上海市理工大附中2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

上海市理工大附中2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

www.ks5u.com 上海理工大学附属中学2018-2019高一下期末考试卷 一、填空题（本大题10题，每题4分，共40分）‎ ‎1.函数的定义域为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．‎ ‎【详解】对数函数f（x）＝log2（x﹣1）中，‎ x﹣1＞0，‎ 解得x＞1；‎ ‎∴f（x）的定义域为（1，+∞）．‎ 故答案为：（1，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．‎ ‎2.已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据扇形的弧长公式进行求解即可．‎ ‎【详解】∵扇形的圆心角α，半径为r＝5，‎ ‎∴扇形的弧长l＝rα5．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式的计算，熟记弧长公式是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎3.方程的解为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊角的三角函数及正切函数的周期为kπ，即可得到原方程的解．‎ ‎【详解】则 ‎ 故答案为：‎ 点睛】此题考查学生掌握正切函数的图象及周期性，是一道基础题．‎ ‎4.若，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式求解即可 ‎【详解】， ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式，是基础题 ‎5.若角的终边经过点，则___________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据任意角三角函数的定义求解，再利用两角和的正切展开代入求解即可 ‎【详解】由任意角三角函数的定义可得：．‎ 则 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．‎ ‎6.已知函数（，）的部分图像如图所示，则函数解析式为_______.‎ ‎【答案】y＝sin（2x+）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值答案可求 ‎【详解】根据函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的部分图象，‎ 可得A＝1，•，‎ ‎∴ω＝2，‎ 再结合五点法作图可得2•φ＝π，‎ ‎∴φ，则函数解析式为y＝sin（2x+）‎ 故答案为：y＝sin（2x+）．‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值难度中档．‎ ‎7.已知等腰三角形底角的余弦值等于，则这个三角形顶角的正弦值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 已知等腰三角形可知为锐角，利用三角形内角和为，建立底角和顶角之间的关系，再求解三角函数值。‎ ‎【详解】设此三角形的底角为，顶角为，易知为锐角，则，，所以．‎ ‎【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值。‎ ‎8.设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则_______.‎ ‎【答案】99‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 反函数图象过（2，1），等价于原函数的图象过（1，2），代点即可求得．‎ ‎【详解】依题意知：f（x）＝lg （x+a）的图象过（1，2），‎ ‎∴lg （1+a）＝2，解得a＝99．‎ 故答案为：99‎ ‎【点睛】本题考查了反函数，熟记其性质是关键，属基础题．‎ ‎9.下列关于函数与的命题中正确的结论是______.‎ ‎①它们互为反函数；②都是增函数；③都是周期函数；④都是奇函数.‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用反函数，增减性，周期函数，奇偶性判断即可 ‎【详解】①，当时，的反函数是，故错误；‎ ‎②，当时，是增函数，故错误；‎ ‎③，不是周期函数，故错误；‎ ‎④，与都是奇函数，故正确 故答案为：④‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数及其反函数的性质，熟记其基本性质是关键，是基础题 ‎10.已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】0＜a≤或a．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用偶函数的性质，作出函数f（x）的图象，由5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，解得f（x）＝a或f（x），结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的a的情况，即可得到a的范围．‎ ‎【详解】函数是定义域为的偶函数，作出函数f（x）的图象如图：‎ 关于x的方程5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，‎ 解得f（x）＝a或f（x），‎ 当0≤x≤2时，f（x）∈[0，]，x＞2时，f（x）∈（，）．‎ 由，则f（x）有4个实根，‎ 由题意，只要f（x）＝a有2个实根，‎ 则由图象可得当0＜a≤时，f（x）＝a有2个实根，‎ 当a时，f（x）＝a有2个实根．‎ 综上可得：0＜a≤或a．‎ 故答案为：0＜a≤或a．．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．‎ 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）‎ ‎11.“是第二象限角”是“是钝角”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由α是钝角可得α是第二象限角，反之不成立，则答案可求．‎ ‎【详解】若α是钝角，则α是第二象限角；反之，若α是第二象限角，α不一定是钝角，如α＝﹣210°．‎ ‎∴“α是第二象限角”是“α是钝角”的必要非充分条件．‎ 故选：B．‎ 点睛】本题考查钝角、象限角的概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．‎ ‎12.设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数运算的规律一一进行运算可得答案.‎ ‎【详解】解：由a, b,c≠1. 考察对数2个公式: ，,‎ 对选项A: ,显然与第二个公式不符，所以为假.‎ 对选项B: ,显然与第二个公式一致，所以为真.‎ 对选项C: ,显然与第一个公式不符，所以为假.‎ 对选项D: ,同样与第一个公式不符，所以为假.‎ 所以选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数运算的性质，熟练掌握对数运算的各公式是解题的关键.‎ ‎13.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。‎ 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C.‎ 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。‎ ‎14.函数y=sin2x的图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ 三、解答题（本大题共5题，共44分，解答时写出必要的步骤）‎ ‎15.已知集合，，求.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合A，B的意义，求出集合A，B，再根据交集的运算求得结果即可．‎ ‎【详解】对于集合A， ，‎ 对于集合B，当x<1时，故B＝；‎ 故A∩B＝‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了交集的运算，准确计算集合A,B是关键，是基础题．‎ ‎16.（1）已知，，且、都是第二象限角，求的值.‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得cosα，sinβ，再利用两角差的正弦、余弦与正切公式即可求得cos（α﹣β）的值．‎ ‎（2）利用切化弦结合二倍角公式化简即可证明 ‎【详解】（1）∵sinα，cosβ，且α、β都是第二象限的角，‎ ‎∴cosα，sinβ，‎ ‎∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；‎ ‎（2）得证 ‎【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦与正切，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．‎ ‎17.设常数函数 ‎(1)若求函数的反函数 ‎(2)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）时，是偶函数；时，是奇函数；当且时，为非奇非偶函数，理由见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据反函数的定义，即可求出； （2）利用分类讨论的思想，若为偶函数，求出的值，若为奇函数，求出的值，问题得以解决．‎ ‎【详解】解：（1）∵， ∴ ， ， ∴调换的位置可得，．‎ 所以函数的反函数 （2）若为偶函数，则对任意均成立， ‎ ‎，整理可得．‎ 不恒为0，‎ ‎，此时，满足为偶函数； 若为奇函数，则对任意均成立， ，整理可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， 此时，满足条件； 当且时，为非奇非偶函数， 综上所述，时，是偶函数；时，是奇函数；当且时，为非奇非偶函数。‎ ‎【点睛】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．‎ ‎18.如图半圆的直径为4，为直径延长线上一点，且，为半圆周上任一点，以为边作等边（、、按顺时针方向排列）‎ ‎（1）若等边边长为，，试写出关于的函数关系；‎ ‎（2）问为多少时，四边形的面积最大？这个最大面积为多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）θ＝时，四边形OACB 的面积最大，其最大面积为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据余弦定理可求得 ‎（2）先表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．‎ ‎【详解】（1）由余弦定理得 则 ‎ ‎（2）四边形OACB的面积＝△OAB的面积+△ABC的面积 则△ABC的面积 ‎△OAB的面积•OA•OB•sinθ•2•4•sinθ＝4sinθ 四边形OACB的面积4sinθ=‎ sin（θ﹣）‎ ‎∴当θ﹣＝，‎ 即θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理求解面积最值，其中准确列出面积表达式是关键，考查化简求值能力，是中档题 ‎19.若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“和一点”.‎ ‎（1）函数是否有“和一点”？请说明理由；‎ ‎（2）若函数有“和一点”，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：有“和一点”.‎ ‎【答案】（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解方程即可判断；‎ ‎（2）由题转化为2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分离参数a＝2x﹣2求值域即可求解；‎ ‎（3）由题意判断方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．‎ ‎【详解】（1）若函数有“和一点”，则不合题意 故不存在 ‎（2）若函数f（x）＝2x+a+2x有“和一点”.‎ 则方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，‎ 即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，‎ 即a＝2x﹣2有解，‎ 故a＞﹣2；‎ ‎（3）证明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），‎ 即cos（x+1）＝cosx+cos1，‎ 即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，‎ 即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，‎ 故存在θ，‎ 故cos（x+θ）＝cos1，‎ 即cos（x+θ）＝cos1，‎ 即cos（x+θ），‎ ‎∵cos21﹣（2﹣2cos1）‎ ‎＝cos21+2cos1﹣2‎ ‎＜cos22cos22＜0，‎ 故01，‎ 故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，‎ 即f（x）＝cosx函数有“和一点”.‎ ‎【点睛】本题考查了新定义及分类讨论的思想应用，同时考查了三角函数的化简与应用，转化为有解问题是关键，是中档题 ‎ ‎