2013-2017高考数学分类汇编-第2章 函数-2 函数的基本性质（理科）

2013-2017高考数学分类汇编-第2章 函数-2 函数的基本性质（理科）

第二节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性 题型15 函数的奇偶性 ‎1. (2013浙江理4） 已知函数，则“是函数”是 的 ( )‎ A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎2.（2013山东理3）已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）. ‎ A. B. C. D.‎ ‎3．(2013广东理2）定义域为的四个函数，，，中，奇函数的个数是（ ）. ‎ A． B． C． D．‎ ‎4. （2014 新课标1理 3 ）设函数,的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）.‎ A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是奇函数 D. 是奇函数 ‎5.（2015安徽理2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎5.解析 对于选项A，是偶函数，且由得，，‎ 故A正确；对于选项B，是奇函数，故B错误；‎ 对于选项C，的定义域为，故不具备奇偶性，故C错误；‎ 对于选项D，是偶函数，但在实数范围内无解，即不存在零点，故D错误．故选A．‎ ‎6.（2015福建理2）下列函数为奇函数的是（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.解析 函数是非奇非偶函数；和是偶函数；‎ 是奇函数．故选D．‎ ‎7.（2015广东理3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）.‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7. 解析 令，则，，即，‎ ‎，所以既不是奇函数也不是偶函数，而A,B,C依次是偶函数、奇函数、偶函数．故选D．‎ ‎8.（2015全国I理13）若函数为偶函数，则 . ‎ ‎8.解析 由题意可知函数是奇函数，所以 ‎，即 ，解得．‎ ‎9.（2016全国丙理15）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______________.‎ ‎9. 解析 解法一：先求函数在上的解析式，再求切线方程.‎ 设，则，又，所以，‎ ‎，所以在点处的切线方程为，即.‎ 解法二：由函数性质来求切线方程.因为为偶函数，所以若在点处的切线方程为，则在点处的切线方程为.因此，先求出在点处的切线方程.‎ 又，得，所以在点处的切线方程为，‎ 所以在点处的切线方程为，即.‎ 题型16 函数的单调性 ‎1.（2014 天津理4）函数的单调递增区间是（　　）.‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.（2014 北京理 2）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎3. （2014 陕西理 7）下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2014 大纲理22）（本小题满分12分）函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，求证：.‎ ‎5.（2015湖南理5）设函数，则是（ ）.‎ A.奇函数，且在上是增函数 B.奇函数，且在上是减函数 C.偶函数，且在上是增函数 D.偶函数，且在上是减函数 ‎5. 解析 由已知的定义域为，关于原点对称. ‎ 又因为，所以为奇函数.‎ ‎，当时，，即在上为增函数.故选A.‎ ‎6.(2015四川理9)如果函数在区间 上单调递减，那么的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 解析 当时，抛物线的对称轴为；‎ 当时，，即.‎ 因为，所以.‎ 由且，得；‎ 当时，抛物线开口向下，根据题意可得，，即.‎ 因为，所以.‎ 由且，得，故应舍去.‎ 要使得取得最大值，应有.‎ 所以.所以最大值为.故选B.‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.（2015北京理5）已知，且，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎7. C 解析 选项A错误：因为；‎ 选项B错误：三角函数在上不是单调的，所以不一定有. ‎ 举反例如，当时，；‎ 选项C正确：由指数函数是减函数，可得 ‎；‎ 选项D错误：举一个反例如，，.满足，但.‎ 故选C.‎ ‎8.（2016上海理22）已知，函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；‎ ‎（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围.‎ ‎8. 解析 （1）由题意，即，整理得，‎ 即，‎ 故不等式的解为；‎ ‎（2）依题意，所以， ①‎ 整理得，即， ②‎ 当时，方程②的解为，代入①式，成立；当时，方程②的解为，代入①式，成立；‎ 当且时，方程②的解为或，‎ 若为方程①的解，则，即，若为方程①的解，则，即.‎ 要使得方程①有且仅有一个解，则或，即.‎ 综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或.‎ ‎（3）当时，，，‎ 所以在上单调递减.因此在上单调递减.故只需满足，‎ 即，所以，‎ 即，设，则，.‎ 当时， ；当时，，又函数在递减，‎ 所以.故.故的取值范围为.‎ 评注 第（3）问还可从二次函数的角度考查，由整理得对任意成立.因为，函数的对称轴，故函数在区间上单调递增.所以当时，有最小值，由，得.故的取值范围为.‎ ‎9.（2017山东理15）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .‎ ‎ ① ② ③ ④‎ ‎9.解析 ①在上单调递增，故具有性质；‎ ②在上单调递减，故不具有性质；‎ ③，令，则，‎ 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；‎ ④.令，‎ 则，所以在上单调递增，故具有性质．‎ 综上所述，具有性质的函数的序号为①④.‎ 题型17 函数的奇偶性和单调性的综合 ‎1.（2014 新课标2 理 15）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是 .‎ ‎2.（2014 北京理18）（本小题13分）已知函数，‎ （1） 求证：；‎ （2） 若在上恒成立，求的最大值与的最小值.‎ ‎3.（2014 广东理 21）设函数，其中.‎ ‎（1）求函数的定义域；（用区间表示）;‎ ‎（2）讨论在区间上的单调性.‎ ‎4.（2014 福建理7）已知函数则下列结论正确的是（ ）.‎ A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域为 ‎5.（2014 湖北理10）已知函数是定义在上的奇函数，‎ 当时，.若，则实数的取值范围为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎6.（2014 湖南理3）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.（2014 湖南理10）已知函数与图像上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.（17江苏11）已知函数， 其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎8.解析 易知的定义域为.‎ 因为，‎ 所以是奇函数．‎ 又，且不恒成立，所以在上单调递增．‎ 因为，所以，于是，即，解得．故填．‎ ‎9.（2017天津理6）已知奇函数在R上是增函数，.若，‎ ‎，，则a，b，c的大小关系为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎9.解析 因为奇函数在上增函数，所以当时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数.，，‎ 又，则，所以，‎ 于是，即.故选C.‎ ‎10.(2017北京理5)已知函数，则（ ）.‎ A.是奇函数，且在上是增函数 B.是偶函数，且在上是增函数 C.是奇函数，且在上是减函数 D.是偶函数，且在上是减函数 ‎10.解析 由题知，，所以为奇函数.又因为是增函数，也是增函数，所以在上是增函数.‎ 故选A.‎ ‎11.（2017全国1理5）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.解析 因为为奇函数，所以，于是等价于 ‎，又在单调递减，所以，所以.‎ 故选D.‎ 题型18 函数的周期性 ‎1.（2014 安徽理 6）设函数满足.当时，，则（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2014 四川理 12）设是定义在上的周期为的函数，当时，，则 .‎ ‎3.（2016浙江理5）设函数，则的最小正周期（ ）.‎ A.与有关，且与有关 B.与有关，但与无关 ‎ C.与无关，且与无关 D.与无关，但与有关 ‎3.B 解析 由，的最小正周期为，的最小正周期为.‎ 当时，，此时的最小正周期是；‎ 当时，此时的最小正周期为，所以影响的最小正周期，‎ 而为常数项不影响的最小正周期.故选B. ‎ ‎4.（2016江苏11）设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其中，若，则的值是 .‎ ‎4. 解析 由题意得，.‎ 由，可得，则.‎ ‎5.（2017江苏14）设是定义在且周期为的函数，在区间上，‎ ‎．其中集合，则方程的解的个数是 ．‎ ‎5.解析 由题意，所以只需要研究内的根的情况．‎ 在此范围内，且时，设，且互质，‎ 若，则由，可设，且互质.‎ 从而，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，于是不可能与内的部分对应相等，‎ 所以只需要考虑与每个周期内部分的交点.‎ 如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除外，其它交点均为的部分．‎ 且当时，，所以在附近只有一个交点，‎ 因而方程解的个数为个．故填．‎ 题型18 函数性质的综合 ‎1．（2013四川理10）设函数（，为自然对数的底数）．若曲线上存在 使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.（2014 四川理 15）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.现有如下命题：‎ ‎①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；‎ ‎②函数的充要条件是有最大值和最小值；‎ ‎③若函数，的定义域相同，且，，则；‎ ‎④若函数有最大值，则.‎ 其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）‎ ‎3.（2014 湖北理6）若函数满足，则称为区间上的一组正交函数，给出三组函数：‎ ‎①；②；‎ ‎③,其中为区间的正交函数的组数是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎4．（2014 四川理 9）已知，.现有下列命题：‎ ‎①；②；③.其中的所有正确命题的序号是（ ）.‎ A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②‎ ‎5.（2014 山东理 15）已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是.‎ ‎6.（2015湖北理6）已知符号函数 是上的增函数，‎ ‎，则（ ）．‎ ‎ A． 　 B．‎ ‎ C． D．‎ ‎6.解析 是上的增函数，当时，‎ 若；‎ 若，则 ，从而；‎ 若，则 ，从而.故选B.‎ ‎7.（2016山东理9）已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎7. D 解析 由知，当时， 的周期为，所以.‎ 又当时，，所以.‎ 于是.故选D.‎ ‎8.（2016全国乙理12）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎8.B 解析 依题意，可得，，且，即.‎ 故，，即，.当时，.又，因此在上不单调.当时，，且.‎ 又，因此在上单调，则的最大值为9.故选B.‎ ‎9.（2016天津理13）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.‎ 若实数满足，则的取值范围是______.‎ ‎9. 解析 由题意得.故选C.‎ ‎10.（2016天津理15）已知函数.‎ ‎（1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间上的单调性.‎ ‎10.解析 （1）的定义域为.‎ ‎.‎ 所以的最小正周期.‎ ‎（2）令，函数的单调递增区间是.‎ 由，得，.‎ 设，，易知.‎ 又，所以当时， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减.‎