高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-1 平面向量的实际背景及基本概念

高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-1 平面向量的实际背景及基本概念

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．下列命题中正确的是(　　)‎ A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．若a和b都是单位向量，则a＝b D．两个相等向量的模相等 ‎[答案]　D ‎2．下列说法中，不正确的是(　　)‎ A．向量的长度与向量的长度相等 B．任何一个非零向量都可以平行移动 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 ‎[答案]　D ‎[解析]　很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．‎ ‎3．已知非零向量a、b满足a∥b，则下列说法错误的是(　　)‎ A．a＝b B．它们方向相同或相反 C．所在直线平行或重合 D．都与零向量共线 ‎[答案]　A ‎4．数轴上点A、B分别对应－1、2，则向量的长度是(　　)‎ A．－1 B．2 ‎ C．1 D．3‎ ‎[答案]　D ‎5．(2011～2012·临沂高一检测)以下说法错误的是(　　)‎ A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等 C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量 ‎[答案]　C ‎6．下列说法正确的是(　　)‎ A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反 B．若向量、满足||>||，且与同向，则> C．若a≠b，则a与b可能是共线向量 D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线 ‎[答案]　C 二、填空题 ‎7．如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有________对．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　＝，＝.其余不等．‎ ‎8．(海南三亚调研)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于____________．‎ ‎[答案]　3π ‎[解析]　这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.‎ ‎9．(江苏泰州高一期末)设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确表示的序号为____________．‎ ‎[答案]　①②③‎ ‎[解析]　根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，只有④是错误的，与只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．‎ 三、解答题 ‎10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.‎ ‎(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；‎ ‎(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．‎ ‎[分析]　用有向线段表示向量，注意起点、方向、长度．‎ ‎[解析]　(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．‎ ‎(2)满足条件的向量c可以是图中的.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．‎ ‎11．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行‎2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行‎2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行‎1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？‎ ‎[解析]　如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，∴AC＝‎2000km.‎ 又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，∴△ACD为直角三角形，即AD＝‎1000km，∠CAD＝45°.‎ 答：丁地在甲地的东南方向，距甲地‎1000km.‎ ‎12．如图所示，四边形ABCD中，＝，N、M是AD、BC上的点，且＝.‎ 求证：＝.‎ ‎[解析]　∵＝，∴||＝||且AB∥CD.‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎∴||＝||，且DA∥CB.‎ 又∵与的方向相同，∴＝.‎ 同理可证：四边形CNAM是平行四边形，∴＝.‎ ‎∵||＝||，||＝||，‎ ‎∴||＝||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同．∴＝.‎