高中数学讲义微专题99 归纳推理与类比推理

高中数学讲义微专题99 归纳推理与类比推理

- 1 - 微专题 99 归纳推理与类比推理 一、基础知识： （一）归纳推理： 1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归 纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路： （1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律 （2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是 变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律） （3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型： （ 1 ） 函 数 的 迭 代 ： 设 是 的 函 数 ， 对 任 意 ， 记 ， 则 称 函 数 为 的 次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其 通常具备某些特征（特 征与 ）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点， 以便于从具体例子中寻找到规律，得到 的通式 （2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出 某项或分组（按周期分组）进行求和。 （3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导， 从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式） （4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。 对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通 常用二维角标 进行表示，其中 代表行， 代表列。例如： 表示第 行第 列。在题目 中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数 的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前 行共含有的项的个数，从而确 定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。 f D D x D                        0 1 2 1, , , n nf x x f x f x f x f f x f x f f x             nf x  f x n    nf x n    nf x ija i j 34a 3 4 n - 2 - （二）类比推理： 1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对 象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比） 2、常见的类比类型及处理方法： （1）运算的类比：通常是运算级数相对应： ① 加法 乘法， ② 数乘（系数与项的乘法） 指数幂 ③ 减法 除法 （2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配 律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 ①在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则： 代 数 中 的 平 方 差 公 式 ： ， 和 差 完 全 平 方 公 式 ： 均 可 推 广 到 向 量 数 量 积 中 ： ， ②在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二 项式定理） （3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘）， 等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）。所以在某些性质中体现出运算上的 类比。例如：设 为等差数列，公差为 ； 为等比数列，公比为 ，则 ① 递推公式： ② 通项公式： ③ 双项性质： ④ 等间隔取项，在数列 ， 中等间隔的取项： 则 成等差数列 成等比数列 （4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升 高时，涉及的要素也将维度升高，例如：      2 2a b a b a b     2 2 22a b a ab b      2 2 a b a b a b          2 2 2 2a b a a b b           na d  nb q 1 1 n n n n ba a d qb         1 1 11 n n na a n d b b q       m n p q m n p qm n p q a a a a m n p q b b b b              na  nb 1 2 , , ,mk k ka a a  1 2 , , ,mk k kb b b   - 3 - ①位置关系：平面中的线的关系 空间中的面的关系，线所成的角 线面角或二面角， ②度量：线段长度 图形的面积，图形面积 几何体体积，点到线的距离 点到平面距离 ③衍生图形：内切圆 内切球，外接圆 外接球，面对角线 体对角线 （5 ）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标 空间直角坐标系坐标 ，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运算即可完成推广，例如： ① 线段中点坐标公式： 平面：设 ，则 中点 空间：设 ，则 中点 ② 两点间距离公式： 平面：设 ，则 空间：设 ，则 3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向， 猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为 类比的结论 二、典型例题： 例 1：已知 ，定义 ，经 计算 照此规律，则 （ ） A. B. C. D. 思路：由定义可知： 即为 的导函数，通过所给例子的结果可以推断出 ，从而 ，所以 答案：C 例 2：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如 图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个 蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（ ）          ,x y   , ,x y z    1 1 2 2, , ,A x y B x y AB 1 2 1 2,2 2 x x y yM          1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z AB 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2 x x y y z zM           1 1 2 2, , ,A x y B x y    2 2 1 2 1 2AB x x y y       1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z      2 2 2 1 2 1 2 1 2AB x x y y z z        x xf x e            ' '' 1 2 1 1, , , n nf x f x f x f x f x f x              1 2 3 1 2 3, , , ,x x x x x xf x f x f xe e e        2015 1f  2015 2015 2014 e 2014 e  nf x  1nf x    1 n n x x nf x e    2015 2015 x xf x e   2015 20141f e - 4 - A. B. C. D. 思路：从所给图中可发现第 个图可以视为在前一个图的基础上，外面围上一个正六边形，且 这个正六边形的每条边有 个小正方形，设第 个图的蜂巢总数为 ，则可知 比 多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。即 （每条边 个，其中顶点被计算了两次， 所以要减 ），所以有 ，联想到数列中用到的累加法，从而由 ，且 则 。代入 可得 答案：C 例 3：将正整数排成数阵（如图所示），则数表中的数字 出现在（ ） A. 第 44 行第 78 列 B. 第 45 行第 78 列 C. 第 44 行第 77 列 D. 第 45 行第 77 列 思路：从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数，即 第 行最后一个数为 ，所以考虑离 较近的完全平方数： ，所 以 位于第 行，因为 是第 44 行的最后一个数，所以 为第 45 行中第 个数，即位于第 45 行第 78 列 答案：B 例 4：已知结论：“在 中，各边和它所对角的正弦比相等，即 ”， 若把该结论推广到空间，则结论为：“在三棱锥 中，侧棱 与平面 ，平面 所成的角为 ，则有（ ） A. B. C. D. 思路：本题为维度推广题，平面中的线段所成的夹角推广为线面角，所以可将正弦定理的边 长（一维度量）类比推广为面积（二维度量），正弦定理中为角所对的边长，则在三棱锥中推 广为线面角所对的侧面面积，即 所对的侧面为平面 ， 所对的侧面为平面 ，所 61 90 91 127 n n n  f n  f n  1f n  6 6n  n 6      1 6 1f n f n n            21 6 1 2 1 3 3f n f n n n n             1 1f    23 3 1f n n n   6n    26 3 6 3 6 1 91f       2014 k 2k 2014 2 244 1936,45 2025  2014 45 1936 2014  2014 1936 78  ABC sin sin sin a b c A B C  A BCD AB ACD BCD ,  sin sin BC AD   sin sin AD BC   sin sin BCD ACDS S    sin sin ACD BCDS S     BCD  ACD - 5 - 以猜测 ，再考虑证明其正确性。证明过程如下： 证明：分别过 作平面 ，平面 的垂线，垂足分别为 由线面角的定义可知： 同理： 得证 答案：C 例 5：三角形的面积 ，其中 为其边长， 为内切圆半径，利用类比 法可以得出四面体的体积为（ ） A. （其中 分别为四个面的面积， 为内切球的 半径） B. （ 为底面面积， 为四面体的高） C. （其中 分别为四个面的面积， 为内切球的 半径） D. （ 为底面边长， 为四面体的高） 思路：本题为维度题，在三角形中，面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中，内切 圆类比成内切球，边长类比为面积。所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关，即在 A，C 中挑选。考虑在三角形中，可通过连接内心与各顶点，将三角形分割为三个小三角形， 底边为各边边长，高均为半径 ，所以面积 ，其中系数 来源于三角形 面积公式。进而类比到四面体中，可通过连接内切球的球心与各顶点，将四面体分割为 4 个 小四面体，以各面为底面，内切球半径为高。从而 。系数 来源 于棱锥体积公式 答案：C sin sin BCD ACDS S    ,B A ACD BCD ,E F ,BAE ABF     1 1 sin3 3B ACD ACD ACDV S BE S AB          1 1 sin3 3A BCD BCD BCDV S AE S AB          1 1sin sin sin sin3 3ACD BCD ACD BCDS AB S AB S S                  sin sin BCD ACDS S      1 2S a b c r    , ,a b c r  1 2 3 4 1 2V S S S S r     1 2 3 4S S S S   r 1 3V S h  S h  1 2 3 4 1 3V S S S S r     1 2 3 4S S S S   r  1 3V ab bc ac h    , ,a b c h r  1 2S a b c r    1 2  1 2 3 4 1 3V S S S S r     1 3 - 6 - 例 6：若数列 是等比数列，且 ，则数列 也是等比数列. 若数列 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 思路：考虑在等比数列中，很多性质为应用二三级运算（乘除法，乘方开方），到了等差数列 中，很多性质可类比为一二级运算（加减，数乘）。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方， 所以可联想到类比等差数列，乘法运算对应类比为加法，开方运算对应类比为除法。所以该 性质为：若数列 是等差数列，则 是等差数列。这个命题是正确的， 证明如下： 证明：设等差数列 的公差为 ，则 为等差数列 为公差是 的等差数列 答案：B 例 7 ：对于大于 1 的自然数 的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”： ， ， ，…，仿此，若 的“分裂数”中有一个是 ，则 的值是（ ） A. B. C. D.  na 0na   1 2 n n nb a a a n N      na 1 2 n n a a ab n    1 2 n n a a ab n     1 2 n n nb a a a   1 2 nnn a a ab n      na 1 2 n n a a ab n      na d 1 2 1 1 2 1 1 n n n n n a a a a a a ab b n n                     1 2 1 1 21 1 n n nn a a a a n a a a n n                         1 1 2 1 1 1 1 1 1 n n n n n nna a a a a a a a a a n n n n                  na    1 1 , 1,2, ,n ia a n i d i n                  1 1 1 1 2 2 1 1 1 2n n n ndnd n d d d n db b n n n n n n                  nb 2 d m 32 =3 5 33 7 9 11   34 13 15 17 19    3m 61 m 6 7 8 9 - 7 - 思路：观察这几个等式不难发现以下特征：（1） 可分解为 个连续奇数的和，（2）从 开始这些奇数是按 顺次排列的。所以在第 个数时，所用的奇数的总数为 个。从 3 开始算起， 是第 个奇数。当 ，可知所用的奇数总数为 个，当 ，可知所用的奇数总数为 个。所以 答案：C 例 8：从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动， 使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为 （ ） A. B. C. D. 思路：当三角形在移动时，观察其规律，内部的数如果设第一行的数为 ，则第二行的 数为 ，其和为 ，第三行的数为 ， 其和为 ，所以这九个数的和为 ，代入到各 个选项中看能否算出 即可。通过计算可得： 时， 符合题意 答案：C 例 9：某种游戏中，黑，白两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 的顶点 出发，沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是 ，白“电子狗”爬行的路线是 ，它们都遵循如下规则： 所爬行的第 段与第 段所在直线必须是异面直线（其中 ），设黑“电子狗”爬完 2012 段，白“电子狗”爬完 2011 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白“电子狗”间 的距离是_____________ 思路：首先根据题目中所给规则，观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”所 3n n 32 3,5,7,9, n   2 12 3 2 n nn      61 61 3 1 302    7n  27 8n  35 8m  2097 2112 2012 2090 a N  7, 8, 9a a a    3 8a  14, 15, 16, 17, 18a a a a a      5 16a     3 8 5 16 9 104S a a a a       a 9 104 2012a   212a  1 1 1 1ABCD A B C D A 1 1 1AA A D  1AB BB  2i  i i N  A1 A B1 B C C1 D D1 D1 D C1 C B B1 A A1 - 8 - 走的路线为 ，然后周而复始，以 6 为周期；白“电 子狗”所走的路线为 ，也是以 6 为周期。从而由 周期性的规律可得： ，则黑电子狗到达 ； ，所以白 电子狗到达 ，所以只需计算 即可，由正方体性质可知 答案： 例 10：把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵，设 是位于这个三角形数中从上往下数第 行，从左往 右数第 列的数，如 若 ，则 ( ) A. 111 B. 110 C. 108 D. 105 思路：观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数，偶数行均为偶数。所以可知 一 定在奇数行中，先确定 的值，因为奇数构成首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以第 个奇 数 ，因为 ，所以可得 为第 个奇数，考虑 前面的奇数共占了多少行。由第 行由 个奇数可得：前 个奇数行内奇数共有 ，前 个奇数行内奇数共有 ，而 ，所以 在第 个奇数行中，即 ，再考虑 的值，第 31 个奇 数行最后一个奇数为 ，因为 ，所以 为第 32 个奇数 行的第 47 个数，即 ，从而 答案：C 1 1 1 1 1 1AA A D D C C C CB BA     1 1 1 1 1 1AB BB B C C D D D DA     2012 6 335 2   1D 2011 6 335 1   B 1BD 1 3BD  3  ,ija i j N  i j 32 5,a  2015ija  i j  2015ija  i k  1 1 2ka k     2005 1 2 1008 1   2015 1008 2015 i i 31  31 31 131 1 9612     31  32 32 132 1 10242     961 1008 1024  2015 32 63i  j 961 2 1 1921   2015 1921 472   2015 47j  110i j 