数学文卷·2018届重庆市杨家坪中学高二上学期第三次月考（2016-12）

数学文卷·2018届重庆市杨家坪中学高二上学期第三次月考（2016-12）

绝密★启用前 杨家坪中学12月(第三次)月考数学（文科）测试题 考试时间：120分钟 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题：的否定为（ ）‎ A． ‎ ‎（第2题图）‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为 A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 ‎3．椭圆的离心率是，则双曲线的渐近线方程是（   ）‎ ‎ A、        B、      C、      D、 ‎ ‎4．函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．直线＋y＋2＝0的倾斜角范围是（ ）‎ A.［，）∪（，］ B.［0，］∪［，π）‎ C.［0，］ D.［，］‎ ‎6．已知直线、,平面，则下列命题中： ‎ ‎①．若，,则 ‎②．若，,则 ‎③．若，,则 ‎④．若，, ,则，其中真命题有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎7．已知F是抛物线的焦点,A,B是该抛物线上的两点,,则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎8．双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为 A． B．2 C． D．‎ ‎9．.函数y=ax3＋bx2取极大值或极小值时的x的值分别为0和,则 A.a－2b=0 B.2a－b=0 C.2a＋b=0 D.a＋2b=0‎ ‎10．若函数在内有极小值，则 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设是双曲线的两个焦点，点在上，且，若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则的值等于（ ）‎ A． B．6 C．14 D．16‎ ‎12．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13．曲线在点（0，1）处的切线方程为 .‎ ‎14．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.‎ ‎15．直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个交点，则实数的b的取值范围是__________‎ ‎16．椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为.若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于__________.‎ 三、解答题 A B C D E F ‎17．（10分）已知四棱锥，其中，，，∥，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积．‎ ‎18．（12分）设的导数为,若函数的图象关于直线对称,且.‎ ‎（1）实数的值；‎ ‎（2）求函数的极值.‎ ‎19．（12分）椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过的直线交椭圆于两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）若直线交轴于，，求直线的方程．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调增区间；‎ ‎（2）若函数在上的最小值为，求实数的值；‎ ‎21.（12分）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面⊥平面，，、分别为、的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：⊥；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右焦点分别为、，由4个点、、和组成一个高为，面积为的等腰梯形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线和椭圆交于、两点，求面积的最大值．‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】‎ 试题分析：命题：的否定为“”；故选B．‎ 考点：全称命题的否定．‎ ‎2．C 考点：三视图 ‎3．A ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于椭圆的离心率是，那么可知 ，那么可知双曲线的渐近线方程 ，故选A.‎ 考点：椭圆的性质，双曲线的性质 点评：解决的关键是根据相同的ab在不同的方程中关系式来推导，属于基础题，也是易错点。‎ ‎4．C ‎【解析】解：因为函数的图象在点处的切线方程是 说明了 ‎，故选C ‎5．B ‎【解析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ=－.又－1≤cosα≤1，‎ ‎∴－≤tanθ≤.∴θ∈［0，］∪［，π）‎ ‎6．B ‎【解析】①正确.②错，因为l可能在平面内.③错，l与m可能平行，也可能异面.‎ ‎④错，没说明m在平面内.‎ ‎7．C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知 ，设，则，，线段的中点到 轴的距离实为中点的横坐标.故选C 考点：抛物线的定义.‎ ‎8．C ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的渐近线为，即，由对称性，取切线方程，由，得，所以，即，所以．故选C．‎ 考点：双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【名师点睛】在解析几何中直线与曲线的位置关系问题是一个重点问题，也是难点．判断位置关系或位置关系的应用，对所有曲线有一个共同的方法：方程组法，即把直线方程与曲线方程联立方程组，方程组的解的个数确定两者之间的位置关系：如果有两解，它们一定相交，如果无解，它们一定相离，如果有一解，对圆、椭圆这类封闭曲线，它们一定是相切，对双曲线或抛物线这类不封闭的曲线，位置关系可能是相切，也可能是相交．‎ ‎9．D ‎【解析】对于可导函数,取得极值点的x的值为导函数方程的根.‎ y′=3ax2＋2bx.‎ 令y′=3ax2＋2bx=0,得x1=0或x2=－.‎ 由条件可知－=,所以a=－2b,即a＋2b=0.‎ ‎10．A ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，由题意在（0,1）上与x轴有交点，故，∴，故选A 考点：本题考查了极值的定义 点评：熟练掌握导数的运算及极值的定义是解决此类问题的关键，属基础题 ‎11．C ‎【解析】‎ 试题分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线 过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为，所以，解得；因为点在双曲线上，且，所以，解得；故选C．‎ 考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．‎ ‎12．B ‎【解析】‎ 试题分析：根据已知条件可构造函数，则为偶函数，由可知可求得导函数，因为当时，，所以，则当时，，所以在区间上有，在区间上有，又，可知的解集应该为，所以本题的正确选项为B.‎ 考点：导函数的运用，函数的奇偶性.‎ ‎【思路点睛】若直接解不等式，因不知道的单调性，所以较难求解，根据条件可构造一个新函数，这样结合为奇函数便可得到的单调区间及零点，从而得到函数值分别为正数与负数的区间，进而便可求得的取值范围．‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ，，切线斜率为，切线方程为，即.‎ 故答案为.‎ 考点：利用导数求切线方程.‎ ‎14．2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的一边长为2，其对应的高为1，‎ 因此所求四棱锥的体积．故答案为2．‎ ‎【考点】三视图、几何体的体积 ‎【名师点睛】①解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎②三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ ‎15．‎ ‎【解析】略 ‎16．.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，则可知直线的倾斜角为，且过点，∴，‎ ‎∴，，∴，故填：.‎ 考点：椭圆的标准方程及其性质．‎ ‎17．（Ⅰ）、（Ⅱ）证明过程详见解析；（Ⅲ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，可知四边形EFBG是矩形，所以得到EF∥BG，从而由直线与平面平行的判定方法得证；（Ⅱ）易证明BG⊥面ADC ，从而由平面与平面垂直的判定方法即可证明；‎ ‎（Ⅲ）由第二问的证明知，将四棱锥分为两个小三棱锥求解比较容易，即．当然直接按照四棱锥的体积公式求解也可．‎ 试题解析：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，‎ A B C D E F G ‎∵F，G分别是AD，AC的中点 ‎∴FG∥CD，且FG=DC=1 ．‎ ‎∵BE∥CD ∴FG与BE平行且相等 ‎∴EF∥BG． ‎ ‎∴∥面 ‎ ‎（2）连结EC，该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC ．‎ ‎．‎ 考点：①直线与平面平行的判定；②平面与平面垂直的判定；③求几何体的体积．‎ ‎18．（1）；（2）的极大值是,极小值是.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先对求导，的导数为二次函数，由对称性可求得，再由即可求出；（2）对求导，分别令大于和小于，即可解出的单调区间，继而确定函数的极值.‎ 试题解析：（1）因,故,从而,即关于直线对称,从而由条件可知,解得,又由于,即解得.‎ ‎（2）由（1）知.‎ 令,得或,‎ 当时, 在上是增函数,当时,在上是减函数,当时, 在 上是增函数,从而在处取到极大值, 在处取到极小值.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质.‎ ‎19．（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得：，利用椭圆的离心率为，可得，从而就可求得的值，故可求得椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）设，利用，可得：，①，由于当直线的斜率不存在或斜率为0时①不成立，于是设的方程为，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理及①可求出值而得到直线的方程．‎ 试题解析：（Ⅰ）设右焦点为，则，，或（舍去）‎ 又离心率为，故，故椭圆的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）设，因为，‎ 所以， ① ‎ 易知当直线的斜率不存在或斜率为0时①不成立，于是设的方程为，‎ 联立消得 ② ‎ 于是 ③ ‎ ‎ ④ ‎ 由①③得，代入④整理得 ‎，于是，此时②的判别式，‎ 于是直线的方程是 ‎ 考点：1、椭圆的标准方程；2、向量在几何中的应用；3．直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【方法点晴】本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行解题．在解析几何题目的解答过程中，代数式的恒等变形能力，计算能力是能顺利解题的基本保障，在此过程中用好韦达定理及已知条件是解决问题的关键．‎ ‎20．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）取AC 中点D，连接SD，DB，证明AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC⊥SB；（2）由VB-CMN=VN-CMB，即可求得三棱锥B-CMN的体积 试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取中点，连结，.‎ ‎∵，∴ . ‎ 又∵是正三角形， ∴. ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴⊥平面 ‎ 又在平面内，∴⊥. ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）∵是的中点，‎ ‎∴‎ ‎∵平面⊥平面，，∴平面.‎ 又∵，，∴，即点到平面的距离为1.‎ ‎∵是的中点，∴点到平面的距离为 ‎ ‎∴ ‎ 考点：直线与平面垂直的性质及棱锥体积 ‎21．【解析】‎ 试题分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值、导数在最大值、最小值问题中的应用等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将代入，得到解析式，利用和判断函数的单调性；第二问，分别讨论、、的情况，结合函数的单调性，得出函数的单调区间，从而求出a的值；第三问，由题意得，令，得到，，得出在递减，从而在递减，得出结论．‎ 试题解析：（1）由题意，的定义域为，且．‎ 时，‎ ‎∴的单调增区间为．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎①若，则，即在上恒成立，在上为增函数，‎ ‎∴，∴（舍去）．‎ ‎②若，则，即在上恒成立，在上为减函数，‎ ‎∴，∴（舍去）．‎ ‎③若，当时，，∴在上为减函数，‎ 当时，，∴在上为增函数，‎ ‎∴，∴‎ 综上所述，．‎ ‎22．（1）（2）取最大值3.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：（1）由条件，得b=，且，‎ 所以a+c=3. 2分 又，解得a=2，c=1. ‎ 所以椭圆的方程. 4分 ‎（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my-1，直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2).‎ 联立方程 ，消去x 得, ，‎ 因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交.‎ ‎ 6分 ‎= 8分 ‎ 10分 令,设,易知时,函数单调递减, 函数单调递增 所以 当t==1即m=0时，‎ 取最大值3. 12分 考点：直线与椭圆的位置关系的运用 点评：解决的关键是根据椭圆的性质来得到其方程，以及根据联立方程组的思想来得到面积的表示，属于基础题。‎