2018-2019学年山西省太原市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年山西省太原市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省太原市高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．双曲线的实轴长为（ ）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，由双曲线的方程求出a的值，即可得双曲线与x轴的交点，由实轴的定义计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，双曲线，其中，，其焦点在x轴上，‎ 则该双曲线与x轴的交点为与，‎ 则实轴长；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题．‎ ‎2．命题：“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 的否定是 所以命题：“”的否定是,选C ‎3．曲线在处的切线的斜率等于（ ）‎ A．e B． C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】求函数的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的导数为，‎ 则在处的导数，即切线斜率，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键．‎ ‎4．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为，所以“l＜x＜2”是“l＜x＜3”的充分而不必要条件，选A．‎ ‎【考点】充要关系 ‎5．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：抛物线x2＝4y中，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为2‎ ‎【考点】抛物线方程及性质 ‎6．对任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（ ）‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎【答案】C ‎【解析】思路分析：用Ax2+By2=c所表示的圆锥曲线，对于k=0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2+ky2=1不可能表示抛物线 ‎7．函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B．‎ C．， D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求导，令导数小于零，解此不等式即可求得函数的单调递减区间．‎ ‎【详解】‎ 令 ‎ 解得，‎ 函数的单调递减区间是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性．‎ ‎8．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题“，”为真命题等价于在上有解，构造函数求最大值代入极即可．‎ ‎【详解】‎ 命题“，”为真命题等价于在上有解，‎ 令，，则等价于，，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了存在量词和特称命题，属中档题．‎ ‎9．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，‎ 函数的导数，‎ 由得得或舍，此时函数为增函数，‎ 由得得，此时，函数为减函数，‎ 即当时，函数取得极小值，且极小值为，‎ 则对应的图象为A，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系，研究函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎10．若函数在区间单调递增，则k的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数在区间单调递增可得：在区间恒成立，，故 ‎11．已知双曲线C与椭圆E：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线C的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆，得，，‎ 则，‎ 双曲线与椭圆的焦点坐标为，，‎ 椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．‎ 设双曲线的实半轴长为m，则，得，‎ 则虚半轴长，‎ 双曲线的方程是．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．‎ ‎12．函数的定义域为R，对任意，，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 则，‎ 对任意，，‎ 对任意，，‎ 即函数单调递增，‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数单调递增，‎ 由得，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 即的解集为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．‎ 二、填空题 ‎13．椭圆的焦距是______‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据题意，由椭圆的标准方程分析a、b的值，结合椭圆的几何性质求出c的值，由椭圆焦距的定义分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，椭圆中，，，‎ 则，‎ 则该椭圆的焦距；‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，注意求出c的值，属于基础题．‎ ‎14．命题“如果，那么且”的逆否命题是______．‎ ‎【答案】如果 或 ，则 ‎ ‎【解析】由四种命题之间的关系，即可写出结果.‎ ‎【详解】‎ 命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果 或 ，则 ”.‎ 故答案为：如果 或 ，则 ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎15．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】y=2x–2‎ ‎【解析】分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.‎ 详解：由，得 则曲线在点处的切线的斜率为，‎ 则所求切线方程为，即.‎ 点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.‎ ‎16．已知双曲线E：的右顶点为A，抛物线C：的焦点为若在E的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ 双曲线E：的右顶点为，‎ 抛物线C：的焦点为，‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 可设，‎ 即有，，‎ 可得，‎ 即为，‎ 化为，‎ 由题意可得，‎ 即有，‎ 即，‎ 则．‎ 由，可得．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y轴上．‎ 判断命题p的否定的真假；‎ 若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）为假；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据判别式显然成立，即可判断出结果；‎ ‎（2）先求出为真时，实数m的取值范围，再由“且”是假命题，“或“是真命题，判断出、的真假，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由可得显然成立，故命题为真，为假；‎ ‎（2）由已知得，为真时，，所以为假时，或 因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知为真，所以真假，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型.‎ ‎18．已知抛物线C：经过点．‎ 求抛物线C的方程；‎ 若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为，求直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）将点代入，即可求出结果；‎ 先设点坐标分别为，结合抛物线方程，作差求出直线AB的斜率，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题知抛物线经过点代入，解得，故抛物线方程为；‎ ‎（2）设点坐标分别为，由为抛物线上的不同两点，‎ 故有，由得，整理得，又的中点坐标为，则，代入得，直线过点，直线的方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线方程，以及中点弦的问题，求中点弦所在直线方程，常用点差法结合中点坐标求出斜率，进而可得出结果.‎ ‎19．若是函数的极值点．‎ 求a的值；‎ 若时，成立，求的最大值．‎ ‎【答案】(1)(2)4‎ ‎【解析】求解导函数，结合导函数与极值的关系求解实数a的值即可；由题意首先讨论函数的单调性，然后结合函数在关键点处的函数值确定实数a的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由已知，得，‎ 经检验当时，满足题意，故．‎ 由可知，，‎ 当时，，递增；‎ 当时，，递减；‎ 当时，，递增；‎ 因此，极大值为，极小值为，‎ 又由得或，由得或，‎ 故的最大值为4．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。‎ ‎20．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，焦距为2，过点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接，，且的周长为．‎ 求椭圆C的标准方程；‎ 若直线AB的斜率为1，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或3.‎ ‎【解析】（1）由焦距为2，求出；再由的周长为，求出，进而即可求出结果；‎ ‎（2）先由题意得到直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，求出坐标，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，，又因为，故可得，，从而椭圆 的标准方程为 ‎（2）由题意可得直线的方程为：，联立，可得，从而，，或者，，由题意，‎ 当坐标分别为，时，，，故；‎ 当坐标分别为，时，，，故，‎ 综上，或3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆交点的坐标问题，只需联立直线与椭圆方程求解即可，属于常考题型.‎ ‎21．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，焦距为2，过点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接，，且的周长为．‎ 求椭圆C的标准方程 若，求直线AB的方程．‎ ‎【答案】(1) (2)．‎ ‎【解析】由焦距为2，的周长为可得，，联立解出即可得出；设直线AB的方程为：，，与椭圆方程联立，化为：，由，可得，，与根与系数的关系联立即可得出．‎ ‎【详解】‎ 焦距为2，的周长为．‎ ‎，，．‎ 解得，．‎ 椭圆C的标准方程为：．‎ 设直线AB的方程为：，，‎ 联立，化为：，‎ ‎，，‎ ‎，，．‎ 联立：，，．‎ 解得：．‎ 直线AB的方程为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的对于标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知函数．‎ 当时，求函数的单调区间；‎ 若，求证：当时，．‎ ‎【答案】(1)在递减，在递增(2)见证明 ‎【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；问题转化为证明，令，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【详解】‎ 由，，‎ 由，解得：，由，解得：，‎ 故在递减，在递增，‎ 证明：要证明，即证，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 故即在递增，又，‎ 当时，，递减，‎ 当时，，递增，‎ 故，‎ 故，即，‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，转化思想，是一道常规题．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎23．已知函数．‎ 当时，求函数的单调区间；‎ 若对任意恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）‎ ‎【解析】当时，求函数的单调区间；求的导数，利用导数研究函数在的单调性，然后讨论a的取值，从而确定的最值，即可确定实数a的取值范围 ‎【详解】‎ 由，则．‎ 由，得；由，得，‎ 所以函数的单调增区间为，单调减区间为；‎ 由，则．‎ 当时，对，有，‎ 所以函数在区间上单调递增，‎ 又，即对恒成立．‎ 当时，由，单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 若对任意恒成立，只需，‎ 令，，‎ 即在区间上单调递减，又，‎ 故在上恒成立，‎ 故当时，满足的a不存在．‎ 综上所述，a的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎