2018-2019学年江西省重点中学余干中学、上饶县中学高二上学期第一次联考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江西省重点中学余干中学、上饶县中学高二上学期第一次联考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 江西省重点中学余干中学、上饶县中学2018-2019学年高二上学期第一次联考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解二次不等式与对数不等式得集合A,B再利用并集定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由中不等式变形得：，即，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（　　）‎ A．总体 B．个体是每一个零件 C．总体的一个样本 D．样本容量 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题需要分析在一个抽样过程中各部分的名称，分清总体，样本，样本容量和个体，在这个过程中，200个零件的长度是总体的一个样本，一个零件的长度是个体，200是样本容量，所有零件的长度是总体．‎ ‎【详解】‎ 为了了解所加工的一批零件的长度，‎ 抽测了其中200个零件的长度，‎ 在这个过程中，200个零件的长度是总体的一个样本，一个零件的长度是个体，‎ ‎200是样本容量，所有零件的长度是总体，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查总体分布估计，考查总体分布估计中各个部分的名称，比如总体，个体，样本和样本容量，注意分清这几部分的关系．‎ ‎3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(　　)‎ A．10 B．11 C．12 D．16‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由系统抽样的步骤知29号、42号的号码差为13，所以，即另一个同学的学号是16.‎ 考点：系统抽样的步骤.‎ ‎4．已知，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：A、B、C中，若，不等式、、均不成立，故A、B、C错；D中，因为函数是减函数，，所以，故D正确，故选D．‎ 考点：不等式的性质．‎ ‎5．一组数据的平均数是，方差是，若将这组数据中的每一个数据都加上，得到 一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别 （ 　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 若将这组数据中的每一个数据都加上60后，平均数等于原来的平均数加上60，但方差不变.‎ ‎6．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论，结合不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ a=2时，不等式可化为﹣4＜0对任意实数x均成立；‎ a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，等价于，‎ ‎∴﹣2＜a＜2．‎ 综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎7．在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：‎ ‎（1）对任意，；‎ ‎（2）对任意，.‎ 则函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据性质，，‎ 当且仅当，的最小值为3，故答案为B.‎ 考点：合情推理的应用.‎ ‎8．设，满足，则（ ）‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.‎ 考点：线性规划.‎ ‎9．在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用倍角公式可得，解得，可得．利用余弦定理可得：，再利用基本不等式可得，进而得到的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，‎ 化为，解得，‎ ‎∵，∴．‎ 由余弦定理可得，‎ ‎∴，当且仅当时取等号．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 的面积的最大值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了倍角公式、余弦定理、基本不等式和三角形的面积，属于中档题．‎ ‎10．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（　　）‎ A．2017年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 B．与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长 C．去年同期河南省的总量不超过4000亿元 D．2017年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎2017年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，其它选项根据图中数据可一一判断出来.‎ ‎【详解】‎ 由2017年第一季度五省情况图，知：‎ 在A中，2017年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个，故A错误；‎ 在B中，与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长，故B正确；‎ 在C中，去年同期河南省的总量不超过4000亿元，故C正确；‎ 在D中，2017年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省，故D正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，是基础题．‎ ‎11．已知具有线性相关的变量，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为 ，‎ 所以，‎ 因此，选B.‎ ‎12．设数列的通项公式，其前项和为，则（　　）‎ A．2016 B．1680 C．1344 D．1008‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到数列的规律，即可求出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎.‎ 有.‎ 故，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的周期性、数列求和，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．某校为了解高中学生的阅读情况，拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查，已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三学生200人，则应从高一学生抽取的人数为_____．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分层抽样的方法直接求解．‎ ‎【详解】‎ 采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查，‎ 已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三学生200人，‎ 则应从高一学生抽取的人数为：．‎ 故答案为：30．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查样本个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．‎ ‎14．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用余弦定理表示出cosB，即可求出运算结果．‎ ‎【详解】‎ 中，，，‎ 则．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用余弦定理求角的应用问题，是基础题目．‎ ‎15．已知，，，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 代入已知条件，转化为解不等式求最值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵2xy＝x·(2y)≤2，‎ ‎∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2，‎ 即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.‎ ‎∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值、最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．‎ ‎16．如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：‎ 原点处标数字0，记为；点处标数字1，记为；‎ 点处标数字0，记为；点处标数字-1，记为；‎ 点处标数字-2，记为；点处标数字-1，记为；‎ 点处标数字0，记为；点处标数字1，记为；‎ ‎…‎ 以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（， 均为整数），记，则__________．‎ ‎【答案】-249‎ ‎【解析】设坐标为，由归纳推理可知， ，第一圈从点到点共个点，由对称性可得；第二圈从点到共个点由对称性可得，第圈共有个点，这项和也为零，设在第圈，则，可得前圈共有个数， ，‎ ‎， 所在点坐标为，‎ ‎， 所在点坐标为， ， ， ，可得， ，故答案为.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设函数.‎ ‎(1)若不等式的解集为，求的值；‎ ‎(2)若，，，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由不等式f（x）＞‎ ‎0的解集（﹣1，3）．﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；‎ ‎（2）由f（1）=3，得到a+b=2，将所求变形为展开，整理为基本不等式的形式求最小值．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由的解集是知是方程的两根.‎ 由根与系数的关系可得，解得.‎ ‎(2)得，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当时取得等号，‎ ‎∴的最小值是.‎ 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎18．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：‎ x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分 ‎(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，‎ 设中位数为a，‎ 由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5‎ 得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 ‎(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.0125×20×100＝25户，‎ 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，‎ 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，‎ 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×‎ ‎＝5户．-- 12分 考点：频率分布直方图及分层抽样 ‎19．在中，角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若的面积为 ，求的大小.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) 或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由正、余弦定理计算得，讨论当时，当时得(2)由面积公式得，又，代入化简得，从而算出结果 解析：（1）由，可得，又由正、余弦定理得 当时，，即 当时，，又，∴‎ ‎∴，∴，∴‎ 综上，当时，‎ ‎（2） ∵ ，‎ 又，∴，因为，∴‎ 又，∴‎ 当时，；当时，；‎ ‎∴或.‎ ‎20．已知等差数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】（1）设公差为，由已知得解得 所以的通项公式.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎21．某商场为一种跃进商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单位（元）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎（1）按照上述数据，求四归直线方程，其中，；‎ ‎（2）预计在今后的销售中，销量与单位仍然服从（Ⅰ）中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）‎ ‎【答案】（1）；（2）单价定为10元时，商场可获得最大利润.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算平均数，利用，即可求得回归直线方程；‎ ‎（2）设工厂获得的利润为元，利用利润=销售收入-成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于,‎ ‎.‎ 所以，‎ 从而回归直线方程为.‎ ‎（2）设商场获得的利润为元，依题意得 ‎.‎ 当且仅当时，取得最大值．‎ 故当单价定为10元时，商场可获得最大利润．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．‎ ‎22．设函数．‎ ‎（1）关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）解关于的不等式；‎ ‎（3）函数在区间上有零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对一切恒成立，即，恒成立，所以，解得即可；‎ ‎（2）对判别式讨论大于0，等于0，小于0，再由二次不等式的解法，即可得到；‎ ‎（3）要使函数在有零点，只需考虑的符号和对称轴的位置及端点的函数值的符号以及零点存在定理和运用，列出不等式组，解出即可得到范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，对一切恒成立，‎ 即，恒成立，‎ 所以，即，‎ 解得，，‎ 所以实数的取值范围；‎ ‎（2）由，得，，‎ 即，‎ 其中，‎ 当即时，不等式无实数解；‎ 当，即或时，‎ 设，，‎ 则，‎ 综上所述，当时，不等式无解；‎ 当或时，不等式的解集为；‎ ‎（3）要使函数在区间上上有零点，‎ 须或，或，‎ 即或， ‎ 解得，或，‎ 综上所述，实数的取值范围．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．‎