甘肃省武威第六中学2020届高三数学（理）下学期第六次诊断试题（Word版附答案）

甘肃省武威第六中学2020届高三数学（理）下学期第六次诊断试题（Word版附答案）

武威六中 2020 届高三第六次诊断考试 数 学（理） 第Ⅰ卷 (选择题 共 60分) 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合  | 0 2A x x   ， 1 3 | log 2B x x        ，则 A B  ( ) A． | 0x x  B． 1| 0 9 x x      C ．  | 0 2x x  D． 1| 2 9 x x      2．已知复数 z满足  1 2 3 4i z i   ，则 (z  ) A． 5 5 B．1 C． 5 D．5 3．5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了 2019年手机市场 每月出货量以及与 2018年当月同比增长的情况得到如下统计图，根据该图，下列说法 错误的是（ ） A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多 B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C．2019年全年手机市场总出货量低于 2018年全年总出货量 D．2018年 12月的手机出货量低于当年 8月手机出货量 4．已知向量  2,a m   ，  1,2b   ，   112 2 a a b      ，则实数m的值为（ ） A．1 B． 1 2 C． 1 2  D．-1 5．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀 袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物” 的别号.如图是折扇的示意图，M 为ON 的一个靠近点N 的三等分点， 若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概 率是（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 4 9 D． 5 9 6．已知等差数列 na 的公差为 2，前n项和为 nS ，且 1S ， 2S ， 4S 成等比数列.令 1 1 n n n b a a   ， 则数列 nb 的前 50项和 50T （ ） Ａ． 50 51 B． 49 50 C． 100 101 D． 50 101 7．函数    3 1 1 x x ef x x e    （其中 e为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．已知a，b为两条不同直线， ， ， 为三个不同平面，下列命题：①若 //  ， //  ， 则 //  ；②若 //a ， //a  ，则 //  ；③若  ，  ，则  ；④若 a  ， b  ，则 //a b .其中正确命题序号为( ) A. ②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③ 9．设双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，与圆 2 2 2x y a  相切的直线 1PF交双曲线C于点 P（ P在第一象限），且 2 1 2PF FF ，则C的离心率 为（ ）． A. 10 3 B. 5 3 C. 3 2 D. 5 4 10．已知函数    2sin 0, 2 f x x            ，其图象相邻的最高点之间的距离为  ，将函数  y f x 的图象向左平移 12  个单位后得到  g x 的图象，且  g x 为奇函 数，则（ ） A．  f x 的图象关于点 ,0 6       对称 B．  f x 的图象关于点 ,0 6      对称 C．  f x 在 , 6 3       上单调递增 D．  f x 在 2 , 3 6        上单调递增 11．已知三棱锥 A BCD 中，侧面 ABC 底面BCD， ABC 是边长为 3的正三角形， BCD 是直角三角形，且 90BCD  ， 2CD  ，则此三棱锥外接球的体积等于 （ ） A. 4 3 B. 32 3  C. 12 D. 64 3  12．已知M是函数 )(sin832)( Rxxxxf   的所有零点之和，则M的值为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13题～第 21题为必考题，每个试题考生都必 须做答．第 22题～第 23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13．曲线 1( ) exf x x   在 1x  处的切线斜率为_________． 14. 已知抛物线  2: , 0C y mx m R m   过点  14P  , ，则抛物线C的准线方程为 ______. 15．已知下列命题： ①命题“ xxRx 53, 2  ”的否定是“ xxRx 53, 2  ”； ②已知 qp, 为两个命题，若“ qp  ”为假命题，则“ )()( qp  为真命题”； ③在 ABC 中，“ BA  ”是“ sinBsinA  ”的既不充分也不必要条件； ④“若 0xy ，则 0x 且 0y ”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是__________． 16．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层(如图 1 所示)，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围为扇面形石(如图 2所 示).上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层 坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有 9块，从第二环起，每环 的扇面形石块数比前一环多 9块，则第二十七环的扇面形石块数是________；上、中、 下三层坛所有的扇面形石块数是________.（第一空 2分，第二空 3分） 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12分） 在 ABC 中，角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c， sin 3 sinA B= 且b c . （Ⅰ）求角 A的大小； （Ⅱ）若 2 3a  ，角 B的平分线交 AC于点D，求 ABD 的面积. 18．（本小题满分 12分） 如图，四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形， //BC AD， 90BAD  ， 2 2 2AD PD AB BC    ，M 为 PA的中点． （Ⅰ）求证： //BM 平面PCD （Ⅱ）若平面 ABCD 平面PAD，异面直线BC与 PD所成角为 60°，且 PAD△ 是 钝角三角形，求二面角 B PC D  的正弦值 19．（本小题满分 12分） 某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价 x （单位：元/件）及相应月销量 y（单位：万件），并对近 5个月的月销售单价 ix 和月 销售量  1,2,3,4,5iy i  的数据进行了统计，得到如下表数据： 月销售单价 ix （元/件） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量 iy （万件） 11 10 8 6 5 （Ⅰ）建立 y关于 x的回归直线方程； （Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为 7元/件时，其月销售量达到 18 万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝 对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中 得到的回归直线方程是否理想？ （Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是 5元/件，月销售单价 x为何值时（销售单 价不超过 11元/件），公司月利润的预计值最大？ 参考公式：回归直线方程 ˆŷ bx a  ，其中 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        ， ˆâ y bx  ． 参考数据： 5 1 392i i i x y   ， 5 2 1 502.5i i x   ． 20.（本小题满分 12分） 已知椭圆 C： )0(12 2 2 2  ba b y a x 的离心率 2 3 ，且经过点 ），（ 2 31- （Ⅰ）求椭圆 C的方程. （Ⅱ）过点 ）（ 0,3 作直线 l与椭圆 C交于不同的两点 A，B，试问在 x轴上是否存在 定点 Q，使得直线 QA与直线 QB恰关于 x轴对称？若存在，求出点 Q的坐标； 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分 12分） 已知函数 f(x)＝ax－1－ln x(a∈R). （Ⅰ）讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数 f(x)在 x＝1处取得极值，x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数 b的 最大值. 请考生在第 22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时， 用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分 10分）选修 4－4；坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线 C的参数方程为 2 3 4 2 4 x cos y sin          （θ为参数），直线 l 的参数方程为 2 3 3 x m y m       （m为参数），以平面直角坐标系的原点 O为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系． （Ⅰ）求曲线 C的极坐标方程； （Ⅱ）直线 l与曲线 C相交于M，N两点，若  2 3 0P  ， ，求 2 2 1 1 | |PNPM  的值． 23．（本小题满分 10分）选修 4－5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 1 2f x x x    （Ⅰ）求不等式 f(x)>0的解集； （Ⅱ）若关于 x的不等式 2 1 ( 3) 3 5m f x x     有解，求实数 m的取值范围. 武威六中 2020 届高三第六次诊断考试 理科数学答案 一、选择题 1--5 DCDCD 6---10 DDCBC 11---12 BD 二、填空题 13. e 1 14. 1 16 y   15. ② 16.243 3402 三、解答题 17.解：（1）由 sin 3 sinA B= 及正弦定理知 3a b= ， 又b c ， 由余弦定理得 2 2 2 cos 2 b c aA bc    2 2 2 2 3 1 2 2 b b b b      .  0,A  ， 2 3 A   .---------6 分 （2）由（1）知 6 B C    ， 又 2 3a  ，在 ABC 中，由正弦定理知： 2AB  ，在 ABD 中，由正弦定理 sin sin AB AD D ABD   及 12 ABD    ， 4 D    ，解得 3 1AD   ， 故 3 3 2ABDS -= .---------12 分 18.【详解】 （Ⅰ）证明：取 PD的中点 N ，连接 ,CN MN ，因为M 为 PA的中点，则 //MN AD，且 1 2 MN AD ，又 //BC AD，且 1 2 BC AD ，所以 //MN BC， MN BC ，所以四边形 BMNC为平行四边形， 所以 //BM CN，CN  平面 PCD， BM  平面 PCD， 所以 //BM 平面 PCD ……5分 （Ⅱ）由题意可知 //BC AD，所以 ADPÐ 或其补角为异面直线BC与 PD所成角，又 AD PD ， PAD△ 为钝角三角形，所以 120ADP  ，又平面 ABCD 平 面PAD，平面 ABCD平面 PAD AD ， AB AD ，所以 AB 平面 PAD， 以 A为坐标原点， ,AD AB所在直线为 y轴、 z轴建立空间直角坐标系， 则  0,0, 0A ，  0,0,1B ，  0,2,0D ，  0,1,1C ，  3,3,0P ，向量  3, 2,1PC     ，  3, 3,1PB     ， 设平面PBC的法向量为  , ,n x y z  ，由 0 0 n PC n PB         得 3 0 0 z x y      ，令 1x  ，得平面 PBC 的一个法向量为  1,0, 3n   ，同理可得平面 PCD的一个法向量为  1, 3, 3m     ，设 二面角 B PC D  的平面角为，则 2 7cos 72 7 m n m n          ，则 2 42sin 1 cos 7     ，故二面角 B PC D  的正弦值为 42 7 …………12分 19.解（Ⅰ）因为  1 11 10.5 10 9.5 9 10 5 x       ，  1 5 6 8 10 11 8 5 y       ． 所以 2 392 5 10 8ˆ 3.2 502.5 5 10 b         ，所以  ˆ 8 3.2 10 40a      ， 所以 y关于 x的回归直线方程为： 3.2 40ŷ x   ．----------6 分 （Ⅱ）当 7x  时， ˆ 3.2 7 40 17.6y      ，则 17.6 18 0.4 0.5   ， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．…… 8分 （Ⅲ）设销售利润为M ，则    5 3.2 40 5 11M x x x      23.2 56 200M x x    ，所以 8.75x  时，M 取最大值， 所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．…………12 分 20.解：(1)由题意可得 c a ＝ 3 2 ， 1 a2 ＋ 3 4b2 ＝1， 又 a2－b2＝c2，所以 a2＝4，b2＝1. 所以椭圆 C的方程为 x2 4 ＋y2＝1. (2)存在定点 Q 4 3 3 ，0 ，满足直线 QA与直线 QB恰关于 x轴对称. 设直线 l的方程为 x＋my－ 3＝0，与椭圆 C的方程联立得 x＋my－ 3＝0， x2 4 ＋y2＝1， 整理 得(4＋m2)y2－2 3my－1＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点 Q(t，0)(依题意 t≠x1，t≠x2). 由根与系数的关系可得，y1＋y2＝ 2 3m 4＋m2，y1y2＝ －1 4＋m2 . 直线 QA与直线 QB恰关于 x轴对称，则直线 QA与直线 QB的斜率互为相反数， 所以 y1 x1－t ＋ y2 x2－t ＝0，即 y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0. 又 x1＋my1－ 3＝0，x2＋my2－ 3＝0， 所以 y1( 3－my2－t)＋y2( 3－my1－t)＝0，整理得，( 3－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0， 从而可得，( 3－t)·2 3m 4＋m2－2m· －1 4＋m2 ＝0， 即 2m(4－ 3t)＝0， 所以当 t＝4 3 3 ，即 Q 4 3 3 ，0 时，直线 QA与直线 QB恰关于 x轴对称.特别地， 当直线 l为 x轴时，Q 4 3 3 ，0 也符合题意. 综上所述，在 x轴上存在定点 Q 4 3 3 ，0 ，使得直线 QA与直线 QB恰关于 x轴对 称. 21.解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1 x ＝ ax－1 x . 当 a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减. ∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点. 当 a>0时，由 f′(x)<0，得 00，得 x>1 a ， ∴f(x)在 0，1 a 上单调递减，在 1 a ，＋∞ 上单调递增，故 f(x)在 x＝1 a 处有极小值. 综上，当 a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点； 当 a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点. (2)∵函数 f(x)在 x＝1处取得极值， ∴f′(1)＝a－1＝0，则 a＝1，从而 f(x)＝x－1－ln x. 因此 f(x)≥bx－2 1＋1 x － ln x x ≥b， 令 g(x)＝1＋1 x － ln x x ，则 g′(x)＝ln x－2 x2 ， 令 g′(x)＝0，得 x＝e2， 则 g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(e2)＝1－1 e2 ，即 b≤1－1 e2 . 故实数 b的最大值是 1－1 e2 . 22.解（1）曲线C的参数方程为 2 3 4cos ( 2 4sin x y           为参数），转换为直角坐标方程为 2 2( 2 3) ( 2) 16x y    ，整理得 2 2 4 3 4 0x y x y    ，根据 2 2 2 cos sin x y x y            ，转 换为极坐标方程为 2 4 sin 4 3 cos      ，即 4sin 4 3 cos    所以曲线 C的极坐标方程为 4sin 4 3 cos    ． （2）直线 l的参数方程为 2 3 3 x m y m       转换为直线的标准参数式为 12 3 2 ( 3 2 x t t y t        为参数）代入圆的直角坐标方程为 2 2 3 12 0t t   ， 2(2 3) 4 12 60 0      ，设方程 两根为 1 2,t t ，所以 1 2 2 3t t  ， 1 2 12t t   ，所以 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 21 1 1 1 12 24 1 | | | | ( ) 12 4 t t t t PM PN t t t t          ． 23．解：（1），   13, 2 13 1, 2 2 3, 2 x x f x x x x x                 当 3 0x  时，得 3x  ；当 3 1 0x   时，得 12 3 x    ；当 3 0x   时，得 2x   ，综上可得不等式   0f x  的解集为  1, 3, 3         . （2）依题意   min2 1 3 3 5m f x x     ， 令    3 3 5 2 5 2 10g x f x x x x        2 5 2 10 5x x      . ∴ 2 1 5m  ，解得 2m  或 3m   ，即实数m的取值范围是   , 3 2,    .