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 ‎420‎ ‎320‎ ‎740‎ 数学成绩不优秀 ‎180‎ ‎80‎ ‎260‎ 总计 ‎600‎ ‎400‎ ‎1000‎ 完善等高条形图，如图所示；‎ ‎（2）计算，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关.‎ ‎18.【解析】解：（1）设数列的公差为，‎ 由，得，.‎ 由，，成等比数列，‎ 得，即，‎ 解得或.‎ 又数列是单调递增的等差数列故，（舍去）‎ 数列的通项公式为.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎19.【解析】解：（1）根据题意，，‎ 由正弦定理得：，‎ 即 变形可得：‎ 在中，‎ ‎，即，‎ 则；‎ ‎（2）根据题意，由（1）可得，，又由正弦定理，‎ ‎，；‎ 又由，则，‎ 则有，‎ 故.‎ ‎20.【解析】解：（1）连接，如图所示；‎ 由四边形为菱形，‎ 所以，‎ 又分别为的中点，‎ 所以，‎ 所以；‎ 又，，‎ 所以平面；‎ 又平面，‎ 所以平面平面；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 平面，；又，，‎ 平面，，‎ 在菱形中，为的中点，，‎ 所以，，，‎ 所以的面积为；‎ 所以三棱锥的体积为 ‎.‎ ‎21.【解析】解：（1）当时，‎ ‎，，，‎ 切线方程为 即 ‎（2）由 ‎（1）时，，与在上恒成立矛盾，故不符合题意.‎ ‎（2）当时，由于时，故，，在递减，‎ 故故在上恒成立 符合题意 综上可得：实数的取值范围是 ‎【注】其他方法酌情给分 ‎（3）函数的定义域为当时，，‎ 令，，则在递减.‎ 又，，使得，即 故当，即，在递增.‎ 当，即，在递减.‎ 又，，故 ‎22.【解析】解：设点、、设直线 联立消得：‎ 由得又，故故 故，故直线的方程为：即 同理直线的方程为：.‎ 又在直线上 ‎ 故、在直线上，‎ 故直线的方程为.令，得直线过焦点.‎ ‎（2）由（1）知联立消得：‎ 故，，故 故直线与直线垂直，从而 又，‎ 又，故