2018届二轮复习（文科）专题五第1讲 直线与圆学案（全国通用）
第 1 讲 直线与圆
高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系
是本讲 高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、
直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.
真 题 感 悟
1.(2016·全国Ⅱ卷)圆 x 2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离
为 1，则 a＝( )
A.－4
3 B.－3
4
C. 3 D.2
解析 圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为
(1，4).
由题意得 d＝|a＋4－1|
a2＋1
＝1，解得 a＝－4
3.
答案 A
2.(2016·山东卷)已知圆 M：x 2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线 x＋y＝0 所得线段的长
度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
解析 圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为 x2＋(y－a)2＝a2，
由题 意，d＝ a
2
，所以有 a2＝a2
2
＋2，解得 a＝2.
所以圆 M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆
相交.
答案 B
3.(2016·全国Ⅰ卷)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，
若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为________.
解析 圆 C 的标准方程为 x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为 C(0，a)，点 C 到直线 y＝
x＋2a 的距离为 d＝|0－a＋2a|
2
＝|a|
2
.又由|AB|＝2 3，得(2 3
2 )2
＋(|a|
2 )2
＝a2＋2，
解得 a2＝2，所以圆 C 的面积为 π(a2＋2)＝4π.
答案 4π
4.(2017·天津卷)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为
圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________.
解析 由题意知该圆的半径为 1，设圆心 C(－1，a)(a>0)，则 A(0，a).
又 F(1，0)，所以AC
→
＝(－1，0)，AF
→
＝(1，－a).
由题意知AC
→
与AF
→
的夹角为 120°，得 cos 120°＝ －1
1 × 1＋a2
＝－1
2
，解得 a＝ 3.
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1.
答案 (x＋1)2＋(y－ 3)2＝1
考 点 整 合
1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－
1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.
2.两个距离公式
(1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝|C1－C2|
A2＋B2.
(2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2 .
3.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为 r.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为(－D
2
，－E
2)，
半径为 r＝ D2＋E2－4F
2 .
4.直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：d
r⇔相离.
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 Δ 来讨
论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.
热点一 直线的方程
【例 1】 (1)设 a∈R，则“a＝－2”是直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋
1)y＋4＝0 平行的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2017·山东省实验中学二模)过点 P(2，3)的直线 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于
A，B 两点，O 为坐标原点，则 S△OAB 的最小值为________.
解析 (1)当 a＝－2 时，l1：－2x＋2y－1＝0，l2：x－y＋4＝0，显然 l1∥l2.
当 l1∥l2 时，由 a(a＋1)＝2 且 a＋1≠－8 得 a＝1 或 a＝－2，
所以 a＝－2 是 l1∥l2 的充分不必要条件.
(2)依题意，设直线 l 的方程为x
a
＋y
b
＝1(a>0，b>0).
∵点 P(2，3)在直线 l 上.
∴2
a
＋3
b
＝1，则 ab＝3a＋2b≥2 6ab，
故 ab≥24，当且仅当 3a＝2b(即 a＝4，b＝6)时取等号.
因此 S△AOB＝1
2ab≥12，即 S△A OB 的最小值为 12.
答案 (1)A (2)12
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－A2B1＝0 建立方程求出
参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考
虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练 1】 (1)(2017·贵阳质检)已知直线 l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝
0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知 l1，l2 是分别经过 A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当 l1，l2 间
的距离最大时，则直线 l1 的方程是________.
解析 (1)“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝0⇔m＝1 或 m＝2”，因此“m
＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.
(2)当直线 AB 与 l1，l2 垂直时，l1，l2 间的距离最大.
∵A(1，1)，B(0，－1)，∴kAB＝－1－1
0－1
＝2.
∴两平行直线的斜率 k＝－1
2.
∴直线 l1 的方程是 y－1＝－1
2(x－1)，即 x＋2y－3＝0.
答案 (1)A (2)x＋2y－3＝0
热点二 圆的方程
【例 2－1】 (1)(2016·天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)
在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为4 5
5
，则圆 C 的方程为________.
(2)(2015·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆 x2
16
＋y2
4
＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半
轴上，则该圆的标准方程为________.
解析 (1)∵圆 C 的圆心在 x 的正半轴上，设 C(a，0)，且 a>0.
则圆心 C 到直线 2x－y＝0 的距离 d＝|2a－0|
5
＝4 5
5
，解得 a＝2.
∴圆 C 的半径 r＝|CM|＝ （2－0）2＋（0－ 5）2＝3，因此圆 C 的方程为(x－2)2
＋y2＝9.
(2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在 x
轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).
设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2，
则有{m2＋4＝r2，
（4－m）2＝r2，解得{m＝3
2
，
r2＝25
4
，
所以圆的标准方程为(x－3
2)2
＋y2＝25
4 .
答案 (1)(x－2)2＋y2＝9 (2)(x－3
2)2
＋y2＝25
4
探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，
进而写出方程.
2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的
标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；
(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件
列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值.
温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
【训练 2】 (1)(2017·河南部分重点中学联考)圆心在直线 x＝2 上的圆与 y 轴交
于两点 A(0，－4)，B(0，－2)，则该圆的标准方程为________________.
(2)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦的
长为 2 3，则圆 C 的标准方程为________.
解析 (1)易知圆心的纵坐标为－4＋（－2）
2
＝－3，所以圆心坐标为(2，－3).
则半径 r＝ （2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝ 5，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
(2)设圆心(a，a
2)(a>0)，半径为 a.
由勾股定理得( 3)2＋(a
2 )2
＝a2，解得 a＝2.
所以圆心为(2，1)，半径为 2，
所以圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案 (1)(x－2)2＋(y＋3)2＝5 (2)(x－2)2＋(y－1)2＝4.
热点三 直线与圆的位置关系
命题角度 1 圆的切线问题
【例 3－1】 (2017·郑州调研)在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A(1，0)为圆心且
与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
________.
解析 直线 mx－y－2m－1＝0 恒过定点 P(2，－1)，当 AP 与直线 mx－y－2m－
1＝0 垂直，即点 P(2，－1)为切点时，圆的半径最大，
∴半径最大的圆的半径 r＝ （1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案 (x－1)2＋y2＝2
命题角度 2 圆的弦长相关计算
【例 3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 y＝x2＋mx－2 与 x 轴
交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0，1).当 m 变化时，解答下列问题：
(1)能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由；
(2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.
(1)解 不能出现 AC⊥BC 的情况，理由如下：
设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2 满足方程 x2＋mx－2＝0，
所以 x1x2＝－2.
又 C 的坐标为(0，1)，
故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为－1
x1 ·
－1
x2
＝－1
2
，
所以不能出现 AC⊥BC 的情况.
(2)证明 BC 的中点坐标为(x2
2
，1
2)，可得 BC 的中垂线方程为 y－1
2
＝x2(x－x2
2).
由(1)可得 x1＋x2＝－m，
所以 AB 的中垂线方程为 x＝－m
2.
联立{x＝－m
2
， ①
y－1
2
＝x2(x－x2
2)， ②
又 x22＋mx2－2＝0，③
由①②③解得 x＝－m
2
，y＝－1
2.
所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为(－m
2
，－1
2)，半径 r＝ m2＋9
2 .
故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r2－(m
2 )2
＝3，
即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.
探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题
几何化，利用数形结合思想解题.
2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及
半弦长l
2
，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.
【训练 3】 (1)(2017·泉州质检)过点 P(－3，1)，Q(a，0)的光线经 x 轴反射后与
圆 x2＋y2＝1 相切，则 a 的值为______.
(2)(2016·全国Ⅲ卷) 已知直线 l：x－ 3y＋6＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，
过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，则|CD|＝________.
解析 (1)点 P(－3，1)关于 x 轴的对称点为 P′(－3，－1)，
所以直线 P′Q 的方程为 x－(a＋3)y－a＝0.
依题意，直线 P′Q 与圆 x2＋y2＝1 相切.
∴ |－a|
12＋（a＋3）2
＝1，解得 a＝－5
3.
(2)由圆 x2＋y2＝12 知圆心 O(0，0)，半径 r＝2 3，
∴圆心(0，0)到直线 x－ 3y＋6＝0 的距离 d＝ 6
1＋3
＝3，|AB|＝2 12－32＝2 3.
过 C 作 CE⊥BD 于 E.
如图所示，则|CE|＝|AB|＝2 3.
∵直线 l 的方程为 x－ 3y＋6＝0，
∴直线 l 的倾斜角∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°，因此|CD|＝ |CE|
sin 60°
＝ 2 3
sin 60°
＝
4.
答案 (1)－5
3
(2)4
1.解决直线方程问题应注意：[来源:Z+xx+k.Com]
(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴
垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
(2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.
(3)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－A2B1＝0 建立方程求出参数的值后，
要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
2.求圆的方程两种主要方法：
(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出
圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，
进而求出圆的方程.
3.直线与圆相关问题的两个关键点
(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线
的距离公式 d＝|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2
，弦长公式|AB|＝2 r2－d2(弦心距 d).
4.直线(圆)与圆的位置关系的解题思路
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形 结合，充分利用圆的几何
性质寻找解题途径，减少运算量.研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线
的距离与半径的比较来实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半
径差与和的比较.
(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半
径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解
切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算.
一、选择题
1.(2017·昆明诊断)已知命题 p：“m＝－1”，命题 q：“直线 x－y＝0 与直线 x＋
m2y＝0 互相垂直”，则命题 p 是命题 q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
解析 “直线 x－y＝0 与直线 x＋m2y＝0 互相垂直”的充要条件是 1×1＋
(－1)·m2＝0⇔m＝±1.
∴命题 p 是命题 q 的充分不必要条件.
答案 A
2.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
解析 依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2 上，且为切点.
∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为1
2
，所以切线的斜率 k＝－2.
故圆的切线方程为 y－1＝－2(x－3)，即 2x＋y－7＝0.
答案 B
3.(2017·济南调研)若直线 x－y＋m＝0 被圆(x－1)2＋y2＝5 截得的弦长为 2 3，则
m 的值为( )
A.1 B.－3
C.1 或－3 D.2
解析 ∵圆(x－1)2＋y2＝5 的圆心 C(1，0)，半径 r＝ 5.
又直线 x－y＋m＝0 被圆截得的弦长为 2 3.
∴圆心 C 到直线的距离 d＝ r2－（ 3）2＝ 2，
因此 |1－0＋m|
12＋（－1）2
＝ 2，∴m＝1 或 m＝－3.
答案 C
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点 A(1，0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆的
圆心到原点的距离为( )
A.5
3 B. 21
3
C.2 5
3 D.4
3
解析 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴{1＋D＋F＝0，
3＋ 3E＋F＝0，
7＋2D＋ 3E＋F＝0，
∴{D＝－2，
E＝－4 3
3
，
F＝1，
∴△ABC 外接圆的圆心为(1，2 3
3 )，
因此圆心到原点的距离 d＝ 12＋(2 3
3 )2
＝ 21
3 .
答案 B
5.(2017·衡水中学模拟)已知圆 C：(x－1)2＋y2＝25，则过点 P(2，－1)的圆 C 的所
有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A.10 31 B.9 21
C.10 23 D.9 11
解析 易知最长弦为圆的直径 10，
又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝ 2，
∴最短弦的长为 2 r2－|PC|2＝2 25－2＝2 23，
故所求四边形的面积 S＝1
2
×10×2 23＝10 23.
答案 C
二、填空题
6.(2017·广安调研)过点(1，1)的直线 l 与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9 相交于 A，B 两点，
当|AB|＝4 时，直线 l 的方程为________.
解析 易知点(1，1)在圆内，且直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 y－1＝k(x
－1)，即 kx－y＋1－k＝0.
又|AB|＝4，r＝3，
∴圆心(2，3)到 l 的距离 d＝ 32－22＝ 5.
因此 |k－2|
k2＋（－1）2
＝ 5，解得 k＝－1
2.
∴直线 l 的方程为 x＋2y－3＝0.
答案 x＋2y－3＝0
7.(2017·北京卷)已知点 P 在圆 x2＋y2＝1 上，点 A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，
则AO
→
·AP
→
的最大值为________.
解析 法一 由题意知，AO
→
＝(2，0)，令 P(cos α，sin α)，则AP
→
＝(cos α＋2，
sin α).
AO
→
·AP
→
＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO
→
·AP
→
的最大值为 6.
法二 由题意知，AO
→
＝(2，0)，令 P(x，y)，－1≤x≤1，
则AO
→
·AP
→
＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故AO
→
·AP
→
的最大值为 6.
答案 6
8.(2017·菏泽二模)已知圆 C 的方程是 x 2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线 l：y＝a(x－3)
被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l 方程为________.
解析 圆 C 的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，
∴圆 C 的圆心 C(4，1)，半径 r＝3.
又直线 l：y＝a(x－3)过定点 P(3，0)，
则当直线 y＝a(x－3)与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短.
因此 a·kCP＝a·1－0
4－3
＝－1，∴a＝－1.
故所求直线 l 的方程为 y＝－(x－3)，即 x＋y－3＝0.
答案 x＋y－3＝0
三、解答题
9.已知点 A(3，3)，B(5，2)到直线 l 的距离相等，且直线 l 经过两直线 l1：3x－y－
1＝0 和 l2：x＋y－3＝0 的交点，求直线 l 的方程.
解 解方程组{3x－y－1＝0，
x＋y－3＝0， 得交点 P(1，2).
①若点 A，B 在直线 l 的同侧，则 l∥AB.
而 kAB＝3－2
3－5
＝－1
2
，
由点斜式得直线 l 的方程为 y－2＝－1
2(x－1)，
即 x＋2y－5＝0.
②若点 A，B 分别在直线 l 的异侧，则直线 l 经过线段 AB 的中点(4，5
2)，
由两点式得直线 l 的方程为y－2
x－1
＝
5
2
－2
4－1
，
即 x－6y＋11＝0.
综上所述，直线 l 的方程为
x＋2y－5＝0 或 x－6y＋11＝0.
10.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2
＝1 交于 M，N 两点.
(1)求 k 的取值范围；
(2)若OM
→
·ON
→
＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y＝kx＋1，
因为 l 与 C 交于两点，所以|2k－3＋1|
1＋k2 <1.
解得4－ 7
3
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