2019-2020学年辽宁师大附中高二上学期12月模块试题 数学 word版

2019-2020学年辽宁师大附中高二上学期12月模块试题 数学 word版

辽宁师大附中2019----2020学年上学期第二次模块考试 高二数学试题 命题人：杨继林 校对人：曹晓松 考试时间：90分钟 满分：120分 第 Ⅰ 卷 选择题（共60分）‎ 一、 选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出一个选项 ‎1． 过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为 (　　) ‎ A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋5＝0‎ ‎2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是 (　　) ‎ A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1‎ ‎3．已知点P是圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2上任一点，则点P到直线x－y－1＝0的距离的最大值是 (　　)‎ A. B．2 C．3 D．2＋2 ‎ ‎4．已知双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. (　　)‎ ‎5． 点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是 (　　) ‎ A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ ‎6．若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则a2＋b2的最小值为 (　　) ‎ A. B. 2 C. D． ‎7．设椭圆C：y2＋＝1(0＜m＜1)的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是 (　　) ‎ A. B. C. D. ‎8．已知过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点的直线l与C交于A，B两点，且使|AB|＝4a的直线l恰好有3条，则双曲线C的渐近线方程为 (　　) ‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x ‎9．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 (　　) ‎ A．2 B．3 C. D. ‎10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P是椭圆C上一点，且|PF2|＝|F1F2|，直线PF1与圆x2＋y2＝相切，则椭圆的离心率为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|＝6时，△OAB(O为坐标原点)的面积是 (　　) ‎ A. B. C. D. ‎12．已知椭圆的方程为＋y2＝1(a＞1)，上顶点为A，左顶点为B，设P为椭圆上一点，则△PAB面积的最大值为＋1.若已知M(－，0)，N(，0)，点Q为椭圆上任意一点，则＋的最小值为 (　　) ‎ A．2 B. 3＋2 C．3 D． 第 Ⅱ 卷 非选择题（共60分）‎ 二、填空题：本题包括4小题，共20分。‎ ‎13．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于________．‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．‎ ‎15．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点为M(1，－1)，则E的方程为________．‎ ‎16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝90°.过弦AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN，垂足为N，则的最大值为 ________．‎ 三、解答题：本题包括4小题，共40分。‎ ‎17.(8分)已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．‎ ‎(1)求2m＋n的最大值；‎ ‎(2)求(m＋2)2＋(n－3)2的最小值；‎ ‎ ‎ ‎18．(10分)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲线C过A，B 两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)为曲线C上两点，向量p＝(x1，y1)， ‎ q＝(x2，y2)，且p·q＝0，若直线MN过点，求直线MN的斜率．‎ ‎19.(10分) 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，双曲线C上任意一点到其右焦点的最小距离为－1.‎ ‎(1)求双曲线C的方程．‎ ‎(2)过点P(1，1)是否存在直线l，使直线l与双曲线C交于R，T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎20．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点M(m，2)，其焦点为F，且|MF|＝2.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：(x－1)2＋y2＝1相切，切点分别为A，B，求证：A，B，F三点共线．‎ 一、ADCCB DBAAB CD 二、13)4或8；14）(x－1)2＋y2＝2. 15）＋＝1 16）‎ ‎12．　[解析] 在椭圆＋y2＝1(a＞1)中，点A(0，1)，B(－a，0)，则|AB|＝，kAB＝，直线AB的方程为y＝x＋1，设与直线AB平行的椭圆的切线方程为y＝x＋b，‎ 由方程组 得2x2＋2abx＋a2b2－a2＝0，‎ 由Δ＝(2ab)2－4×2(a2b2－a2)＝0，得b2＝2，则b＝－，‎ 两平行线间的距离d＝＝，‎ 则△PAB面积的最大值为|AB|·d＝＋1，得a＝2，‎ ‎∴|QM|＋|QN|＝2a＝4，‎ ‎∴ ＋＝·(|QM|＋|QN|)＝1＋＋＋≥1＋＋2＝，‎ 当且仅当|QM|＝2|QN|时取等号.‎ 三、17．解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，‎ 则圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.‎ 设2x＋y＝b，即2x＋y－b＝0，作出圆(x－2)2＋(y－7)2＝8与一组平行线2x＋y－b＝0，当直线2x＋y－b＝0与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，‎ 此时圆心到直线的距离d＝＝2，解得b＝11＋2，或b＝11－2，‎ 所以2m＋n的最大值为11＋2. （4分）‎ ‎(2)(m＋2)2＋(n－3)2表示点M(m，n)与点Q(－2，3)的距离的平方，‎ 又|QC|＝＝4.‎ 所以|MQ|min＝4－2＝2，即(m＋2)2＋(n－3)2的最小值为8. （8分）‎ ‎18．解：(1)将点A，B的坐标代入曲线C的方程，可得解得m＝4，n＝1.‎ 所以曲线C的方程为y2＋4x2＝1. （4分）‎ ‎(2)设直线MN的方程y＝kx＋，代入椭圆方程y2＋4x2＝1得(k2＋4)x2＋kx－＝0.‎ ‎∴判别式Δ＝(k)2－4(k2＋4)·－＝4k2＋4>0，x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴p·q＝(2x1，y1)·(2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0，‎ ‎∵y1y2＝＝k2x1x2＋＋k(x1＋x2)，‎ ‎∴＋＋＋＝0，‎ 即k2－2＝0，k＝±. （10分）‎ ‎19．解：(1)由离心率e＝，得＝.①‎ 又双曲线C上任意一点到其右焦点的最小距离为－1，则c－a＝－1.②‎ 由①②，解得c＝，a＝1，则b2＝c2－a2＝2，‎ ‎∴双曲线Г的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)假设存在过点P(1，1)的直线l，使直线l与双曲线C交于R，T两点，且点P是线段RT的中点．‎ 设R(x1，y1)，T(x2，y2)，则有 两式作差，得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，即＝.‎ 又点P是线段RT的中点，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，‎ ‎∴直线l的斜率k＝＝＝2，‎ 则直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，‎ 代入双曲线C的方程x2－＝1，得2x2－4x＋3＝0，‎ Δ＝16－24＝－8<0，方程没有实数解．‎ ‎∴过点P(1，1)不存在直线l，使直线l与双曲线C交于R，T两点，且点P是线段RT的中点．‎ ‎20．解： (1)抛物线C的准线方程为x＝－，‎ ‎∴|MF|＝m＋＝2.‎ 又抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点M(m，2)，‎ ‎∴4＝2pm，即4＝2p，‎ ‎∴p2－4p＋4＝0，∴p＝2，‎ ‎∴抛物线C的方程为y2＝4x. （4分）‎ ‎(2)证明：设E(0，t)(t≠0)，已知切线不为y轴．设EA：y＝kx＋t，联立消去y，可得k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0.‎ ‎∵直线EA与抛物线C相切，‎ ‎∴Δ＝(2kt－4)2－4k2t2＝0，即kt＝1，‎ 代入k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0得x2－2x＋t2＝0，∴x＝t2，即A(t2，2t)．‎ 设切点B(x0，y0)，则点O，B关于直线EF：y＝－tx＋t对称，‎ 则解得即B.‎ 当t≠±1时，直线AF的斜率kAF＝，‎ 直线BF的斜率kBF＝＝，∴kAF＝kBF，即A，B，F三点共线．‎ 当t＝±1时，A(1，±2)，B(1，±1)，此时A，B，F三点共线．‎ 综上：A，B，F三点共线． （12分）‎