安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一下学期疫情防控延期开学期间辅导测试(三)数学试题

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安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一下学期疫情防控延期开学期间辅导测试(三)数学试题

六安一中高一年级疫情防控延期开学期间数学辅导测试三 一、单选题(共12题;共60分)‎ ‎1. 已知幂函数f(x)=λ•xα的图象过点 ,则λ+α=(    ) ‎ A. 2                                           B. 1                                           C.                                            D. ‎ ‎2. 三个数0.993.3 , log3π,log20.8的大小关系为(   ) ‎ A. log20.8<0.993.3<log3π                                   B. log20.8<log3π<0.993.3 C. 0.993.3<log20.81<log3π                                 D. log3π<0.993.3<log20.8‎ ‎3. 已知函数f(x)=x2•sin(x﹣π),则其在区间[﹣π,π]上的大致图象是(   ) ‎ A.         B.          C.         D. ‎ ‎4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2sinx,则当x<0时,f(x)=(   ) ‎ A. ﹣x2﹣2sinx                        B. ﹣x2+2sinx                        C. x2+2sinx                        D. x2﹣2sinx ‎5. 某商场在2020年元旦开展“购物折上折”活动,商场内所有商品先按标价打八折,折后价格每满500元再减100元,如某商品标价1500元,则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元.设购买某商品的实际折扣率= ,某人欲购买标价为2700元的商品,那么他可以享受的实际折扣率约为(   ) ‎ A. 55%                                    B. 65%                                    C. 75%                                    D. 80%‎ ‎6. 已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3,﹣2cos3),则角α的弧度数为(   ) ‎ A. 3                                    B. π﹣3                                    C. 3﹣                                     D.  ﹣3‎ ‎7. 已知当 时,函数y=sinx+acosx取最大值,则函数y=asinx﹣cosx图象的一条对称轴为(   ) ‎ A.                               B.                               C.                               D. ‎ ‎8.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 ,则点P与△ABC的关系为(   ) ‎ A. P在△ABC内部        B. P在△ABC外部        C. P在AB边所在直线上        D. P是AC边的一个三等分点 ‎9. 设f(sinα+cosα)=sinα•cosα,则f(sin )的值为(   ) ‎ A.                                       B.                                       C.                                       D. ‎ ‎10. 函数y=sin (2x+ )的图象可由函数y=cosx的图象(   ) ‎ A. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 个单位          ‎ B. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向右平移 个单位 C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移 个单位          ‎ D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移 个单位 ‎11. 已知函数f(x)= (a∈A),若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则集合A可以是(   ) ‎ A. (﹣∞,0)                           B. [1,2)                           C. (﹣1,5]                           D. [4,6]‎ ‎12. 设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2+x)=f(2﹣x),当x∈[﹣2,0]时,f(x)=( )x﹣1,若在区间(﹣2,6)内关于x的方程f(x)﹣log a(x+2)=0,恰有4个不同的实数根,则实数a(a>0,a≠1)的取值范围是(   ) ‎ A. ( ,1)                        B. (1,4)                        C. (1,8)                        D. (8,+∞)‎ 二、填空题(共4题;共20分)‎ ‎13. 函数 的定义域为________. ‎ ‎14. 函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[0, ]上单调递增,且在这个区间上的最大值是 ,则ω的值为________. ‎ ‎15. 若函数 的定义域和值域都是 ,则 ________. ‎ ‎16. 的值等于________. ‎ 三、解答题(共6题;共70分)‎ ‎17. ( 10分 ) ‎ 如图△ABC,点D是BC中点, =2 ,CF和AD交于点E,设 =a, =b. ‎ ‎(1)以a,b为基底表示向量 , . ‎ ‎(2)若 =λ ,求实数λ的值. ‎ ‎18. ( 12分 ) 已知函数 . ‎ ‎(1)求函数f(x)的对称中心; ‎ ‎(2)若 ,不等式|x﹣m|<3的解集为B,A∩B=A,求实数m的取值范围. ‎ ‎19. ( 12分 ) 在△ABC中, = + ‎ ‎(Ⅰ)求△ABM与△ABC的面积之比 ‎(Ⅱ)若N为AB中点, 与 交于点P且 =x +y (x,y∈R),求x+y的值.‎ ‎20. ( 12分 ) 已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ (ω>0)的最小正周期为π. ‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;‎ ‎(Ⅱ)将函数f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.‎ ‎21. ( 12分 ) 已知函数 ,θ∈[0,2π) ‎ ‎(1)若函数f(x)是偶函数:①求tanθ的值;②求 的值. ‎ ‎(2)若f(x)在 上是单调函数,求θ的取值范围. ‎ ‎22. ( 12分 ) 已知函数f(x)=x﹣a,g(x)=a|x|,a∈R. ‎ ‎(1)设F(x)=f(x)﹣g(x). ‎ ‎①若a= ,求函数y=F(x)的零点;‎ ‎②若函数y=F(x)存在零点,求a的取值范围. ‎ (2) 设h(x)=f(x)+g(x),x∈[﹣2,2],若对任意x1,x2∈[﹣2,2],|h(x1)﹣h(x2)|≤6恒成立,试求a的取值范围. ‎ 答案部分 一、单选题 ‎1.C ‎ ‎2. A 解:∵0<0.993.3<1,log3π>1,log20.8<0, ‎ ‎∴log20.8<0.993.3<log3π,故选:A.‎ ‎3.D 解:f(x)=x2•sin(x﹣π)=﹣x2•sinx, ‎ ‎∴f(﹣x)=﹣(﹣x)2•sin(﹣x)=x2•sinx=﹣f(x),∴f(x)奇函数,‎ ‎∵当x= 时,f( )=﹣ <0,故选:D ‎4. A 解:函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),‎ 当x≥0时,f(x)=x2﹣2sinx,当x<0时,则﹣x>0,可得f(﹣x)=x2+2sinx=﹣f(x),‎ ‎∴f(x)=﹣x2﹣2sinx,故答案为:A.‎ ‎5. B 解:当购买标价为2700元的商品时,‎ 产品的八折后价格为:2700×0.8=2160,故实际付款:2160﹣400=1760,‎ 故购买某商品的实际折扣率为: ≈65%,故答案为:B ‎6.C 解:∵锐角α终边上一点的坐标为(2sin3,﹣2cos3), ‎ 由任意角的三角函数的定义可得 tanα=﹣cot3=tan( 3﹣ ),‎ 又3﹣ ∈(0,  ),∴α=3﹣ .故选C ‎7.A 解:∵当 时,函数y=sinx+acosx取最大值, ∴ 解得: ,‎ ‎∴ ,∴ 是它的一条对称轴,故选A.‎ ‎8.D 解:∵ , ∴ ,∴ , ∴P是AC边的一个三等分点.故选项为D 9. A 解:令sinα+cosα=t(t∈[﹣ , ]),‎ 平方后化简可得 sinαcosα= ,再由f(sinα+cosα)=sinαcosα,得f(t)= ,‎ 所以f(sin )=f( )= =﹣ .故答案为:A.‎ ‎10.B 解:把函数y=cosx=sin(x+ )的图象的横坐标变为原来的 倍,可得y=sin(2x+ )的图象,再把所得图象再向右平移 个单位,可得y=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x+ )的图象,故答案为:B.‎ ‎11. A 解:由题意,f(x)在区间(0,1]上是减函数.函数f(x)= (a∈A), ‎ 当a=0时,函数f(x)不存在单调性性,故排除C.‎ 当a<0时,函数y= 在(0,1]上是增函数,而分母是负数,可得f(x)在区间(0,1]上是减函数,故A对.‎ 当1≤a<2时,函数y= 在(0,1]上是减函数,而分母是负数,可得f(x)在区间(0,1]上是增函数,故B不对.‎ 当4≤a≤6时,函数y= 在(0,1]上可能没有意义.故D不对.故选A.‎ ‎12. D 解:对于任意的x∈R,都有f(2+x)=f(2﹣x),‎ ‎∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[(x+2)﹣2]=f(x),∴函数f(x)是一个周期函数,且T=4.‎ 又∵当x∈[﹣2,0]时,f(x)=( )x﹣1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数,‎ 若在区间(﹣2,6)内关于x的方程f(x)﹣log a(x+2)=0,恰有4个不同的实数解,‎ 则函数y=f(x)与y=log a(x+2),在区间(﹣2,6)上有四个不同的交点,如下图所示:‎ 又f(﹣2)=f(2)=f(6)=1,‎ 则对于函数y=log a(x+2),根据题意可得,当x=6时的函数值小于1,‎ 即log a8<1,由此计算得出:a>8,∴a的范围是(8,+∞),故答案为:D.‎ 二、填空题 ‎13. 解:要使函数有意义,需 ,解得 故答案为 . 14. 解:∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[0, ]上单调递增,∴ ≤ . ‎ 再根据在这个区间上f(x)的最大值是 ,可得ω• = ,则ω= ,故答案为: .‎ ‎15. . 当 时,函数 递增,又函数 的定义域和值域都是 , 则: ,此不等式组无解。‎ 当 时,函数 递减,又函数 的定义域和值域都是 ,‎ 则: ,解得: ,‎ 所以 .‎ ‎16. 解: = ﹣ = = = = .故答案为: .‎ 三、解答题 ‎17.(1)解:因为点D是BC中点, ‎ 所以2 = + ,即 =2 ﹣ ,‎ 所以 = ﹣ =2 ﹣ ﹣ =2 ﹣ , (2)解: =λ = ( + )= + , ‎ 因为点C,E,F共线,所以 + λ=1,所以λ= .‎ ‎18.(1)解: ,‎ 解得:‎ ‎(2)解: ,不等式|x﹣m|<3的解集为B,A∩B=A, ‎ ‎,∴ ,∴A=[1,2],又解得B=(m﹣3,m+3)‎ 而A∩B=A⇒A⊆B∴ ,得﹣1<m<4‎ ‎19.解:(Ⅰ)在△ABC中, = + ⇒ ⇒3 ‎ ‎⇒3 ,即点M在线段BC上的靠近B的四等分点,‎ ‎∴△ABM与△ABC的面积之比为 .‎ ‎(Ⅱ)∵ = + , =x +y (x,y∈R), ,‎ ‎∴设 = = ;‎ ‎∵三点N、P、C共线,∴ , ,x+y= .‎ ‎20.解:(Ⅰ)由题意,可得 ‎ f(x)= = .‎ ‎∵函数的最小正周期为π,∴ =π,解之得ω=1.由此可得函数的解析式为 .‎ 令 ,解之得 ‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间是 . ‎ ‎(Ⅱ)将函数f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移1个单位,可得函数y=f(x+ )+1的图象,‎ ‎∵ ‎ ‎∴g(x)= +1=2sin2x+1,可得y=g(x)的解析式为g(x)=2sin2x+1.‎ 令g(x)=0,得sin2x=﹣ ,可得2x= 或2x= ‎ 解之得 或 .‎ ‎∴函数g(x)在每个周期上恰有两个零点,‎ 若y=g(x)在[0,b]上至少含有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可,‎ 即b的最小值为 .‎ ‎21.(1)解:∵函数f(x)是偶函数,∴ ∴ ‎ ‎①tanθ= ‎ ‎② = (2)解:f(x)的对称轴为 , ‎ 或 ,‎ 或 (9分),‎ ‎∵θ∈[0,2π),∴ ,‎ ‎∴ ,∴ ,‎ ‎∴ , ,∴ ‎ ‎22.(1)解:F(x)=f(x)﹣g(x)=x﹣a﹣a|x|, ①若a= ,则由F(x)=x﹣ |x|﹣ =0得: |x|=x﹣ ,当x≥0时,解得:x=1;当x<0时,解得:x= (舍去); 综上可知,a= 时,函数y=F(x)的零点为1; ②若函数y=F(x)存在零点,则x﹣a=a|x|,当a>0时,作图如下: ‎ ‎ 由图可知,当0<a<1时,折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点,即函数y=F(x)存在零点; 同理可得,当﹣1<a<0时,求数y=F(x)存在零点; 又当a=0时,y=x与y=0有交点(0,0),函数y=F(x)存在零点; 综上所述,a的取值范围为(﹣1,1). (2)∵h(x)=f(x)+g(x)=x-a+a|x|,x∈[-2,2], ∴当-2≤x<0时,h(x)=(1-a)x-a; 当0≤x≤2时,h(x)=(1+a)x-a; 又对任意x1 , x2∈[-2,2],|h(x1)-h(x2)|≤6恒成立, 则h(x1)max-h(x2)min≤6, ①当a≤-1时,1-a>0,1+a≤0,h(x)=(1-a)x-a在区间[-2,0)上单调递增; h(x)=(1+a)x-a在区间[0,2]上单调递减(当a=-1时,h(x)=-a); ∴h(x)max=h(0)=-a,又h(-2)=a-2,h(2)=2+a, ∴h(x2)min=h(-2)=a-2, ∴-a-(a-2)=2-2a≤6,解得a≥-2, 综上,-2≤a≤-1; ②当-1<a<1时,1-a>0,1-a>0,∴h(x)=(1-a)x-a在区间[-2,0)上单调递增, 且h(x)=(1+a)x-a在区间[0,2]上也单调递增, ∴h(x)max=h(2)=2+a,h(x2)min=h(-2)=a-2, 由a+2-(a-2)=4≤6恒成立,即-1<a<1适合题意; ③当a≥1时,1-a≤0,1+a>0,h(x)=(1-a)x-a在区间[-2,0)上单调递减 (当a=1时,h(x)=-a),h(x)=(1+a)x-a在区间[0,2]上单调递增; ∴h(x)min=h(0)=-a; 又h(2)=2+a>a-2=h(-2), ∴h(x)max=h(2)=2+a, ∴2+a-(-a)=2+2a≤6,解得a≤2,又a≥1, ∴1≤a≤2; 综上所述,-2≤a≤2. ‎
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