辽宁省铁岭市六校协作体2020届高三11月月考数学（理）试题

辽宁省铁岭市六校协作体2020届高三11月月考数学（理）试题

铁岭市六校协作体2019—2020学年高三二联考试数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.设集合,则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合 ，然后根据交集定义求结果 ‎【详解】解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则 ‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题 ‎2.设复数满足，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：复数的运算 此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用中间量比较，运用中间量比较 ‎【详解】则．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．‎ ‎4.已知各项均为正数的等比数列的前4项为和为15，且，则（ ）‎ A. 16 B. 8 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对利用等比数列的通项公式变形可解出公比,再结合等比数列的前4项为和为15,解出首项,最后利用通项公式可求得.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为,则由数列各项都是正数,可得,‎ 由,得,‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 所以,因为,‎ 所以,‎ 设等比数列的前项为和为,‎ 则,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列通项公式和前项和公式,属于基础题.‎ ‎5.设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，命题P是假命题；命题q是真命题，故为真命题.‎ 考点：命题的真假.‎ ‎6.若，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式以及对数函数的单调性可得出三个数、、的大小关系。‎ ‎【详解】由于函数在上是增函数，，则，‎ 由基本不等式可得，‎ 因此，，故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，在利用基本不等式比较各数的大小关系时，要注意“一正、二定、三相等”这些条件的应用，考查推理能力，属于中等题。‎ ‎7.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．‎ ‎【详解】如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，‎ 则设，‎ 则，‎ 所以，‎ 当时，取得最小值，为。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．‎ ‎8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证得平面，再求得，从而得 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.‎ ‎【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，‎ ‎，又，分别为、中点，‎ ‎，，又，平面，平面，，正方体一部分，，即 ，故选D．‎ 解法二:‎ 设，分别为中点，‎ ‎，且，为边长为2的等边三角形，‎ 又 中余弦定理，作于，，‎ 为中点，，，‎ ‎，，又，两两垂直，，，，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．‎ ‎9.已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出设关于直线对称的点，关于对称的点，当共线时，的周长取得最小值，为，利用两点间的距离公式，求出答案.‎ ‎【详解】过两点的直线方程为 设关于直线对称的点，‎ 则，解得 即，‎ 同理可求关于对称的点，‎ 当共线时的周长 取得最小值为.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题.‎ ‎10.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．‎ ‎【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．‎ ‎11.若是方程的解，是方程的解，则等于（ ）‎ A. B. 1 C. D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程的根就是对应函数图象的交点，利用函数与互为反函数，推出函数图象交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题．‎ ‎【详解】因为是方程的解，是方程的解；‎ 所以是方程的解，是方程的解，‎ 是图象交点的横坐标；‎ 是图象交点的横坐标，‎ 因为与互为反函数，‎ 所以与的图象关于对称，‎ 又因为的图象也关于对称，‎ 所以关于对称，‎ 可得，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查反函数的性质，函数图象的应用，考查转化思想，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将方程的根的问题转化成曲线交点问题是解题的关键.‎ ‎12.已知定义在上的函数满足：‎ ‎①；‎ ‎②对所有，且，有.‎ 若对所有，，则k的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：不妨令，则 法一：‎ ‎，‎ 即得，‎ 另一方面，当时，，符合题意，‎ 当时，，‎ 故 法二：当时，，‎ 当时，‎ ‎，‎ 故 考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.函数（）的最大值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】化简三角函数的解析式，‎ 可得 ‎，‎ 由，可得，‎ 当时，函数取得最大值1．‎ ‎14.记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.‎ ‎【详解】因，所以，即，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．‎ ‎15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________.‎ ‎【答案】38‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何体的三视图可知，该几何体是长方体中间挖去一个圆柱体，根据数据计算表面积即可．‎ ‎【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体由几何体的三视图可知，该几何体是长方体中间挖去一个圆柱体．表面积应为长方体表面积减去圆柱底面积，再加上圆柱侧面积． 长方体长宽高分别为4，3，1，其表面积为（4×3+4×1+3×1）×2=38 圆柱底面半径为1，高为1 圆柱底面积为2×π×12=2π，侧面积为2π×1×1=2π 所以所求的表面积为38-2π+2π=38‎ 及答案为38.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原几何体直观图，考查柱体的表面积公式，本题是一个基础题．‎ ‎16.已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设 ，则，令，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果.‎ ‎【详解】‎ 作出的函数图象如图所示，‎ 由，可得， 即，‎ 不妨设 ，则，‎ 令，则，‎ ‎，令，则，‎ 当 时，，在上递增；‎ 当时，，在上递减；‎ 当时，取得最大值,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知定义域为，对任意都有，当时，，.‎ ‎（1）求和值；‎ ‎（2）试判断在上的单调性，并证明；‎ ‎（3）解不等式：.‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令代入，即可求出；令代入，即可求出；‎ ‎（2）根据函数单调性的定义，结合题中条件，即可判断出结果；‎ ‎（3）根据题意，将原不等式化为，再由（2）的结果，即可求出不等式的解集.‎ ‎【详解】（1）因为对任意都有，‎ 所以，令，则，所以；‎ 令，则，因为，‎ 所以；‎ ‎（2）任取，‎ 则 ‎，，当时，，‎ ‎，‎ 在上单调递减；‎ ‎（3）因，‎ 所以原不等式可化为；即，‎ 由（2）可得，‎ 解得或；‎ 即原不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，抽象函数单调性的判定，以及根据函数单调性解不等式等问题，熟记函数单调性的定义即可，属于常考题型.‎ ‎18.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）当时，记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．‎ ‎【详解】解：（1）设a1＝a，由题意可得，‎ 解得，或，‎ 当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；‎ 当时，an（2n+79），bn＝9•；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，‎ ‎∴cn，‎ ‎∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn＝2（2n﹣1）•3，‎ ‎∴Tn＝6．‎ ‎【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎19.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.‎ ‎【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得。‎ ‎，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.‎ ‎(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，‎ 故，解得.‎ 又应用正弦定理，，‎ 由三角形面积公式有：‎ ‎.‎ 又因,故，‎ 故.‎ 故的取值范围是 ‎【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，，且，，是棱的中点 ．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设点是线段上动点，与平面所成的角为，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析 ； （2） ；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD的法向量即可证明AM∥平面SCD； （Ⅱ）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，利用法向量的夹角即可得出； （Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】（Ⅰ）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则 ‎，‎ 设平面的一个法向量为 ‎ 则 ，令，得 ，∴ ，即 ‎ ‎∵平面 ∴∥平面． ‎ ‎（Ⅱ）取平面SAB的一个法向量 ，则 ‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ‎ ‎（Ⅲ）设，则，平面的一个法向量为 ‎ ‎∴ ‎ 当，即时，取得最大值，且．‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量解决立体几何问题，属中档题.‎ ‎21.(1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时， ‎ ‎(2)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，再构造新函数，用导数法求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）的定义域为.‎ 且仅当时，，所以在单调递增，‎ 因此当时，‎ 所以 ‎（Ⅱ）‎ 由（Ⅰ）知，单调递增，对任意 因此，存在唯一使得即，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 因此在处取得最小值，最小值为 于是，由单调递增 所以，由得 因为单调递增，对任意存在唯一的 使得所以的值域是 综上，当时，有最小值，的值域是 ‎【考点】函数的单调性、极值与最值 ‎【名师点睛】求函数单调区间的步骤：‎ ‎（1）确定函数f （x）的定义域；‎ ‎（2）求导数f ′（x）；‎ ‎（3）由f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）解出相应的x的范围．‎ 当f ′（x）＞0时，f （x）在相应的区间上是增函数；当f ′（x）＜0时，f （x）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．‎ 注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．‎ 请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 ‎ 选修4−4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求C上的点到l距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.‎ ‎【详解】（1）由得：，又 整理可得的直角坐标方程为：‎ 又，‎ 的直角坐标方程为：‎ ‎（2）设上点的坐标为：‎ 则上的点到直线的距离 当时，取最小值 则 ‎【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.‎ ‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数，M为不等式的解集.‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a，b时，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．‎ 试题解析：（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时，；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而 ‎，‎ 因此 ‎【考点】绝对值不等式，不等式的证明. ‎ ‎【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：‎ ‎（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．‎ ‎（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．‎ ‎ ‎