2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业

2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 集合，故 故选:A ‎ 点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍 ‎2．若集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的基本运算进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，‎ 则A∩B={0，1}，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎3．设命题甲为“0＜x＜3”，命题乙为“|x1|＜2“，那么甲是乙的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简命题乙，再利用充分必要条件判断出命题甲和乙的关系．‎ ‎【详解】‎ 命题乙为“|x1|＜2，‎ 解得1＜x＜3．‎ 又命题甲为“0＜x＜3”，‎ 因为 ‎ 那么甲是乙的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎4．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法表示集合，然后用集合交集的定义求出.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，因此有 ‎，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的交集运算.用列举法表示集合是解题的关键.‎ ‎5．已知全集，，，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的定义与运算法则，判断选项中的命题是否正确即可．‎ ‎【详解】‎ 由题知集合与集合互相没有包含关系，故A错误；‎ 又，故B错误；‎ ‎，故C错误；‎ ‎，故D正确，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的定义与集合间的相互关系问题，重点考查了集合的交并补的运算，是基础题．‎ ‎6．“”是“成等比数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：先说明必要性，由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；再说明充分性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．‎ 解答：若a、b、c成等比数列，‎ 根据等比数列的性质可得：b2=ac，‎ ‎∴“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的必要条件；‎ 若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，‎ ‎∴“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的非充分条件．‎ ‎∴“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件．‎ 故选B 点评：本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断．解题的关键应用a，b，c成等比数列时，一定要考虑a，b，c都等于0的特殊情况．‎ ‎7．设集合，集合，则等于 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得集合A,B，然后求解其交集即可.‎ ‎【详解】‎ 求解函数的值域可得，‎ 求解指数不等式可得，‎ 由交集的定义可得：，表示为区间形式即.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．已知集合，，且M，N都是全集I的子集，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可知阴影部分表示集合为，根据交集和补集运算定义即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 图中阴影部分表示的集合为：‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算中的交集和补集运算，关键是能够通过图准确判断出所求集合所表示的含义.‎ 二、填空题 ‎9．已知函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，‎ 所以lg a＝－lg b，，‎ 则，‎ ‎(当且仅当，即时，等号成立)．‎ 综上可得：的最小值为.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎10．若A、B、C为‎△ABC的三个内角，则‎4‎A‎+‎‎1‎B+C的最小值为______________。‎ ‎【答案】‎‎9‎π ‎【解析】‎ ‎4‎A‎+‎1‎B+C=‎4‎A+‎1‎π−A=‎1‎π[A+(π−A)](‎4‎A+‎1‎π−A)‎ ‎=‎1‎π[5+‎4(π−A)‎A+Aπ−A]≥‎‎9‎π ‎11．已知a=‎0.3‎‎2‎,b=‎2‎‎0.3‎,c=log‎0.3‎2‎，则这三个数从小到大排列为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：,故这三个数从小到大排列为c,a,b.‎ 考点：指数函数和对数函数的运算性质.‎ ‎12．已知，则＝___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合的交集定义计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由，可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.‎ ‎13．写出命题：“若，则或”的否命题________‎ ‎【答案】若a+b≥3，则a≥1且b≥2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件、结论都否定，“或”改成“且”即可.‎ ‎【详解】‎ ‎“若，则或”的否命题为“若，则且”.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查原命题改写成否命题，注意条件、结论都要否定，若有联结词“或”（ “且”），要改写成“且”（“或”），属于基础题.‎ ‎14．设约束条件组成的集合为，对于里任意点都在斜率为2的两条平行线之间，则这两条平行线间的距离的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：作出约束条件所表示的平面区域，根据图象得到，当斜率为的直线过点 时，两平行线之间的距离最小，即可求解最小值．‎ 详解：由题意，作出约束条件所表示的平面区域，‎ 如图所示，‎ 对于里任意点都在斜率为的两条平行线方程为，‎ 当直线过点和时，解得和，‎ 此时直线和之间的距离最小，‎ 其最小值为．‎ 点睛：本题考查了线性规划的应用，线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题．‎ ‎15．若不等式：的解集为空集，则实数的取值范围是______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 当时，不等式化为，它的解集为空集，符合要求；当时，因为关于的不等式的解集为空集，即所对应函数图象均在轴上方，故须 ‎，综上满足要求的实数的取值范围是，故答案为.‎ 点睛：本题是对二次函数的图象所在位置的考查．其中涉及到对二次项系数的讨论，在作题过程中，只要二次项系数含参数，就要分情况讨论，这也是本题的一个易错点；先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为空集转化为所对应图象均在轴上方，列出满足的条件即可求实数的取值范围.‎ 三、解答题 ‎16．某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元．‎ ‎（1）问第几年开始获利？‎ ‎（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船．问：哪一种方案合算？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）第4年开始获利；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设第n年开始获利，获利为y万元，利用数列列出n年的总费用为获利为利用二次函数的性质求解即可．‎ 求出方案一的总收益，方案二的总收益，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 设第n年开始获利，获利为y万元，‎ 由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ 故n年的总费用为．‎ 获利为 由即解得 ‎，时，即第4年开始获利．‎ 方案一：n年内年平均获利为．‎ 由于，当且仅当时取“”号．‎ 万元．‎ 即前9年年平均收益最大，此时总收益为万元 方案二：总纯收入获利．‎ 当时，取最大值144，此时总收益为 两种方案获利相等，但方案一中，所需的时间短，‎ 方案一较合算．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的实际应用，数列的应用，函数的性质，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎17．的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由于是边的齐次式，用正弦定理化角做，得，再统一成角A,B做。（2）由（1）及写角B的余弦定理，得，由均值不等式可求的最大值。‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得．‎ ‎∵，∴．‎ 化简，得．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎（Ⅱ）由已知及余弦定理，得．‎ 即．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴，当且仅当时，取等号．‎ ‎∴的最大值为．‎ ‎18．(本题满分14分)设为函数两个不同零点.‎ ‎（Ⅰ）若，且对任意,都有，求；‎ ‎（Ⅱ）若，则关于的方程是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若，，且当时，的最大值为，求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，其范围为；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由得函数关于对称，从而，再将代入方程得，联立解方程组，由此得 ；（Ⅱ）首先应考虑去掉绝对值.因为，所以时的根必然大于0，故只需考虑时的情况.当时方程可化为：，即.用求根公式可求出这个方程的负根：‎ ‎.令，则，在上单调递增，所以，显然当无限增大时，无限趋近于0，所以，由此可得 ‎；（Ⅲ），因为，所以，由重要不等式可得，又因为，所以，显然在单调递增，所以.‎ 试题解析：（Ⅰ）由得函数关于对称，则 又 解得 ‎ ‎（Ⅱ）由知只需考虑时的情况 当时可化为 所以关于的方程存在唯一负实根 令，则， ‎ 在上单调递增，‎ 则.‎ ‎（Ⅲ）‎ 等号成立条件为 ‎ 所以 ‎ 因为 考点：函数、方程及不等式.‎ ‎19．已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图像与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】[，1)∪(，＋∞)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出当命题p，q为真命题时的取值范围，由p∨q真，p∧q假可得p与q一真一假，由此可得关于的不等式组，解不等式组可得结论．‎ ‎【详解】‎ 当命题p为真，即函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减时，‎ 可得．‎ 当命题q为真，即函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图像与x轴交于不同的两点，‎ 可得，‎ 解得，‎ 又，‎ 所以当q为真命题时，有．‎ ‎∵p∨q为真，p∧q为假，‎ ‎∴p与q一真一假．‎ ‎①若p真q假，则 ，解得；‎ ‎②若p假q真，则 ，解得．‎ 综上可得或．‎ ‎∴实数a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．‎ ‎【点睛】‎ 根据命题的真假求参数的取值范围的步骤：‎ ‎(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；‎ ‎(2)判断命题p，q的真假性；‎ ‎(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分12分）如果不等式的解集为，．‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出；（2）是的充分条件， ，即，列出不等式组解得即可．‎ 试题解析：解：（1）不等式的解集为 是方程的两个根，‎ 由韦达定理得， ‎ 实数的值分别为 ‎ ‎（2）是的充分条件，‎ ‎，即是的子集，‎ 即 ， ‎ 解得． ‎ 所以实数的取值范围为．‎ 考点：充分必要条件的判断．‎ ‎21．设，g(x)=|x|+|6-x|，令F(x)=f(x)+g(x)，若关于a的方程F(a‎2‎+a-1)=F(2a-m)‎有且仅有四个不等实根，则m的取值范围为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题可得然后得到分析其函数图像得到函数关于直线x=3对称，且在上为定值，将问题转化为函数零点问题进行分析解决.‎ 关于对称，且在上为定值，故方程等价于或或，‎ 对于，解得，若解集是一个区间，则不符题意；若解集为离散的点，则满足，且，这含在前两种情况中.于是只需，各有两根，且交集为空.‎ ‎，，‎ 又为空集，得到，从而.‎ 当，的根相等时，得到 故所求范围为 考点：分段函数的图像和性质、函数的零点 ‎22．不等式mx‎2‎+2m+1‎x+9m+4<0‎的解集为R，求实数m的取值范围 ‎【答案】‎m<−‎‎1‎‎2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 就m=0‎和m≠0‎分类讨论即可.‎ ‎【详解】‎ 因为mx‎2‎+‎2m+2‎x+9m+4<0‎恒成立，‎ ‎（1）当m=0‎，‎2x+4<0‎不恒成立；‎ ‎（2）当m≠0‎，m<0‎Δ=4m+1‎‎2‎−36m‎2‎−16m<0‎ ，‎ 解得m<−‎‎1‎‎2‎.‎ ‎【点睛】‎ 含参数的一元二次不等式在R上的恒成立问题，应结合二次项系数的符号、判别式的正负来讨论.‎ ‎23．已知命题p:方程表示焦点在轴上的椭圆，命题q：函数在上单调递减。若为真，为假，求m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出p，q为真时m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 当命题p为真时，，解得 当命题q为真时，函数在上单调递减，所以在上恒成立，得，‎ 因为为真，，为假，p，q为一真一假.‎ 当p真q假时，，所以，‎ ‎ 当p假q真时， ，所以 ，‎ 综上所述或，所以实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题的判断，考查椭圆的定义以及函数恒成立问题，是一道中档题．‎