2018年重庆市江津长寿綦江等七校联考高考二诊试卷数学文

2018年重庆市江津长寿綦江等七校联考高考二诊试卷数学文

2018 年重庆市江津长寿綦江等七校联考高考二诊试卷数学文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1.设集合 A={0，1，2，3}，B={x∈Z|x2-4＜0}，则 A∩B=( ) A.{1，2，3} B.{0，1} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3} 解析：集合 A={0，1，2，3}，B={x∈Z|x2-4＜0}={x∈Z|-2＜x＜2}={-1，0，1}，则 A∩B={0， 1}. 答案：B 2.复数 z 满足 2 1 iz i   ，则复数 z 的虚部为( ) A.-1 B.1 C.i D.-i 解析：∵   2 1 2 12 1 1 1 1 2 i i i iizi i i i           ， ∴z=-1-i，则复数 z 的虚部为-1. 答案：A 3.已知命题 p：  x∈R，cosx＞sinx，命题 q： x∈(0，π )，sinx+ 1 sin x ＞2，则下列判 断正确的是( ) A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∨(￢q)是假命题 D.命题 p∧(￢q)是真命题 解析：命题 p： x=0∈R，cosx＞sinx，因此是真命题. 命题 q： x∈(0，π )，sinx+ ＞2，是假命题，取 x= 2  时， 1sin 2 2 sin 2  ，此 时不成立，因此是假命题.则下列判断正确的是：命题 p∧(￢q)是真命题. 答案：D 4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，其中左视图是一个边长为 2 的正三角形，则这 个几何体的体积是( ) A.2cm2 B. 3 cm3 C.3 cm3 D.3cm3 解析：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为 3 的四棱锥， 其中直角梯形两底长分别为 1 和 2，高是 2. 故这个几何体的体积是  111 2 2 3 3 32        (cm3). 答案：B 5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：模拟执行程序框图，可得 a= 3 2 ，b=1，i=1， 不满足条件 i≥3， 532 22 a b i  ， ， ， 不满足条件 i≥3， a=4，b=1，i=3， 满足条件 i≥3， 退出循环，输出 a 的值为 4. 答案：D 6.将函数 f(x)=cos(x+ 6  )图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到函 数 g(x)图象，则函数 g(x)的解析式为( ) A.g(x)=cos(2x+ 3  ) B.g(x)=cos(2x+ ) C.g(x)=cos( 23 x  ) D.g(x)=cos( 26 x  ) 解析：函数 y=sin(x+ )的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，得到 g(x)=sin(2x+ )的函数图象. 答案：B 7.当实数 x、y 满足不等式组 0 0 22 x y xy      ， ， 时，恒有 ax+y≤3 成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A.a≤0 B.a≥0 C.0≤a≤2 D.a≤3 解析：满足约束条件 0 0 22 x y xy      ， ， 的平面区域如下图所示， 由于对任意的实数 x、y，不等式 ax+y≤3 恒成立， 数形结合，可得斜率-a≥0 或-a＞kAB= 30 01   =-3，解得 a≤3. 答案：D 8.如图，在圆 C 中，弦 AB 的长为 4，则 AB AC =( ) A.8 B.-8 C.4 D.-4 解析：如图所示， 在圆 C 中，过点 C 作 CD⊥AB 于 D，则 D 为 AB 的中点； 在 Rt△ACD 中，AD= 1 2 AB=2， 可得 2cos ADA AC AC  ， ∴ 2cos 4 8AB AC AB AC A AC AC         ． 答案：A 9.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图所示的是一位母亲 记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示 可知，孩子已经出生的天数是( ) A.336 B.509 C.1326 D.3603 解析：由题意满七进一，可知该图示为七进制数，化为十进制数为 1×73+3×72+2×7+5=509. 答案：B 10.已知四棱锥 S-ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且球心 O 在此平面内， 当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于 16+16 3 ，则球 O 的体积等于( ) A. 42 3  B.16 2 3  C. 32 2 3  D. 64 2 3  解析：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥， ∵该四棱锥的表面积等于 16+16 3 ， 设球 O 的半径为 R，则 AC=2R，SO=R，如图， ∴该四棱锥的底面边长为 AB= 2 R， 则有  2 2 2122 4 2 16 16 3 22 R R R R          ，解得 R= 2 2 ， ∴球 O 的体积是 34 64 2 33 R ． 答案：D 11.已知 O 为坐标原点，F 为 抛 物 线 y2=2px(p＞0)的焦点，若抛物线与直线 l： 330 2 pxy   在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则     2 2 O F O A O F O B   的值等于( ) A.3 B.9 C.2p2 D.4p2 解析：F 为抛物线 y2=2px(p＞0)的焦点，则其坐标为( 2 p ，0)，代入直线直线 l： 330 2 pxy   ，可得 3300 22 pp   ，∴直线 l 经过抛物线的焦点， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 2 2 330 2 y px pxy        ， ， 消 y 可得 3x2-5px+ 3 4 p2=0， 2 1 2 1 2 1 2 5 3 1 3 4 2 6 ppx x x x x p x p      ， ， ， ， ∵O F O A AF O F O B BF   ， ， ∴     2 2 2 22 3 22 9. 62 ppOF OA AF ppBFOF OB            答案：B 12.已知 f(x)=|xex|，又 g(x)=f2(x)-tf(x)(t∈R)，若满足 g(x)=-1 的 x 有四个，则 t 的取 值范围是( ) A.(-∞， 2 1e e  ) B.( 2 1e e  ，+∞) C.( ，-2) D.(2， ) 解析：令 y=xex，则 y′=(1+x)ex，由 y′=0，得 x=-1， 当 x∈(-∞，-1)时，y′＜0，函数 y 单调递减， 当 x∈(-1，+∞)时，y′＞0，函数 y 单调递增.作出 y=xex 图象， 利用图象变换得 f(x)=|xex|图象， 令 f(x)=m，则关于 m 方程 h(m)=m2-tm+1=0， 两根分别在(0， 1 e )，( ，+∞)时， 满足 g(x)=-1 的 x 有 4 个，由 2 1 1 1 10ht e e e      ＜ ，解得 2 1et e ＞ ． 答案：B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 a =(3，4)，则与 反向的单位向量为 . 解析：设与 a 反向的单位向量为 b x a ，x＜0，则 b x a ，即 1=5|x|，则|x|= 1 5 ，则 x= 1 5  ，即  1 1 3 43 4 . 5 5 5 5 ba       ， ， 答案： 34 55     ， 14.已知圆 M：(x-2)2+(y-1)2=5，则过点 O(0，0)的圆 M 的切线方程为 . 解析：如图， 圆 M 的圆心 M(2，1)，kOM= 1 2 ，∴过 O 的圆 M 的切线的斜率为-2， ∴过点 O(0，0)的圆 M 的切线方程为 y=-2x. 答案：y=-2x 15.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n-1+k，则 f(x)=x3-kx2-2x+1 的极大值 . 解析：根据 Sn=2n-1+k，得到 a1=k，Sn-1=2n-2+k， ∴an=Sn-Sn-1=(2n-1+k)-(2n-2+k)=2n-1-2n-2=2n-2(2-1)=2n-2，n≥2， 再根据{an}是等比数列，所以{an}是以 1 2 为首项，2 为公比的等比数列，则 k 的值为 1 2  ， f(x)=x3+ x2-2x+1， f′(x)=3x2+x-2=(3x-2)(x+1)， 令 f′(x)＞0，解得：x＞ 2 3 或 x＜-1， 令 f′(x)＜0，解得：-1＜x＜ ， 故 f(x)在(-∞，-1)递增，在(-1， 2 3 )递减，在( +∞)递增， 故 f(x)的极大值是 f(-1)= 5 2 . 答案： 16.以下四个命题中，正确命题是 . (1)命题“若 f(x)是周期函数，则 f(x)是三角函数”的否命题是“若 f(x)是周期函数，则 f(x)不是三角函数”； (2)命题“存在 x∈R，x2-x＞0”的否定是“对于任意 x∈R，x2-x＜0”； (3)在△ABC 中，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件； (4)若函数 f(x)在(2015，2017)上有零点，则一定有 f(2015)·f(2017)＜0； (5)函数 y=lnx 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直. 解析：对于(1)，命题“若 f(x)是周期函数，则 f(x)是三角函数”的否命题是 “若 f(x)不是周期函数，则 f(x)不是三角函数”；，∴(1)错误； 对于(2)，命题“存在 x∈R，x2-x＞0”的否定是 “对于任意 x∈R，x2-x≤0”，∴(2)错误； 对于(3)，△ABC 中，“sinA＞sinB”·“ 2RsinA＞2RsinB”  “a＞b” “A＞B”； ∴“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件，(3)正确； 对于(4)，函数 f(x)在(2015，2017)上有零点，不一定有 f(2015)·f(2017)＜0； 如二次函数的最低点 f(2016)=0，此时 f(2015)·f(2017)＞0，∴(4)错误； 对于(5)，函数 y=lnx，y′= 1 x ＞0 恒成立， ∴函数 y=lnx 的导函数上不存在两点，使这两点的导函数值乘积为-1， 即函数 y 的图象不存在这两点处的切线互相垂直，(5)错误. 综上，正确的命题是(3). 答案：(3) 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，且 tanA，tanB 是关于 x 的方程 x2+(1+p)x+p+2=0 的两个实根，c=4. (Ⅰ)求角 C 的大小； (Ⅱ)求△ABC 面积的取值范围. 解析：(Ⅰ)利用韦达定理以及两角和的正切函数，转化求解角 C 的大小； (Ⅱ)利用已知条件，结合余弦定理三角形的面积，通过基本不等式求解三角形的面积的最值 即可. 答案：(Ⅰ)由题意得 tanA+tanB=-1-p，tanA.tanB=P+2， 所以     tan tan 1tan 1 1 tan ?tan 1 2 A B pAB A B p          ， 又因为在△ABC 中，所以 3 44 A B C  ， ． (Ⅱ)由(Ⅰ)及 c=4，c2=a2+b2-2abcosC， 可得 2 2 2 242 2 a b ab         ，所以 2216 2a b ab   ， 所以 16- 2 ab=a2+b2≥2ab，得 16 22 ab   ，当且仅当 a=b 时取等号， 所以△ABC 的面积 1 1 2 1 16 2sin 4 2 4 2 2 2 2 222 S ab C ab          ， 所以△ABC 面积的取值范围为(0，4 2 -4]. 18. 为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对 15～65 岁的人群抽样了 n 人，回答问 题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表. (Ⅰ)分别求出 a，b，x，y 的值； (Ⅱ)从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，求第 2，3，4 组每组各抽 取多少人？ (Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的 6 人中随机抽取 2 人，求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率. 解析：(I)由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组的频数为 25，再结合频率分布直方图求得 n， a，b，x，y 的值； (II)因为第 2，3，4 组回答正确的人数共有 54 人，抽取比例为 6 54 ，根据抽取比例计算第 2， 3，4 组每组应抽取的人数； (III)列出从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果，共 15 基本事件，其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件，利用古典概型概率公式计算. 答案：(Ⅰ)由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组总人数为 9 25 0.36  ， 再结合频率分布直方图可知 n= 25 100 0.025 10   ， ∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27， 18 30.9 0.2 20 15 xy   ， ； (Ⅱ)因为第 2，3，4 组回答正确的人数共有 54 人， ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人，每组分别抽取的人数为：第 2 组： 18 54 ×6=2 人；第 3 组： 27 54 ×6=3 人；第 4 组： 9 54 ×6=1 人. (Ⅲ)设第 2 组 2 人为：A1，A2；第 3 组 3 人为：B1，B2，B3；第 4 组 1 人为：C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)， (A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)， (B2，C1)，(B3，C1)共 15 个基本事件，其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件， ∴所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是： 31 15 5 P ． 19.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为直角梯形，AD⊥DC，DC∥AB， PA=AB=2，AD=DC=1. (1)求证：PC⊥BC； (2)E 为 PB 中点，F 为 BC 中点，求四棱锥 D-EFCP 的体积. 解析：(1)如图所示，利用线面垂直的性质定理可得：PA⊥BC，由 AB2=AC2+BC2，可得 BC⊥AC， 再利用线面垂直的判定定理即可证明. (2)由于 S 四边形 PEFC= 3 4 S△PBC，可得 3 3 3 1 4 4 4 3D PEFC D PBC P BCD BCDV V V PA S       ，即可得 出. 答案：(1)如图所示， ∵PA⊥平面 ABCD，BC  平面 ABCD，∴PA⊥BC， 连接 AC，∵AD=CD，AD⊥CD，∴AC= 2 ， 由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos45°= ， ∴BC=2，又 AB=2，∴AB2=AC2+BC2，∴BC⊥AC， ∴BC⊥平面 PAC，又 PC  平面 PAC，∴PC⊥BC. (2)S 四边形 PEFC= 3 4 S△PBC， ∴ 23 3 3 1 1 1 121 4 4 4 3 4 2 4D PEFC D PBC P BCD BCDV V V PA S            ． 20.已知椭圆 C： 22 221xy ab (a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F2，离心率为 1 2 ，点 A 在椭 圆 C 上，|AF1|=2，∠F1AF2=60°，过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2 上是否存在点 M(m，0)，使得 MN⊥PQ？若存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由. 解析：(Ⅰ)利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆 C 的方程. (Ⅱ)存在这样的点 M 符合题意.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，设直线PQ 的方程为 y=k(x-1)， 邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出 2 12 0 2 4 2 4 3 xx kx k   ，通过点 N 在直线 PQ 上， 求出 N 的坐标，利用 MN⊥PQ，转化求解 m 的范围. 答案：(Ⅰ)由 e= 1 2 得 a=2c，|AF1|=2，|AF2|=2a-2， 由余弦定理得，|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cosA=|F1F2|2， 解得 c=1，a=2，b2=a2-c2=3， 所以椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy． (Ⅱ)存在这样的点 M 符合题意. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)， 由 F2(1，0)，设直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)， 由   22 1 43 1 xy y k x      ， ， 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0， 由韦达定理得 2 12 2 8 43 kxx k   ，故 2 12 0 2 4 2 4 3 xx kx k   ， 又点 N 在直线 PQ 上，y0= 2 3 43 k k   ，所以 N( 22 22 84 4 3 4 3 kk kk ， ). 因为 MN⊥PQ，所以 2 2 2 30 143 4 43 MN k kk k km k       ， 整理得 2 2 2 11034 3 44 ()km k k      ， ， 所以存在实数 m，且 m 的取值范围为(0， 1 4 ). 21.已知函数 f(x)=lnx-x+1，函数 g(x)=ax·ex-4x，其中 a 为大于零的常数. (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间； (Ⅱ)求证：g(x)-2f(x)≥2(lna-ln2). 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)令 h(x)=g(x)-2f(x)-2(lna-ln2)，根据函数的单调性证明即可. 答案：(Ⅰ)f′(x)=1x-1=1 x x  ， x∈(0，1)时，f′(x)＞0，y=f(x)单增； x∈(1，+∞)时，f′(x)＜0，y=f(x)单减. (Ⅱ)证明：令 h(x)=axex-4x-2lnx+2x-2=axex-2x-2lnx-2(a＞0，x＞0)， h′(x)=    212 1 2x x x xa e xe ae x xx       ， 故 h′(x)=(x+1)(aex- 2 x )， 令 h′(x)=0，即 0 0 2xae x  ， 两边求对数得：lna+x0=ln2-lnx0，即 lnx0+x0=ln2-lna， ∴    0 m in 0 0 0 0 0 02 2 ln 2 2 2 ln 2 ln 2 lnxh h x ax e x x x x a           ， ∴h(x)≥2lna-2ln2. 22.平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：x2+y2-2x=0.直线 l 经过点 P(m，0)，且倾斜角为 6  .以 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐系. (Ⅰ)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程； (Ⅱ) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|PA|·|PB|=1，求实数 m 的值. 解析：(Ⅰ)曲线 C 转化为：(x-1)2+y2=1，即 x2+y2=2x，由此能求出曲线 C 的极坐标方程；由 直线 l 经过点 P(m，0)，且倾斜角为 .能求出直线 l 的参数方程. (Ⅱ)设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，将直线的参数方程代入 x2+y2=2x 中，得 t2+( 33m  )t+m2-2m=0，由此利用|PA|·|PB|=1，能求出实数 m 的值. 答案：(Ⅰ)∵曲线 C：x2+y2-2x=0. ∴曲线 C 的普通方程为：(x-1)2+y2=1，即 x2+y2=2x，∴ρ 2=2ρ cosθ ， ∴曲线 C 的极坐标方程为ρ =2cosθ ； ∵直线 l 经过点 P(m，0)，且倾斜角为 . ∴直线 l 的参数方程为 3 2 1 2 x m t yt      ， (t 为参数). (Ⅱ)设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 将直线的参数方程代入 x2+y2=2x 中，得 t2+( )t+m2-2m=0，∴t1t2=m2-2m， ∵|PA|·|PB|=1，∴由题意得，得|m2-2m|=1，解得 m=1，1+ 2 或 1- . 23.已知函数 f(x)=|x-3|+|2x-2|，g(x)=|x-a|+|x+a|. (Ⅰ)解不等式 f(x)＞10； (Ⅱ)若对于任意的 x1∈R，都有 x2∈R，使得 f(x1)=g(x2)，试求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)通过当 x＜1 时，当 1≤x≤3 时，当 x＞3 时，分别求解不等式，推出结果即可. (Ⅱ)由(Ⅰ)知   3 5 1 1 1 3 3 5 3 xx f x x x xx        ， ＜ ， ， ， ， ＞ ， 借助函数 f(x)的图象求解函数的最值推出结果. 答案：(Ⅰ)当 x＜1 时，f(x)=3-x-(2x-2)=-3x+5，由-3x+5＞10，解得 55 33 xx  ＜ ， ＜ ；当 1≤x≤3 时，f(x)=3-x+(2x-2)=x+1，由 x+1＞10，解得 x＞9，∴无解； 当 x＞3 时，f(x)=x-3+2x-2=3x-5，由 3x-5＞10，解得 x＞5， ∴x＞5.所以不等式的解集为{x|x＞5 或 x＜ 5 3  }. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 根据函数 f(x)的图象可知， 当 x=1 时，f(x)取得最小值，且 f(x)min=f(1)=2. 函数 g(x)=|x-a|+|x+a|≥|x-a-(x+a)|=2|a|，所以 g(x)min=2|a|， 因为对于任意的 x1∈R，都有 x2∈R，使得 f(x1)=g(x2)， 所以 2≥2|a|，解得-1≤a≤1，故实数 a 的取值范围为[-1，1].