2018年湖北省荆州市高考一模试卷数学文

2018年湖北省荆州市高考一模试卷数学文

2018 年湖北省荆州市高考一模试卷数学文 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项正确，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1.已知集合 A={x| 1 x x  ≥0，x∈R}，B={y|y=3x2+1，x∈R}.则 A∩B=( ) A.∅ B.(1，+∞) C.[1，+∞) D.(-∞，0)∪(1，+∞) 解析：∵集合 A={x| ≥0，x∈R}={x|x≤0 或 x＞1}，B={y|y=3x2+1，x∈R}={y|y≥1}. ∴A∩B={x|y＞1}=(1，+∞). 答案：B 2.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( ) A.y=ex B.y=tanx C.y=x3-x D.y=ln 2 2 x x   解析：函数 y=ex，不是奇函数，不满足题意； 函数 y=tanx 是奇函数，但在定义域内图象是不连续的，不是增函数，不满足题意； 函数 y=x3-x 是奇函数，当 x∈( 33 33  ， )时，y′=3x2-1＜0 为减函数，不满足题意； 函数 y=ln 是奇函数，在定义域(-2，2)上内函数 241 22 xt xx      为增函数， 外函数 y=lnt 也为增函数，故函数 y=ln 2 2 x x   在定义域内为增函数，满足题意. 答案：D 3.已知角α 的终边经过点 P(-5，-12)，则 sin( 3 2  +α )的值等于( ) A.- 5 13 B.-12 13 C. D.12 13 解析：∵角α 的终边经过点 P(-5，-12)，则 3 5 5sin cos . 2 1325 144            答案：C 4.若 a=20.5，b=logπ 3，c=log2sin 2 5  ，则( ) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 解析：0＜sin 2 5  ＜1，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0. 答案：A 5.在等差数列{an}中，若 a3+a4+a5=3，a8=8，则 a12 的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64 解析：设等差数列{an}的公差为 d，∵a3+a4+a5=3，a8=8， ∴3a4=3，即 a1+3d=1，a1+7d=8， 联立解得 a1= 17 4  ，d= 7 4 ，则 a12= 17 7 44 ×11=15. 答案：A 6.函数 f(x)= 6 x -log2x 的零点所在区间是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(3，4) D.(4，+∞) 解析：∵连续减函数 f(x)= 6 x -log2x，∴f(3)=2-log23＞0，f(4)= 6 4 -log24＜0， ∴函数 f(x)= 6 x -log2x 的零点所在的区间是(3，4). 答案：C 7.将函数 y=sin(2x+φ )的图象向右平移 1 4 个周期后，所得图象关于 y 轴对称，则φ 的最小 正值是( ) A. 2  B.π C. 3 2  D.2π 解析：函数 y=sin(2x+φ )的图象向右平移 1 4 个周期后， 得到：y=sin[2(x- 4  )+φ ]=sin(2x- 2  +φ )，得到的函数的图象关于 y 轴对称， 则：φ - 22 k(k∈Z)，解得：φ =kπ +π (k∈Z)，当 k=0 时，φ =π . 答案：B 8.若 )os( 1c 43  ，α ∈(0， 2  )，则 sinα 的值为( ) A. 42 6  B. 4+ 2 6 C. 7 18 D. 2 3 解析：∵ ，α ∈(0， )，可得：sinα ＞0， ∴ 2 2 1cos sin 2 2 3 ，可得：cosα = 2 3 +sinα ， 又∵sin2α +cos2α =1，可得：sin2α +( +sinα )2=1，整理可得：2sin2α + 2 2 7sin 39   =0，∴解得： 4 2 4+ 2sin 66  ， 或 (舍去). 答案：A 9.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，且 a1，a3，a7 为等比数列{bn}的连续三项，则 34 45 bb bb   的值为( ) A. 1 2 B.4 C.2 D. 2 解析：数列{an}是公差 d 不为 0 的等差数列，且 a1，a3，a7 为等比数列{bn}的连续三项， ∴a3 2=a1·a7，可得(a1+2d)2=a1(a1+6d)，化为：a1=2d≠0. ∴公比 3 1 11 2 4 2 2 a addq a a d     ．则 34 45 11 2 bb b b q    ． 答案：A 10.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a= 22，cosA= 3 4 ，sinB=2sinC， 则△ABC 的面积是( ) A. 7 B. 7 4 C.16 5 D. 8 5 解析：∵a= ，cosA= 3 4 ，sinB=2sinC， 可得：b=2c. 2 7sin 1 cos 4 AA   ， ∴由 a2=b2+c2-2bccosA，可得：8=4c2+c2-3c2，解得 c=2，b=4. ∴S△ABC= 1 1 7sin 2 4 7 2 2 4 bc A      ． 答案：A 11.数 f(x)=   1 1 x x e xe   (其中 e 为自然对数的底数)的图象大致为( ) A. B. C. D. 解析：f(-x)=       1 1 1 1 1 1 x x x x x x e e e x e x e x e        =f(x)， ∴f(x)是偶函数，故 f(x)图形关于 y 轴对称，排除 B，D； 又 x→0 时，ex+1→2，x(ex-1)→0，∴   1 1 x xx e e   →+∞，排除 C. 答案：A 12.若函数 f(x)=mlnx+x2-mx 在区间(0，+∞)内单调递增.则实数 m 的取值范围为( ) A.[0，8] B.(0，8] C.(-∞，0]∪[8，+∞) D.(-∞，0)∪(8，+∞) 解析：f′(x)= 222m x mx mxm xx    ， 若 f(x)在(0，+∞)递增， 则 2x2-mx+m≥0 在(0，+∞)恒成立， 即 m(x-1)≤2x2 在(0，+∞)递增， ①x∈(0，1)时，只需 m≥ 22 1 x x  ， 在(0，1)恒成立，令 p(x)= ，x∈(0，1)， 则 p′(x)=         2 22 4 1 2 2 2 11 x x x x x xx      ＜0， 故 p(x)在(0，1)递减，x→0 时，p(x)→0，x→1 时，p(x)→-∞， 故 p(x)＜0，m≥0； ②x=1 时，m≥0， ③x∈(1，+∞)时，只需 m≤ ， 在(1，+∞)恒成立， 令 q(x)= ，x∈(1，+∞)， 则 q′(x)=         2 22 4 1 2 2 2 11 x x x x x xx      ， 令 q′(x)＞0，解得：x＞2，令 q′(x)＜0，解得：x＜2， 故 q(x)在(1，2)递减，在(2，+∞)递增， 故 q(x)的最小值是 q(2)=8，故 m≤8， 综上，m∈[0，8]. 答案：A 二、填空题.每题 5 分，满分 20 分， 13.曲线 C：f(x)=sinx+ex+2 在 x=0 处的切线方程为 . 解析：∵f(x)=sinx+ex+2，∴f(x)′=cosx+ex， ∴曲线 f(x)=sinx+ex+2 在点 P(0，3)处的切线的斜率为：k=cos0+e0=2， ∴曲线 f(x)=sinx+ex+2 在点 P(0，3)处的切线的方程为：y=2x+3，. 答案：y=2x+3. 14.函数 f(x)=x3-x2+2 在(0，+∞)上的最小值为 . 解析：函数 f(x)=x3-x2+2 在(0，+∞)， 可得 f′(x)=3x2-2x，令 3x2-2x=0，可得 x=0 或 x= 2 3 ，当 x∈(0， )时，f′(x)＜0，函数 是减函数；x∈( 2 3 ，+∞)时，f′(x)＞0，函数是增函数，所以 x= 2 3 是函数的极小值也最小 值，所以 f(x)min= 32 2 2 502 3 3 27              . 答案： 50 27 15.已知实数 x、y 满足 2 1 0 2 10 xy x xy          ， ， ， 则 z=2x-2y-1 的最小值是 . 解析：约束条件 作出可行域如图， 联立 10 2 1 0 xy xy          ， ， 解得 A( 12 33 ， )， 化目标函数 z=2x-2y-1 为 y= 1 22 zx ， 由图可知，当直线 y= 1 22 zx 过点( 12 33 ， )时 z 取得最小值， 把点的坐标代入目标函数得 z= 5 . 3  答案： 5 3  16.已知等比数列{an}的公比不为-1，设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，S12=7S4，则 8 4 S S = . 解析：设等比数列{an}的公比为 q，q≠±1， ∵S12=7S4，∴    12 4 1111 71 1 a q a q q      ，化为：q8+q4-6=0，q4=2.则 =1+q4=3. 答案：3 三、解答题：共 70 分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=2 3 sinxcosx+2sin2x. (1)若 f(x)=0，x∈( 2  ，π )，求 x 的值； (2)将函数 f(x)的图象向左平移 3  个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 (纵坐标不变)，得到函数 g(x)的图象，若曲线 y=h(x)与 y=g(x)的图象关于直线 x= 4  对称， 求函数 h(x)在( 2 63  ， ]上的值域. 解析：利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积. (1)由 f(x)=0，x∈( 2  ，π )，求解三角方程可得 x 的值； (2)由函数图象的平移和伸缩变换可得 y=g(x)，由对称性得到 y=h(x)，结合 x 的范围求得函 数 h(x)在( ]上的值域. 答案：   22 3 sin cos 2 sin 3 sin 2 1 cos 2 2 si ()n 2 1 6 f x x x x x x x         ． (1) 由 f(x)=0 ，得 12 sin 2 1 0 si( n 2 2 2 2 ) 6 ) 6 ( 66 x x x k               ， ， ，或 522 66 xk    ，k∈Z. 又∵x∈( 2  ，π )，∴x= 3  或 0 或 2 3  ； (2) 将函数 f(x) 的 图 象 向 左 平 移 3  个 单 位 ， 可 得 函 数 图 象 的 解 析 式 为 2 sin 2 1 2 sin 2 1 2 cos 2 1 3 6 2 [ ( ) ] ( )y x x x           ，再将图象上所有点的横坐标 伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 g(x)=2cosx+1， 又曲线 y=h(x)与 y=g(x)的图象关于直线 x=π 4 对称，∴h(x)=g( 2  -x)=2sinx+1， ∵x∈( ]，∴sinx∈(- 1 2 ，1]. 故函数 h(x)的值域为(0，3]. 18.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b= 3 . (1)若 C= 5 6  ，△ABC 的面积为 3 2 ，求 c； (2)若 B= 3  ，求 2c-a 的取值范围. 解析：(1)根据面积公式计算 a，再利用余弦定理计算 c； (2)用正弦定理得出 2a-c 关于 C 的三角函数，利用 C 的范围得出 2a-c 的范围. 答案：(1)由三角形面积公式， 13sin 22 ab C  ， 因为 C= 5 3 6 b ， ，所以 a=2. 由余弦定理， 222 cos 13c a b ab C    ． (2)由正弦定理 3 2 sin sin sin 3 ac AC    ， 所以 a=2sinA，c=2sinC. 因为 B= 3  ，所以 2 sin 3 cos s n 3 ) i(a C C C    ． 于是 2 3 sin 3 cos 2 3 sin( 6 )c a C C C      ． 因为 20 3 6 2 ( ) ( ) 6 CC      ， ， ， ， 所以 ()1sin 1 62 ()C    ， . 故 2c-a 的取值范围为( 3 2 3 ， ). 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn+n=2an(n∈N*). (1)证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若 bn=nan+n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求满足不等式 2nT n  ＞2018 的 n 的最小值. 解析：(1)当 n=1 时，求得 a1=1.当 n≥2 时，Sn-1+n-1=2an-1，与原递推式联立得：an+1=2an-2an-1， 即 an=2an-1+1，可得 an+1=2(an-1+1)，得到数列{an+1}为以 2 为首项，2 为公比的等比数列，由 此可得数列{an}的通项公式； (2)bn=nan+n=n(2n-1)+n=n·2n，然后利用错位相减法求数列{bn}的前 n 项和为 Tn，代入 2nT n  ＞2018，可得 1 2 nn n   ＞1009，设 1 2 n n nc n ，可知数列{cn}为递增数列，结合 c10＜1009， c11＞1009 得答案. 答案：(1)当 n=1 时，a1+1=2a1，∴a1=1. ∵Sn+n=2an，n∈N*， ∴当 n≥2 时，Sn-1+n-1=2an-1， 两式相减得：an+1=2an-2an-1，即 an=2an-1+1，∴an+1=2(an-1+1)， ∴数列{an+1}为以 2 为首项，2 为公比的等比数列， ∴an+1=2n，则 an=2n-1，n∈N*； (2)∵bn=nan+n=n(2n-1)+n=n·2n， ∴Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n， ∴2Tn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1， 两式相减得：-Tn=21+22+23+…+2n-n·2n+1， ∴Tn=(n-1)·2n+1+2， 由 ＞2018，得 1 2 nn n   ＞1009， 设 2 1 2 1122nn n n n nnc c c n n n       ， ＞0，∴数列{cn}为递增数列， ∵ 10 11 10 11 9 102 1009 2 1009 10 11 cc   ＜ ， ＞ ， ∴满足不等式 2nT n  ＞2018 的 n 的最小值为 11. 20.已知函数 f(x)=-x2+ax-lnx(a∈R). (1)若函数 f(x)是单调递减函数，求实数 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)在区间(0，3)上既有极大值又有极小值，求实数 a 的取值范围. 解析：(1)求出导函数，通过 f′(x)≤0 对(0，+∞)恒成立，分离变量推出 a，利用基本不 等式求解函数的最小值，得到 a 的范围. (2)通过函数 f(x)在(0，3)上既有极大值又有极小值.说明导函数由两个零点，列出不等式 组求解即可. 答案：(1)f′(x)=-2x+a- 21 2 1x ax xx    (x＞0)， ∵函数 f(x)是单调递减函数， ∴f′(x)≤0 对(0，+∞)恒成立， ∴-2x2+ax-1≤0 对(0，+∞)恒成立，即 a≤2x+ 1 x ， 对(0，+∞)恒成立， ∵2x+ 112 2 2 2x xx    (当且仅当 2x= 1 x ，即 x= 2 2 时取等号)，∴a≤ 22. (2)∵函数 f(x)在(0，3)上既有极大值又有极小值. ∴f′(x)= 221x ax x    =0 在(0，3)上有两个相异实根， 即 2x2-ax+1=0 在(0，3)上有两个相异实根， g(x)=2x2-ax+1，则     0 03 4 00 30 a g g        ＞ ， ＜ ＜ ， ＞ ， ＞ ， 得 2 2 2 2 0 12 19 3 aa a a         ＜ 或 ＞ ， ＜ ＜ ， ＜ ， 即 2 19 23 a＜ ＜ ． 21.已知函数 f(x)=alnx-x2+ 1 2 a(a∈R). (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)在定义域内恒有 f(x)≤0，求实数 a 的取值范围. 解析：(1)求出导函数通过 a 与 0 的大小比较，判断导函数的符号，然后求解单调性. (2)通过 a 与哦的大小，分类讨论函数的最值，推出结果即可. 答案：(1)f′(x)= 222 2 a a xx x  ， 当 a≤0 时，f′(x)＜0，则 f(x)在(0，+∞)上递减； 当 a＞0 时，令 f′(x)=0，得 x= 2 a (负根舍去). 当 f′(x)＞0 得，0＜x＜ ；令 f′(x)＜0，得 x＞ ， ∴f(x)在(0， )上递增，在( ，+∞)上递减. (2)当 a=0 时，f(x)=-x2＜0，符合题意. 当 a＞0 时，   max ln ln 0 2 2 2 2 2 a a a a af x f a a         ， ∵a＞0，∴ln 2 a ≤0，∴0＜ ≤1，∴0＜a≤2. 当 a＜0 时，f(x)=alnx-x2+ 1 2 a 在(0，+∞)上递减， 且 y=alnx 与 y=x2- a 的图象在(0，+∞)上只有一个交点，设此交点为(x0，y0)， 则当 x∈(0，x0)时，f(x)＞0，故当 a＜0 时，不满足 f(x)≤0. 综上，a 的取值范围[0，2]. 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 sin cos sin cos x y      (α 为参数). (1)求曲线 C 的普通方程； (2)在以 O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 方程为 ()12 sin 0 42    ， 已知直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求|AB|. 解析：(1)直接把参数方程转化为直角坐标方程. (2)首先把极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离和垂径定理求出结 果. 答案：(1)曲线 C 的参数方程为 (α 为参数). 由已知 sinα = 2 xy ，cosα = 2 xy ，整理得：普通方程为 22 22 x y x y           =1，化简 得 x2+y2=2. (2)由 2ρ sin 1) 42 ( =0， 知ρ (cosθ -sinθ )+12=0，化为普通方程为 x-y+ 1 2 =0， 圆心到直线 l 的距离 h= 2 4 ， 由垂径定理|AB|= 30 2 ． 23.已知函数 f(x)=|x-a|，不等式 f(x)≤3 的解集为[-6，0]. (1)求实数 a 的值； (2)若 f(x)+f(x+5)≥2m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围. 解析：(1)去掉绝对值，求出 x 的范围，根据不等式的解集，得到对应关系，求出 a 的值即 可； (2)根据绝对值的性质求出 f(x)+f(x+5)的最小值，得到关于 m 的不等式，解出即可. 答案：(1)由 f(x)≤3，得|x-a|≤3，∴a-3≤x≤a+3， 又 f(x)≤3 的解集为[-6，0]，解得：a=-3； (2)∵f(x)+f(x+5)=|x+3|+|x+8|≥5. 又 f(x)+f(x+5)≥2m 对一切实数 x 恒成立，∴2m≤5，m≤ 5 2 .