2018-2019学年福建省永春县第一中学高二下学期期初考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年福建省永春县第一中学高二下学期期初考试数学（理）试题 Word版

永春一中高二年（下）期初考数学（理）科试卷 （2019.02）‎ 命题：颜泂沛 审核:林一丁 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I卷和第II卷两部分 第I卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”‎ B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件 C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题 D．“tan x＝1”是“x＝”的充分不必要条件 ‎3. 抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 已知命题：若，则；命题：若，则．‎ 则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. “双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．空间四边形中，点在上，且，点为的中点．若，，，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 = 1 所表示的曲线不可能是（ ）‎ A．直线 B．圆 C．椭圆或双曲线 D．抛物线 ‎ ‎8．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别 是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（ ）‎ A．和AC、MN都垂直 B．垂直于AC，但不垂直于MN C．垂直于MN，但不垂直于AC D．与AC、MN都不垂直 ‎9．已知△的内角所对的边分别为.若，，，则等于（ ）‎ A． B． C．或 D． 或 ‎10. 已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上．若，则△的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知分别为椭圆的左，右焦点．若为椭圆上的一点，且△的内切圆的周长等于，则满足条件的点的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．4 ‎ ‎12．数列满足，，且，则的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上。‎ ‎13. 双曲线的离心率为________ ．‎ ‎14．图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面m，‎ 水面宽m．水位上升m后，水面宽________ m．‎ ‎15．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别 在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，‎ AC＝6，BD＝8，则CD的长为 ． ‎ ‎16．已知椭圆 E： 的左、右焦点为，点 P 是椭圆E 上一点，设d 是从椭圆中心到过点 P 的切线l 的距离．则|P|·|P|· = _____________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分为12分）‎ 已知数列的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若从数列中依次取出第2项、第4项、第8项，，按原来顺序组成一个新数列，且这个数列的前的表达式．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知分别为三个内角的对边，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）当且的面积最大时，求的值.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在正方体中，分别是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求与所成角的余弦值；‎ ‎ （Ⅱ）求证：平面.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎ （Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，点是的中点. ‎ ‎（Ⅰ）若四边形是平行四边形，求点的轨迹方程；‎ ‎ （Ⅱ）求的取值范围. ‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ），，，求证：．‎ 永春一中高二数学（理）期末试卷 参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A C D ‎ C A B D A D B C B 二、填空题 ‎13. 14． 15． 16． ‎ ‎16．法一：利用特殊值易得|P|·|P|· = 。‎ 法二：‎ 三、解答题 ‎ ‎17．解：（Ⅰ）∵‎ ‎ ‎ ‎= …………………6分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ ‎ …………………12分 ‎18．解 ‎（Ⅰ）由正弦定理：，‎ ‎，得，‎ ‎，，‎ 又，∴.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴，当且仅当时等号成立.‎ ‎∴，∴.‎ ‎19.解：不妨设正方体的棱长为1，‎ 以为单位正交基底建立空间直角坐标系，‎ 如图所示．则，，，，. ‎ ‎（Ⅰ）解：，，，，‎ ‎.‎ 所以.‎ 因此，与所成角的余弦值是.‎ ‎（Ⅱ）证明：方法一：取的中点，连接，则，.‎ 所以，即，‎ 又平面，平面，因此平面.‎ 方法二：，，，‎ ‎，即与，共面，又平面，因此平面.‎ 方法三：，，‎ 设是平面的一个法向量，则，，‎ ‎，，令，得，，.‎ 又，‎ 故，所以.‎ 又平面，因此平面.‎ ‎20．（Ⅰ）证明：分别取，的中点，，连接，由，得，‎ 因为侧面底面，侧面底面， 平面，‎ 所以底面.在矩形中，，则两两互相垂直.‎ 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 则，，，‎ 设（），‎ 所以，，‎ 所以，‎ 因此，得．‎ ‎（Ⅱ）解法一：，，．‎ 设是平面的一个法向量，则，，‎ ‎，，令，得，，．‎ 又，‎ ‎．‎ 因为与平面所成的角为，所以，‎ ‎，．，，，‎ 设是平面的一个法向量，则，，‎ ‎，，令，得，，．‎ ‎，，‎ 设是平面的一个法向量，则，，‎ ‎，，令，得，，．‎ 所以．‎ 因此，二面角的余弦值为. ‎ 解法二：作，垂足为，连接，如图所示．‎ 设，则，，‎ ‎，‎ ‎，即， ‎ 又，所以平面，‎ 为在平面上的射影，‎ 故是与平面所成的角，，‎ 由，得，‎ 在△中，，则，，‎ ‎△为等边三角形，因此．‎ 作，垂足为，连接.‎ 在△中，，，，，‎ 故，，，，，‎ ‎，‎ ‎，，故为二面角的平面角，，‎ ‎.‎ 因此，二面角的余弦值为.‎ ‎21． 解法一：（Ⅰ）设直线的方程为， ‎ 由消去整理得，‎ ‎，，‎ 设，，则，，‎ ‎，‎ 四边形是平行四边形，，‎ 设，则，，‎ ‎，消去整理得 ‎，由，得，‎ 故点的轨迹方程为（）.‎ ‎（Ⅱ）不妨设，‎ ‎.‎ 设，‎ ‎.‎ 由，得，即的取值范围为.‎ 解法二：（Ⅰ）设，，，则，‎ ‎，，‎ ‎，，.‎ 由四点共线，得，，.‎ 又在椭圆内，，，，.‎ 故点的轨迹方程为（）.‎ ‎（Ⅱ）同解法一．‎ ‎22．解：（Ⅰ）不等式可化为．‎ 当时，，解得，所以；‎ 当时，，所以；‎ 当时，，解得，所以．‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ），，‎ 因为，，‎ 所以 ‎，‎ ‎，‎ 故．‎